Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК6

.pdf

Скачиваний:

145

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

cum vn , где

1.6 ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1.6.1 Рациональная функция двух независимых переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3 Многочленом или целой рациональной функцией относительно u и v называется сумма конечного числа слагаемых вида

m, n натуральные числа или нули, а c действительные числа. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4 Отношение двух многочленов относительно u и v

называется рациональной функцией относительно u и v , и обозначается

R(u;v).

Например, выражения	5u	,		uv	являются рациональными
	u2 + v		4u + v

функциями относительно u и v . Выражения				sin2 x −cos x		,	2sin x −3
					5sin x		cos x

есть рациональные функции относительно sin x и cos x . Из определений 1.3 и 1.4 следует, что функция R(u, v) осуществляет над своими аргументами u и v только операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Выражение u2+uv2 R(u, v) , так как над переменной u осуществляется

операция возведения не в целую степень.

Легко заметить, что сумма, разность, произведение и частное нескольких рациональных функций есть рациональная функция от u и v .

Пусть u = u(x) , v = v(x) ; тогда R(u(x), v(x)) называется рациональным выражением относительно u и v . Если u(x) и v(x) являются рациональными функциями, то сложная функция R(u(x), v(x)) есть рациональная функция относительно независимой переменной x .

1.6.2 Интегралы вида ∫R(sin x, cos x)dx

Универсальная подстановка.

Теорема

1.4 Интеграл

вида

∫R(sin x, cos x)dx

подстановкой t = tg x

приводится к интегралу от рациональной функции t ,

следовательно, всегда

выражается в элементарных функциях.

Доказательство. Пусть t = tg x . Тогда

2sin

cos

2tg

sin x = sin 2

или sin x

(5)

2 x

+ t2

sin

+ cos

1+ tg

cos

−sin

1− tg

Аналогично cos x = cos 2

2 x

cos

+sin

1+ tg

или cos x =

1− t

(6)

1+ t

Так как t = tg x

, то x = 2arctg t и dx =

2dt

(7)

1+ t2

Выполнив замены переменной в заданном интеграле, с учетом (5), (6), (7)

получим

1− t2

∫R(sin x, cos x)dx

= tg

= ∫R

2 ,

2 dt

(8)

1+ t

Так как

подынтегральной

функции в (8) над новой переменной t

выполняются только рациональные операции и по условию R

рациональная

функция, то подынтегральная функция есть рациональная функция R1(t) переменной t . В разделе 1.5, установлено, что ∫R1(t)dt всегда выражается через элементарные функции.

Следовательно,
∫R(sin x, cos x)dx	t = tg x	= ∫R1(t)dt
∫R(sin x, cos x)dx	t = tg x	= ∫R1(t)dt
	2

всегда можно выразить через элементарные функции.

dx Пример 1.20 Найти ∫9 +8cos x +sin x .

Универсальная подстановка, хотя и всегда позволяет находить интегралы указанного вида, но во многих случаях приводит к громоздким вычислениям. Поэтому уместно находить для частных видов функции

другими методами (приемами).

R(sin x, cos x)

∫R(sin x, cos x)dx

Решение.

Так как

= R(sin x, cos x),

9 +8cos x +sin x

то применим подстановку t = tg x . Согласно (5), (6), (7) получим

∫

t = tg

= ∫

2dt

+8cos x +sin x

−t2

1+ t2

9 +8

+ t2

= ∫

2dt

∫

2dt

t +1 = z,

= ∫

2dz

(t +1)2 +16

z2 + 42

t2 + 2t +17

dt = dz

t +1

1+ tg

arctg

+C =

arctg

+C =

arctg

+C.

Подстановка t = tg x

всегда позволяет найти

∫R(sin x, cos x)dx .

Поэтому она называется универсальной подстановкой.

1.6.3 Частные методы вычисления интегралов ∫R(sin x, cos x)dx

1 Пусть

∫R(sin x, cos x)dx = ∫R1(sin x)cos x dx

(1.43)

Выполним замену sin x = t . Тогда cos xdx = dt и

∫R1(sin x)cos x dx = ∫R1(t)dt , где последний интеграл является интегралом от дробно - рациональной функции, следовательно, вычисляется согласно приемам, изложенным в разделе 1.5.

2 Пусть

∫R(sin x, cos x)dx = ∫R1(cos x)sin x dx

(1.44)

Положим cos x = t , тогда −sin xdx = dt и

∫R1(cos x)sin x dx = −∫R1(t)dt .

Интеграл

∫R1(t)dt вычисляется по схеме,

изложенной в разделе 1.5 .

Пусть

∫R(sin x, cos x)dx = ∫R1(tg x) dx

(1.45)

Положим tg x = t , тогда x = arctg t и dx =

1+ t2

Выполняя замену, получим

∫R1(tg x)dx

= ∫R1

(t)

= ∫R2 (t)dt ,

где

R2(t) =

R1(t)

есть дробно -

+ t2

1+ t2

рациональная функция.

Пусть

∫R(sin x, cos x)dx = ∫R1(sin2 x, cos2 x) dx

(1.46)

Положим tg x = t , тогда

sin2 x =

sin2 x

tg2x

sin2 x +cos2 x

+ tg2x

1+ t2

cos2 x =

cos2 x

sin2 x +cos2 x

+ tg2x

1+ t2

x = arctg t и dx =

1+ t2

Выполнив замену, получим

∫R1(sin

2 ,

2 dt = ∫R2 (t)dt , где

x, cos x) dx = ∫R1

1+ t

2 есть дробно - рациональная функция.

∫R2 (t)dt = R1

1+ t

+ t

1+ t

Пусть

∫R(sin x, cos x)dx = ∫sin2m x cos2n x dx

(1.47)

где m,

n N или нули.

Одночлен sin2m x cos2n x имеет степень (2m + 2n).

Понизим степень этого одночлена, используя формулы связи sin2 x и cos2 x с cos 2x . Имеем,

sin2 x =	1−cos 2x	, cos2 x =	1+cos 2x	. Тогда
	2		2

∫sin		2m	x cos	2n			1−cos 2x m 1+cos 2x n
∫sin			x cos		xdx = ∫		2		2	dx =
							2		2
=		1	∫(1−cos 2x)m (1+cos 2x)n dx.
=	2m+n		∫(1−cos 2x)m (1+cos 2x)n dx.
	2m+n
После возведения в подынтегральной функции получим многочлен
степени (m + n)		относительно				cos2x .		Применяя	к	последнему интегралу

методы вычисления интегралов (1.43), (1.44), … , (1.47), после серии шагов получим интегралы вида ∫sin2 kx dx и ∫cos2 lx dx , где k, l N . Тогда

∫sin2 kx dx = ∫

1−cos 2kx dx

= 1 ∫dx − 1 ∫cos 2kx dx = x

−

sin 2kx +C

∫cos2 lx dx = ∫

1+cos 2lx

dx =

∫dx +

∫cos 2lx dx =

sin 2lx +C

6 Пусть

∫R(sin x, cos x) = ∫sin αx cosβxdx ,

(1.48)

где α, β R .

Преобразуем

произведение

тригонометрических функций в

сумму.

Имеем, sin αx cosβx =	sin(α+β)x +sin(α−β)x						. Тогда

2
∫sin αx cosβxdx =			1	∫[sin(α+β)x +sin(α−β)x]dx =

2
= −		cos(α+β)x			−	cos(α−β)x		+C.
		2(α+β)
						2(α−β)

Аналогично (1.48) вычисляются интегралы вида

∫sin αx sinβxdx и ∫cosαx cosβxdx , где α, β R .

Пример 1.21 Найти ∫cos5 xdx .

Решение.

∫cos5 xdx = ∫cos4 x cos x dx = ∫(1−sin2 x)2 cos xdx .

Так как образовавшийся интеграл относится к виду ∫R1(sin x)cos xdx , то применим подстановку sin x = t . Тогда cos x dx = dt и

∫cos5 xdx = ∫(1−t2 )2 dt = ∫(1−2t2 + t4 )dt =

= t −	2	t	3	+	1	t	5	+C = sin x −	2sin3 x	+	sin5 x	+C.
	3				5				3		5

Пример 1.22 Найти ∫tg4xdx .

Решение.

∫tg4xdx = ∫R(tgx)dx

Тогда, положим tg x = t . Найдем dx = 1+dtt2 .

∫tg

xdx =

∫

dt =

∫

+ t2

−t2 −1+1

dt =

+ t2

1+ t2

(t2 +1)

−(t2 +1) −1

∫

dt = ∫ t

−1−

dt =

= ∫t2dt −∫dt −∫

−t −arctg t +C =

2 +1

tg3x

−tg x −arctg (tg x) +C =

tg3x

− tg x − x +C

1.7 ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть подынтегральная функция f (x)

есть иррациональная функция

вида

x, x

, ... , x

dx , где m ,m

, x n2

, ... ,m

Z ,

n1,n2 , ... ,nk N , R символ дробно - рациональной функции. Теорема 1.5 Интеграл вида

		m1		m2		mk
		n1	, x	n2	,..., x	nk		(1.49)
∫R x, x			, x		,..., x		dx	(1.49)

приводится подстановкой	x = ts ,			где s		наименьшее общее кратное (НОК)

чисел n1, ... ,nk к интегралу от дробно - рациональной функции, следовательно, выражается через элементарные функции.

Доказательство. Пусть

x = ts ,

где s

НОК чисел n1,n2 , ... ,nk . Тогда

dx = sts−1dt и

m1s

mks

, x

,..., x

, t

,..., t

s−1

∫R x, x

dx =

∫R t

dt .

Так как S делится без остатка на n1,n2 , ... ,nk

и m1,m2 , ... ,mk Z , то

числа

s, s −1,

m1s

, ... ,

mks

Z ,

следовательно, подынтегральная функция

есть функция вида R1(t) , где R1 символ дробно - рациональной функции.

Пример 1.23 Найти ∫ 1+

dx .

x −

Решение.

∫1+ x dx = ∫R x, x n1 ,..., x nk x − x m1 mk

	m1		1		m2	= 1
dx , где		=		,			. Полагая x = t2 ,

	n1 2				n2	2

получим dx = 2tdt и ∫ 1x+− xx dx = ∫ t12+−tt 2tdt = 2∫ tt +−11dt .

Этот интеграл относится к классу интегралов от дробно - рациональной функции. Выделяя целую часть, найдем

2∫

t +1

dt = 2∫

(t −1) + 2

t −1

dt = 2∫ 1 +

dt = 2∫dt + 4∫

t −

t −1

= 2t + 4ln t −1 + C = 2 x + 4ln x −1 + C

Пусть f (x) =

+ b n1

ax + b nk

, где

R x,

,...,

+ d

cx + d

a, b, c, d R , m1,m2 , ... ,mk Z , n1,n2 , ... ,nk N .

Теорема 1.6 Интеграл вида

		m1		mk
	ax + b n1		ax + b nk			(1.50)
∫R x,			, ... ,		dx	(1.50)
	cx +d		cx +d

"рационализируется" (сводится к интегралу от дробно - рациональной

функции) подстановкой

ax + b

= ts ,

где s

наименьшее общее кратное чисел

cx +d

n1,n2 , ... ,nk .

Действительно, из

ax + b

= ts

найдем, что x =

dts −b

cx +d

a −cts

dx =

dsts−1(a −cts )+csts−1(dts −b)

dt .

(a −cts )2

Подставляя найденные величины в заданный интеграл, получим

ax +b

+b nk

ax +b

= ts

∫R x,

, ... ,

cx +d

dts −b

m1s

mks

dsts−1(a −cts )+csts−1(dts −b)

= ∫R

, t

, ... , t

dt.

(a −ct

a −ct

)

Вновь числа

m1s

, ... ,

mks

, s, s −1 Z ,

следовательно, полученный

интеграл вновь относится к интегралу от дробно - рациональной функции.

Пример 1.24 Найти ∫ xx+1 dx .

Решение.

ax + b n

Заданный интеграл относиться к виду (1.50), так как при

cx +d

a =1, b =1, c = 0, d =1, m =1, n = 2 .							Тогда, полагая			x +1 = t2 , найдем, что
dx = 2tdt и					(t2 −1)+1
∫	x +1	dx = ∫	2t2	dt = 2∫			dt = 2∫dt +2∫		dt	=
	x		t2 −1		t2 −1
									t2 −1
= 2t +ln t −1			+C = 2 x +1 +ln			x +1 −1		+C.
		t +1				x +1 +1

Интегрирование дифференциальных биномов

Выражение

вида

xm (a + bxn )p dx ,

где

m, n, p,a, b R ,

называется

дифференциальным биномом.

Теорема 1.7 Интеграл вида

∫ xm (a + bxn )p dx ,

(1.51)

где m, n, p Q ;

a,b R "рационализируется" только в следующих случаях:

p целое число. Подстановка x = ts , где s

наименьшее общее кратное

знаменателей чисел m и n ;

m +1

целое число. Подстановка

a + bxn

= t ,

где k

знаменатель

числа p ;

m +1

+ p

целое число. Подстановка ax−n

+ b = tk , где k

знаменатель

числа p .

Теорема 1.7, доказанная академиком П.Л.Чебышевым (1821-1894), нами

принимается без доказательства.

Пример 1.25 Найти ∫

xdx

(x2 −4)3 2

Решение.

∫

xdx

= ∫x(x2

−4)−

dx = ∫xm (a + bxn )p dx ,

(x2 −4)3 2

При m =1, n = 2 ,

p = −

a = −4, b =1.

Так как

m +1

1+1

=1 Z , то выполним подстановку

a + bxn

= tk , где k = 2 . Или x2 −4 = t2 , тогда 2xdx = 2tdt и

∫

xdx

= ∫

tdt

= ∫ dt = −

1 +C = −

+C.

(x2 −4)3 2

(t2 )3 2

−4

Пример 1.26 Найти ∫

1− x

dx .

Решение.

1− x2

(1− x

)2 dx = ∫x

(a + bx

∫

dx =

∫− x

)

при m = −2 , n = 2 ,

p =

, a =1, b = −1.

Число

m +1

+ p =

−2 +1

= 0 Z .

Тогда выполним подстановку ax−n + b = tк,

где k = 2 или x−2 −1 = t2 . Отсюда

x =

и dx = −

tdt

1+ t2

(1+ t2 )3 2

Подставляя, получим

∫

1−x2

dx = −∫(1+ t2 )

1−

tdt

1+ t2

(1+ t2 )3 2

= −∫(1+ t2 )

= −∫

dt = −∫ (t2 +1)−1dt =

(1+ t2 )1 2

(1+ t2 )3 2

1+ t2

= −∫dt +

∫

= −t +arctg t +C t =

− x2

+ t2

= −

1− x2

+arctg

1−x2

+C.

1.8 ЗАДАЧА, ПРИВОДЯЩАЯ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА

Пусть на отрезке [a, b] задана неотрицательная непрерывная функция

y = f (x)

(рис. 1.2). Требуется

вычислить

площадь

y = f (x)

криволинейной

трапеции,

ограниченной сверху

графиком

y = f (x) ,

снизу

осью Ох

a = x0

ξ1

x1 xi −1

ξi

= b

xn−1

прямыми

x = a

x = b ,

где

Рис. 1.2	a < b .
Рис. 1.2
	40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 214 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.66 Mб66УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб107УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб93УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб58УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб25УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб145УМК6.pdf
#
01.04.2025310.27 Кб1УМКД Медицина катастроф.doc
#
01.05.202588.06 Кб0УМП Тексты по специальности БТС, БТН для самос...doc
#
17.03.2015430.08 Кб12УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб80УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб47УМП для выполнения КР Наг.маш..docx