Расчетная часть

1. Определение эффективных плотностей состояния в валентной зоне и зоне проводимости

	(1)
	(2)

Пример расчета для Т = 300 К:

Эффективные массы плотностей состояния [1]:

2. Определение зависимости ширины запрещенной зоны от температуры

Температурная зависимость ширины запрещенной зоны рассчитывается по формуле:

, [1]

(3)

где – ширина запрещенной зоны при 0 К.

Середина запрещенной зоны при 0 К будет равна .

Теперь можно найти положения валентной зоны и зоны проводимости:

(T) = +	(4)
(T) =	(5)

Пример расчёта для :

Рисунок 2 – Зависимость ширины запрещенной зоны от температуры

3. Определение положения уровня Ферми

Для определения положения уровня Ферми надо решить уравнение электронейтральности. Его общий вид:

(6)

В этой формуле:

		(7)
		(8)
		(9)
	(10)

где g_A и g_D факторы вырождения примесей, определяемые уравнением:

(11)

где отвечает за количество занятых состояний, а за общее число свободных возможных состояний.

Так, для кремния , т. к. донор может удержать электрон в одном из двух эквивалентных состояний с различной ориентацией спина.

Для цинка , т. к. кроме спина учитывается наличие как легких, так и тяжелых дырок.

Как правило, на практике не реализуются случаи чисто донорного или акцепторного полупроводника. Даже при тщательной отчистке материала в нем обычно остаются примеси нескольких видов. Для подобных случаев необходимо решить сразу четыре уравнения электронейтральности (приведены ниже), каждое для определенного температурного диапазона.

Когда и уровень Ферми проходит значительно ниже , донорная примесь полностью ионизирована. Все электроны с донорных уровней перешли на уровни акцепторной примеси, поэтому при T = 0К на атомах акцепторной примеси будет дырок. С ростом температуры электроны из валентной зоны будут переходить к атомам акцепторной примеси, полупроводник будет вести себя как дырочный, имеющий положительный коэффициент Холла. С наступлением собственной проводимости знак постоянной Холла изменится, так как подвижность электронов больше подвижности дырок.

В нашем случае, мы решали другим методом. Для начала были рассчитаны зависимости концентраций доноров и акцепторов от уровня Ферми и температуры по следующим формулам:

,

где Na, Nd – концентрации акцепторов и доноров соответственно,

k – константа Больцмана,

Ef_2 – положение уровня Ферми,

EA(t), ED(t) – зависимости энергии акцепторного и донорного уровней соответственно.

Далее, нашли зависимости функции распределения электронов и дырок, соответственно, в зоне проводимости и валентной зоне от положения уровня Ферми и температуры:

,

где .

Получим зависимости концентраций электронов и дырок:

Далее необходимо решить общей вид уравнения электронейтральности, который имеет вид:

Поделим все уравнение на правую часть:

Теперь введем функцию f2(Ef_2, t), суть которой – логарифмирование отношения выше:

Так как это отношение равно единице, а натуральный логарифм единицы – ноль, задача упрощается в разы.

Найдем корни уравнения с помощью встроенной функции в Mathcad:

Построим температурные зависимости:

Рисунок 3 – График зависимости уровня Ферми от температуры

Также, был построен график концентрации от температуры:

Рисунок 4 – График концентраций от температуры

Концентрации были рассчитаны по следующим формулам: