УМК6

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= ∞. Поэтому

бесконечно большая функция, значит lim sin

.pdf

Скачиваний:

155

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

интеграла ∞∫f (x)dx , причем	∞∫f (x)dx ≤ ∞∫g(x)dx . Из расходимости интеграла
0	a	a
∞∫f (x)dx следует расходимость интеграла ∞∫g(x)dx .
a		a
Признак абсолютной сходимости. Если интеграл			∞∫	f (x)	dx сходится,
Признак абсолютной сходимости. Если интеграл			∞∫	f (x)	dx сходится,
			a

то сходится и интеграл ∞∫f (x)dx

В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся. Пример 2.53 Исходя из определения несобственных интегралов с

бесконечными пределами, установить, сходятся или расходятся следующие интегралы:

∞

2x dx

а) ∫

; б)

∫sin x dx ; в)

∫

; г)

∫

x ln2

+ 2

−∞ x 2 + 2x

−∞ x 2

Решение.

а) По формуле (2.16) имеем:

∞

b d(ln x)

∫

= lim

∫

= lim

∫

= lim

−

x ln2 x

ln2 x

ln x

b→∞

= lim

−

= −

Поскольку

мы получили

ln b

ln 2

∞

ln 2

b→∞

конечное число, то интеграл сходится.

б) По формуле (2.16) имеем:

0b )= lim(− cos b + cos 0)=

∞

∫sin x dx

= lim

∫sin x dx = lim(−cos x

b→∞

= lim(1−cos b). Так

как

при

b → ∞ cos b предела

не

имеет, то по

b→∞

определению в этом случае интеграл расходится.

в) По формуле (2.18) представим данный интеграл как сумму двух несобственных интегралов:

∞

∫

= ∫

∫

+ 2x + 2

+ 2x +

x 2 + 2x

+ 2

−∞ x 2

+ lim

d(x +

lim ∫

∫

lim ∫

x 2

+ 2x + 2

x 2 + 2x

+ 2

(x +1)2

a→−∞ a

b→∞

a→−∞ a

121

+ lim

b∫

d(x +1)

= lim

(arctg(x +1)

0 )+ lim

(arctg(x +1)

b )=

(x +1)2 +

a→−∞ 0

a→−∞

b→∞

= lim (arctg(0 +1)− arctg(a +1))+ lim(arctg(b +1)− arctg(0 +1))=

a→−∞

b→∞

−arctg(−∞)+ arctg(+ ∞)

−

= π < ∞.

Итак,

= −

∞

несобственный интеграл ∫

сходится.

+ 2

−∞ x 2 + 2x

г) Аналогично предыдущему случаю:

2 +1)

∞ d(x

2 +1)

∞

2x dx

∞

2x dx

∞ d(x

∫

+ ∫

= 0

∫

x 2 +1

x 2

−∞ x 2 +1

−∞

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности:

d(x 2 +1)

0 d(x 2 +1)

∫

lim ∫

= lim ln(x

+1)

−∞

x 2 +1

a→−∞ a

x 2

a→−∞

= lim

(ln1− ln(a 2

+1))= 0 − ln ∞ = −∞;

a→−∞

∞ d(x 2 +1)

b d(x 2 +1)

∫

= lim

∫

= lim ln(x

+1)

x 2 +1

b→∞

0 x 2 +1

b→∞

= lim(ln(b2 +1)−ln1)= ln ∞ = ∞.

b→∞

Так как каждый из последних интегралов расходится, то и исходный

∞	2x dx		− расходится.
интеграл ∫
		+1
−∞ x 2

Пример 2.54 Используя признаки сходимости несобственных интегралов, исследовать на сходимость:

∞ ln(x 2

+1)

∞

x13

∞

sin x

а) ∫

dx ; б) ∫

dx ; в) ∫

dx .

x 2

1 (x5 + x3 +1)3

π 2

Решение.

ln(x 2 +1)

а) Для x ≥1 имеем

ln x

2ln x

∞ ln(x 2

+1)

dx >

∞ 2ln x

Итак имеем ∫

∫

122

∞ ln x		∞		∞		2		b

2∫		dx = −2∫ln x d(ln x)= 2 lim		∫ln x d(ln x)= 2 lim ln			x		=

1	x	1	b→∞	1	b→∞			1

= 2 lim(ln2 b − ln2 1)= 2ln2 ∞ = ∞ − расходится, значит интеграл от большей

b→∞

функции и подавно расходится

x13

б)

При

x ≥1

имеем

. Значит имеем

(x5 + x3 +1)3

(x5 )3

x 2

∞

x13

13 dx

∫

dx <

∫

. Исследуя на сходимость

больший интеграла, то

5 + x

3 +1)3

x 2

1 (x

∞ dx

1 b

есть

∫

= lim

∫

= lim −

= lim

−

+1 = 0 +1 =1 < ∞ это значит,

x 2

1 x 2

b→∞

x 1

b→∞

что больший интеграл сходится, значит меньший интеграл и подавно сходится.

∞

sin x

в) ∫

dx . Подынтегральная функция на интервале

;∞ является

π 2

∞

sin x

dx . Но так как

знакопеременной,

поэтому

выясним

сходимость

∫

x 2

sin x ≤1, то sin x ≤ 1

и тогда

∫

sin x dx ≤

∫

π 2

dx .

∞

π 2

x 2

∞

x 2

−

Больший интеграл

∫

сходится (в

этом

не трудно

убедиться,

π 2 x 2

вычислив его по формуле (2.16)), значит меньший интеграл также сходится, то

∞	sin x	dx
тогда ∫			сходится абсолютно.
тогда ∫	x 2		сходится абсолютно.
π 2	x 2
			2.9.2 Интеграл от неограниченных функций

Если функция y = f (x) определена и непрерывна при x [a; b] и имеет

бесконечный разрыв в точке x = b , то есть lim f (x)= ∞, то по определению

x→b

полагают

123

b		b−ε
∫f (x)dx = lim		∫f (x)dx .							(2.19)
a	ε→0	a
Аналогично	определяются		несобственные				интегралы,	если	функция
y = f (x) терпит	бесконечный		разрыв			в точке	x = a или	в	некоторой
внутренней точке x = c, где a < c < b :
∫b f (x)dx = lim		∫b f (x)dx .							(2.20)
a	ε→0 a+ε
b		С−ε1				b			(2.21)
∫f (x)dx = lim		∫f (x)dx + lim				∫f (x)dx .			(2.21)
a	ε →0	a	ε	2	→0	С+ε2
a	1	a		2		С+ε2

Если указанные пределы существуют и конечны, то соответствующие им несобственные интегралы от разрывных функций называются сходящимися, в противном случае – расходящимися.

Для решения вопроса о сходимости несобственных интегралов от неограниченной функции обычно используются признаки сходимости, аналогичные признакам сходимости для несобственных интегралов с бесконечными пределами.

Пример 2.55 Вычислить несобственные интегралы или установить их

π 2		1	1	3	dx	6		dx
расходимость: а) ∫	sin			dx ; б) ∫		; в) ∫
		x	x 2		4x − x 2 −3		3	(4 − x)2
0				1		2

Решение.

а) При x = 0 подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв, так как при x → 0 y = sin 1x − есть ограниченная функция, а y = x12 → ∞.

Произведение ограниченной функции на бесконечно-большую функцию есть

вычисляем интеграл по формуле (2.20)

π 2

sin

dx = −lim

π 2

∫

x 2

ε→0

0+ε

= −lim

−cos

+ cos

= cos

ε→0

	1		1
sin		d			= −lim	−
sin		d			= −lim	−
	x	x			ε→0
	x	x			ε→0
− lim cos				1
− lim cos				ε
ε→0				ε

cos 1 π2 =

x 0+ε

Так как последний предел не существует, то исходный интеграл расходится.

124

б)	Подынтегральная		функция y =			1	терпит бесконечный
						4x − x 2 −3
разрыв при x =1 и x = 3, поэтому используем формулу (7.34):
3	dx	3	dx		3	dx
∫		= ∫		+	∫		. Вместо точки x = 2
	4x − x 2		4x − x 2			4x − x 2 −3
1		−3 1		−3	2

можно было взять любую другую точку из интервала (1;3)

Выясним сходимость каждого из вновь полученных интегралов:

= lim

d(x − 2)

= lim(arcsin (x − 2)

12+ε )=

∫

− x 2

−3

ε→0

1+ε

1 −(x − 2)2

ε→0

−

;

= lim(arcsin 0 − arcsin(1+ ε − 2))= −arcsin(−1)= −

ε→0

32−ε )=

= lim

3−ε

d(x − 2)

= lim(arcsin (x − 2)

∫

− x 2 −3

ε→0

1−(x − 2)2

ε→0

= lim(arcsin(3 −ε − 2)− arcsin 0)= arcsin1

= π

ε→0

+ π = π, то есть интеграл сходится.

Итак,

∫

− x 2 −3

в) Подынтегральная функция y =	1	терпит бесконечный разрыв
	3 (4 − x)2

в точке x = 4, которая является внутренней точкой интервала интегрирования [2;6]. По формуле (2.21):

	6			dx							4	dx			6		dx							4−ε1	(4 − x)−				2		d(4 − x)−
	∫									=	∫			+ ∫							= − lim			∫
	∫									=	∫			+ ∫							= − lim			∫					3
	2	3	(4 − x)2								2 3	(4 − x)2			4 3 (4 − x)2								ε1→0	ε1→0
																			1		4−ε1						1			6
																			1		4−ε1						1			6
		6						−	2								(4 − x)3								(4 − x)3
− lim			(4		− x)			−	3 d(4								(4 − x)3								(4 − x)3								=
− lim			(4		− x)				3 d(4			− x)= − lim											− lim										=
ε2	→0 4+∫ε2													ε1	→0		1 3						ε2	→0		1 3
																					2									4+ε2
																					2									4+ε2
					1					1					1				1					1							1
					1										1				1
−3 lim			(ε		)		−	2		3	−	3 lim		(− 2)			−(−ε		)			= −3 − 23				−3	−	23				=
−3 lim			(ε	1	)	3	−	2		3	−	3 lim		(− 2)		3	−(−ε	2	)	3		= −3 − 23				−3	−	23				=
	ε →0			1								ε	→0					2
	1											2

=3 23 + 3 23 = 63 2 , значит интеграл сходится

125

Пример 2.56 Исследовать на сходимость интегралы, используя признаки

1	dx	1 cos		1
				x dx .
сравнения а) ∫		; б) ∫
	x 2 (x −5)
0		0	x

Решение.

Подынтегральная функция y = dx терпит бесконечный разрыв

x 2 (x −5)

при x = 0 и x = 5. Но точка x = 5 не принадлежит интервалу интегрирования, а точка x = 0 является левой границей интервала интегрирования. Перепишем интеграл в следующем виде:

1	dx	1	dx	1	dx
∫		= ∫		= −∫		.
	x 2 (x −5)		x3 −5x 2		5x 2 − x3
0		0		0

Для

x [0;1]

2 − x3 > 0

5x 2 − x3

< 5x 2 .

Поэтому

тогда

∫

> ∫

Исследуем

на

сходимость

5x 2 − x3

5x 2

5x2 − x

5x 2

меньший

интеграл:

−2

−1

∫

lim

∫ x

dx =

lim − x

−1 +

+ ∞ = ∞.

x 2

ε→0

0+ε

ε→0

0+ε

Итак, меньший интеграл расходится, значит больший интеграл и подавно расходится.

1 cos

x (0;1]

б) ∫

x dx .

Для

имеет

место следующее

соотношение

cos

≤

Тогда

Исследуем

на

сходимость

∫

dx ≤ ∫

1 2

больший

интеграл:

∫

= lim ∫

1 2

0+ε

= 2lim x

= 2(1−0)= 2,

ε→0

0+ε

ε→0

значит больший интеграл сходится, тогда меньший интеграл и подавно

126

	1
1	cos
	cos
	x	dx сходится
сходится. А отсюда вытекает, что исходный интеграл ∫	x	dx сходится
0	x
абсолютно.

2.10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

2.10.1 Вычисление площади плоской фигуры

Если на отрезке [a; b] функция y = f (x) непрерывна и положительна, то площадь криволинейной трапеции с основанием [a; b], ограниченной сверху графиком этой функции, вычисляется по формуле

S = b∫f (x)dx = ∫b y dx .							(2.22)
a			a
Если на отрезке [a; b] функция y = f (x) непрерывна и отрицательна, то
площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
b			b
S = ∫	f (x)		dx = ∫	y	dx .		(2.23)

a			a
Можно вычислить S = b∫f (x)dx без модуля, но затем результат взять по
				a
модулю.
Если непрерывная и положительная функция x = ϕ(y)							определена на
отрезке [c,d], то		площадь криволинейной трапеции с основанием [c,d] и
ограниченной графиком функции x = ϕ(y), вычисляемые по формуле
d			d
S = ∫ϕ(y)dy = ∫x dy.							(2.24)
c			c
Если площадь ограничена кривой, заданной в полярной системе
координат уравнением ρ = ρ(ϕ), тогда площадь фигуры,						ограниченной дугой
кривой ρ = ρ(ϕ)		и двумя лучами ϕ = α и ϕ = β,				то	есть площадь

криволинейного сектора SOAB вычисляется по формуле:

127

CAD)

S= 1 β∫ρ2 (ϕ)dϕ 2 α

Пример 2.57 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 2x +1 и y − x +1 = 0.

Решение.

Вычислим координаты точек A и B, то есть точек пересечения графиков функций y2 = 2x +1 и y = x −1. Подставим x из второго уравнения x = y +1 в первое уравнение: y2 = 2(y +1)+1 = 2y +3 или

y2	− 2y −3 = 0. Находим y1 = −1, y2 = 3. Тогда x1 = −1+1 = 0;
x 2	= 3 +1 = 4
	Получили A(0;−1) и B(4;3)

Площадь нашей фигуры состоит из двух «кусков»: одной находится в положительной полуплоскости относительно оси OY (это CBD), другая – в отрицательной (это

					4									4											1	4					1
		SCBD = ∫								2x +1dx − ∫(x					−1)dx =											∫(2x +				1)			d(2x				+1)−
																															2
																															2
							−1 2							1									2			−	1
							−1 2							1												−
																										2
4											1 (2x +1)3 2						4			(x −1)2									4		1			93 2						32
4											1 (2x +1)3 2						4			(x −1)2									4		1			93 2						32
− ∫(x −1)d(x −1)=																					−									=											− 0	=

											2			3 2												2					2			3 2			− 0		−	2
1											2			3 2												2					2			3 2						2
= 9 −			9	=		9	.										−1 2												1
																	−1 2												1

		2			2
		2			2
					1																					3 2		0		+ (x −1)							2	1
					1																					3 2		0									2	1
		SCAD = ∫						−		2x +1d(x −1)= −									(2x +1)																			=
					0																		3 2					−1 2						2				0
= −	2	+ 0			+ 0 −				1	= −		7	, тогда: SCAD						=			7	.
= −		+ 0			+ 0 −			2		= −			, тогда: SCAD						=		6		.
3								2			6					9				7	6			27 + 7						34					17
		Итак, искомая площадь S =														9		+		7	=			27 + 7				=		34		=			17	(ед. 2 ).
		Итак, искомая площадь S =													2			+	6		=							=				=		3		(ед. 2 ).
															2				6							6				6				3
		Пример 2.58 Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти и
ограниченной кривыми y2														= 4x,		x 2			= 4y,							x 2 + y2 = 5

128

Решение.

Искомая площадь состоит из суммы двух площадей S = S1 +S2 , изображенных на рисунке. Найдем координаты точек пересечения графиков кривых, то есть точек A и B.

			Точку A найдем, решив совместно уравнения y2																																								= 4x и x 2 + y2 = 5.
Из			первого											уравнения							y2				= 4x								подставим								во			второе						уравнение
x 2 + y2 −5 = 0.																	Получили						квадратное											уравнение, которое имеет два
действительных															корня			x1 = +1; x 2													= −5.			Наш					корень x =1, тогда												y = 2.
Итак A(1;2).														Аналогично,								решая										совместно								уравнения								x 2 + y2			= 5				и
y2 = 4x , получим B(2;1)
									1								1	x 2									1				1 2				1	1		2
				S1 = ∫ 4x dx − ∫															dx =							2∫x							dx −			∫x				dx =
				S1 = ∫ 4x dx − ∫														4	dx =							2∫x							dx −		4	∫x				dx =
									0								0	4									0								4	0
	x3 2				1				1 x3					1				2								1				1					4			1				15			5
	x3 2				1				1 x3					1				2								1				1					4			1				15			5
2							−									= = 2			− 0				−									− 0 =					−				=			=			;
2	3 2						−		4 3							= = 2		3	− 0				−			4				3		− 0 =			3		−	12			=	12		=	4		;
	3 2					0			4 3					0				3								4				3					3			12				12			4
						0			2					0					2 x										для первого итеграла сделаем
												5 − x 2 dx −										dy =																																=

				S2																									замену переменной
				S2				= ∫											∫		4								замену переменной
									1										1		4								x = 5cos t; dx = 5d(cos t)= −5sin t dt
																													x = 5cos t; dx = 5d(cos t)= −5sin t dt
	arccos					2																	1 x3							2						arccos				2								7
=	arccos					5		5 sin t(−5sin t dt)−																						2		= −5			5	arccos				5 sin 2 t dt −									=
			∫			5																															∫
			∫																				4				3 1										∫										12
						1																	4																	1							12
		arccos				5																														arccos5
		arccos				5																														arccos5
									2																																		2
			5			5 arccos															7							5			5			sin 2t						arccos					7
			5			5 arccos				5											7							5			5			sin 2t						arccos			5		7
= −									∫(1			− cos 2t)dt −											= −										t −											−				=
= −			2						∫(1			− cos 2t)dt −								12			= −							2			t −			2								−	12			=
			2						1											12										2						2					arccos		1		12
								arccos
																																											5
											5																																5
=		−	5 5													2	− arccos				1	−		1													2			+	1									1	−		7		=
=			2					arccos								5	− arccos				5	−			2		sin 2 arccos										5			+	2	sin 2arccos									−		12		=
		2	2			5							3			5					5				2												5				2									5			12
=		2	+			5	arcsin						3			(ед. 2 ).
=	3		+			2	arcsin									(ед. 2 ).
	3					2						5																																		α −β						α +β
			Здесь воспользовались формулами: sin α −sin																																						β = 2sin					α −β				cos		α +β
			Здесь воспользовались формулами: sin α −sin																																						β = 2sin									cos
и arcsin α − arcsinβ = arcsin(α 1−β2																																	−β 1− α2 ).															2					2
и arcsin α − arcsinβ = arcsin(α 1−β2																																	−β 1− α2 ).

129

Пример 2.59 Вычислить площадь фигуры ограниченной осью ординат, кривой y = ln x и прямыми y =1, y = 2 .

Решение.

Вданном случае целесообразно для вычисления площади

воспользоваться не формулой (2.22), а следующей формулой: S = b∫ϕ(y)dy .

Для использования данной формулы, из функции y = ln x выразим x через y:

2	2	= e2 − e1 = e(e −1)≈ 4,68 (ед. 2 )
x = ey , тогда S = ∫ey dy = ey
1	1


Пример 2.60 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой линией,
заданной параметрическими уравнениями: x = a cos t; y = b sin t .

Решение.

Данные уравнения задают эллипс с центром в начале координат. Оси координат совпадают с осями симметрии эллипса и поэтому делят его на четыре одинаковые части. Поэтому найдем площадь S1 части эллипса расположенную в первой четверти.

В формулу (2.22) подставим y = b sin t;

dt = a d(cos t)= −a sin tdt и

найдем

границы

интегрирования, поскольку

0 ≤ x 2

≤ a ,

то при x = a;

a cos t = a,cos t =1 значит t = 0 . При x = 0

a cos t = 0,

cos t = 0, значит

t =

y dx = −

π 2

sin 2

∫

bsin t a sin t dt = −ab −

∫

t dt =

π 2

(1− cos 2t)dt =

π 2

= ab ∫

∫dt −

∫cos 2tdt =

(t)

π 2

ab sin 2t

π 2

ab π

(sin π −sin 0)=

πab

−

− 0

−

πab

Итак, площадь всего эллипса S = 4S

= 4

= πab (ед. 2 )

Пример 2.61

Вычислить

площадь

фигуры, ограниченной

астроидой

x = a cos3 t ,

y = a sin3 t

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2113 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20153 Мб112УМК.PDF
#
17.03.20153 Мб71УМК.PDF
#
17.03.20154 Мб98УМК.PDF
#
17.03.20152 Мб67УМК.PDF
#
17.03.20152 Мб26УМК11.pdf
#
17.03.20152 Мб155УМК6.pdf
#
01.04.2025310 Кб2УМКД Медицина катастроф.doc
#
01.05.202588 Кб2УМП Тексты по специальности БТС, БТН для самос...doc
#
17.03.2015430 Кб13УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219 Кб84УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164 Мб53УМП для выполнения КР Наг.маш..docx