Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК6

.pdf

Скачиваний:

144

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

31. Криволинейная трапеция площадью в 9000 кв.ед. ограничена кривой x − y2 = 0 , осью ординат и некоторой прямой, перпендикулярной оси ординат.

Найти эту прямую.

32. Криволинейная трапеция площадью в 3 кв.ед. ограничена кривой y = 3sin x ,

осью абсцисс и некоторой прямой, параллельной оси ординат. Найти прямую,

если 0 ≤ x ≤ π2 .

33. Прямая проходит через начало координат и отсекает от кривой y =10x4

сегмент площадью 96 кв.ед. Найти точки пересечения прямой и кривой.

34. Прямая проходит через начало координат и отсекает сегмент от параболы y = 3x2 . При каком угле наклона прямой площадь этого сегмента составит 13,5

кв.ед?

35. Криволинейная трапеция площадью в 7 ln1 2 кв.ед. ограничена кривой y = 2x , координатными осями и некоторой прямой, параллельной оси ординат.

Найти уравнение этой прямой.

36. Доказать, что равенство (равновеликость криволинейных трапеций)

p	dx	p
∫		=∫ xdx невозможно, если p – целое число, отличное по модулю от
	x
1		1

единицы.

181

Задание №12

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярной системе координат

1	ρ =			sin		3	ϕ	13	ρ = 3sin 4ϕ						25	ρ2 =		ϕ
				sin													cos 4
2	ρ = cos ϕ+ sin ϕ							14	ρ = ϕ						26	ρ = 2		3 cos ϕ
2	ρ = cos ϕ							14	ρ = ϕ2						26	ρ = 2sin ϕ

3	ρ = 2 cos ϕ							15	ρ = 2 −cos ϕ						27	ρ = 2 cos 3ϕ
3	ρ ≥1							15	ρ = cos ϕ						27	ρ ≥1

4	ρ = 4sin 2ϕ							16	ρ2 =					ϕ	28	ρ = 2(1+ cos ϕ)
												4sin 3
5	ρ = 2 + cos ϕ							17	ρ = 9 cos2 ϕ						29	ρ = 4 cos 4ϕ

6	ρ2		=				ϕ	18	ρ = 3 +sin 3ϕ						30	ρ = 3sin 4ϕ
					9cos 2
7	ρ = 4 cos 3ϕ							19	ρ = cos ϕ+sin ϕ						31	ρ = 4sin2 ϕ

8	ρ = 2 cos ϕ							20	ρ = 2sin ϕ						32	ρ = 2sin ϕ
8	ρ = cos ϕ							20	ρ = 3cos ϕ						32	ρ = 4sin ϕ

	ρ =					1			ρ =		1
											ϕ
				1−cos ϕ							ϕ					ρ = 3cos ϕ
9	ϕ =			π				21	ρ =			1			33	ρ = 3cos ϕ
9	ϕ =			4				21	ρ =		sin ϕ				33	ρ = 5cos ϕ
	ϕ =			π									π
	ϕ =			2					ϕ 0;
				2									2

710	ρ = 4cos3 ϕ							22	ρ = 3(1+sin ϕ)						34	ρ2 = 9sin 2ϕ

	ρ	2	= 2cos 2ϕ						ρ =				3			ρ = 4sin ϕ
		2
11								23							35
11	ρ ≥1							23		1+0,5cosϕ					35	ρ = 4 cos ϕ
	ρ ≥1									1+0,5cosϕ						ρ = 4 cos ϕ

12	ρ = 2 + cos 2ϕ							24	ρ2 +ϕ2				=1		36	ρ =1+sin ϕ

182

Задание №13

Вычислить длины дуг кривых

y = ln x

y = ln cos x

y = ln sin x

x [ 3; 15]

;

y = chx

ey = e

y = 2ch

x [0;1]

−1

[1;2]

x [0;3]

y =1−ln cos x

5y2

= x3

y = ln(x2 −1)

[0;25]

x [2;3]

x 0;

y = ex

y = x

y = 0,25 x2

x [0;1]

x [0;9]

x [0;2]

y = ln 7 −ln x

y =1−ln sin x

= x

x [ 3; 8]

;

x [0;10]

y = x

y = 2 + chx

y2 = 4x

x [1;4]

x [0;1]

y = ln(1− x2 )

y = 2 + ln cos x

y =

− ln x

x [0;0,25]

x [1;2]

y = 2

x = 0,25y2 −0,5ln y

y = 0,5 x2

x [0;1]

y [1;e]

x [0;4]

y =1−ln(x2 −1)

y = 2 −ex

y = 2 ln(4 − x2 )

x [3;4]

[ln 3;ln 8]

y ≥ 0

y = ex

y = 3 +chx

y2 = 2x3

x [0;ln 2]

x [0;1]

y =1−ln cos x

y = ln

y =

3ln(9 − x

)

x [ 3; 8]

y ≥ 0

183

	y =1−chx		y = 0,5 ch2x		y = ln x	]
12	x [0;1]	24	x [0;2]	36	x [ 3; 8	]

Задание №14

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями

x = cos t + t sin t

x = 2 cos t − cos 2t

x = t −sin t

− t cos t

y = sin t

y = 2 sin t −sin 2t

y =1 − cos t

t [0;2π]

x = 2 sin t

x = 6 cos t + 8sin t

2 cos

x =

y = 2 cos t

y = 6sin t − 8cos t

y = sin

t [0; π2

]

t [0; π2

]

t [0; π2

]

x = cos t + sin t

x = 4(t −sin t)

x = cos t + ln tg

y = cos t −sin t

y = 4(1 − cos t)

t [π2 ; 2π3]

y = sin t

t [0;2π]

t [π4 ; π2

]

x = 2 cos

x = cos

3 t

x =

y = 2 sin

y = sin

t [0; π

]

t [0; π

]

y = t − t

t [0;0,5]

x = 2(t −sin t)

x =

x = 4 2 sin t

y = 2(1 − cos t)

y = ln t

y = sin 2t

t [0; π]

t [ 3; 15]

t [0; π]

x =1 + 2 cos t

x = 2

2 cos

x = sht − t

y = 3 + 2sin t

+ 2sin

y = cht −1

y = 2

t [0; π]

t [0; π4

]

t [0;2π]

x = 2(cos t + t sin t)

x = t2

x =

y = 2(sin t − t cos t)

y = t

−

y =

t [0; π]

t [0;1]

t [1;2]

184

x = t

x = 8cos

x = cos

y = t

= sin

y = 8sin

t [0;1]

[0; π

]

[0; π

]

x = 4 cos t − 2 cos 2t

= ch

= e

cos t

y = 4sin t − 2 sin 2t

y = sh

y = e

sin t

t [0; π]

t [0;2π]

t [0; ln π]

x =

x = 3(sht − t)

x =

= ln(t −1)

y =

y = 3(cht −1)

t [0;2π]

t [4;9]

t [1;9]

x = t2

= 3 t

− t

y = t

−

y = t − t

= t

+ 2

t [0;1]

t [0; 3]

t [0;3]

x = 2(sht − t)

x = 9(t −sin t)

x = cos

y = 2(cht −1)

y = 9(1 − cos t)

= sin

t [0; π]

[0; π4

]

Задание №15

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными

уравнениями в полярной системе координат

ρ = 2(1−sin ϕ)

ρ = 3(cos ϕ+sin ϕ)

ρ =1−sin ϕ

ϕ [0 ;

]

[0;

]

ϕ − π

−

[

2 ;

ρ = 2eϕ , ϕ [0;1]

ρ = ϕ, ϕ [0;π]

ρ = 4ϕ, ϕ [0; π4]

ρ = 2ϕ

ρ =1+ cos ϕ

ρ =

2 eϕ

ϕ [0;π]

ϕ [0; π2]

ϕ [0 ; π 3 ]

ρ = 3ϕ

]

ρ = 2(1+ cos ϕ)

ρ = 3(1+sin ϕ)

ϕ [0;

ϕ [−

; π

]

[0 ; π

]

ρ =1−cos ϕ

ρ = ϕ2

ρ = 2(cos ϕ+sin ϕ)

185

ϕ [0; π 2 ]

ϕ [0;π]

ϕ [0 ; π 4 ]

, ϕ [0; π4]

ρ = 3sin ϕ

ρ = 3 e3ϕ

ρ=

ϕ [π4 ; π]

ϕ [− π2 ; π2]

cosϕ

ρ = 3cos ϕ

ρ = cos ϕ+sin ϕ

ρ = 2ϕ2

ϕ [− π2 ; π2]

ϕ [0; π2]

ϕ [π4 ; π]

ρ = 4 cos ϕ

]

ρ = th(0,5ϕ)

ρ = 2sin ϕ

ϕ [−

;

ϕ [0;2π]

ϕ [0;π]

ρ = 3ϕ2 ,

ϕ [0; π

]

ρ =

ϕ [3

; 4

]

ρ =

, ϕ [3

;1]

ρ =

ρ = sin3 3

sin ϕ

1+ cos ϕ

ϕ π

; π

ϕ [0; π

]

ϕ − π

;

]

[

ρ = 8(1 − cos ϕ)

ρ =1−cos ϕ

ρ = 2 th(0,5ϕ)

ϕ [−

2π

;0]

ϕ [0;2π]

ρ = cos3

ρ =

sin ϕ

cosϕ

3 ]

ϕ [0; π

]

[ 3

[

ϕ π

; π

ϕ 0 ;

Задание №16

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций. Для вариантов 1-18 ось вращения – ось Ox, для вариантов 19-36 ось вращения – ось Oy.

y = x e

y =

1 + x 2

= x

y = 0

2 y

x =1

y =

x = 0

y = sin x

[0; π]

xy = 4

x [2;∞)

− y

= 4

y = 0

y [−2;2]

186

x = t −sin t

= x

+ 1

x = sin

x =

y =1 − cos t

y = 0

y = cos

t [0;2π]

= 0

t [0; π

]

y = 0

= 1

y = x2

y 1

x [0;1]

x [0;2]

y =

y = x

−x

= 2 x

− x

sin x

= 0

= x

x [0; π]

y = chx

x [0;1]

y = x

= x

y2 = 8x

y = shx

x [1;2]

−

= x

y =1

y = x

xy =1

y = ln x

= e−x

= 2

= 0 x [0;∞)

x [0;∞)

= 0

y = x 2

− 4 x + 4

y = arcsin

1+ x2

x [0;∞)

= 0

= arccos

= 0

y = cos x

y = arcsin

y = x 2

x [0; π]

= arccos

= 0

= 4

xy =1

y = chx

y =

x [0;5]

= 0

y [1;8]

= 0

y [1;2]

y =3sinx

[0; π]

y = ex

y [1;2]

y = x3

y [0;8]

= 0

y =sinx

187

Задание №17

С помощью определенного интеграла решить следующие физические задачи.

1.Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из котла, имеющего форму параболоида вращения, радиус основания которого равен R , а высота H .

2.Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы вытащить из воды конус, подвешенный так, что его вершина находится на поверхности воды.

3.Шар радиуса R и удельного веса γ =1 погружен в воду так, что касается ее поверхности. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы извлечь шар из воды.

4.Из цилиндрической цистерны выкачивается жидкость. Какая при этом должна быть совершена работа, если длина цистерны l м, а диаметр d метров?

5.Цилиндрический баллон диаметром 24 см и длиной 80 см наполнен газом

под давлением 2 кн/ м2 . Какую работу надо совершить при изотермическом сжатии газа до объема в 2 раза меньшего?

6.Вычислить работу, которую надо совершить, чтобы насыпать из песка конус, радиус основания которого R=1,2 м, а высота 1 м.

7.Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила 1 н. растягивает ее на 0,01 м?

8.Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального

цилиндрического резервуара высотой H = 6 м и радиусом основания

R= 2 м. Удельный вес масла γ = 8820 н/ м3 .

9.Однородный прямой конус высотой 0,1 м и радиусом основания 0,1 м,

удельным весом γ = 29400 н/ м3 находится на дне бассейна глубиной 0,1

м. Какую работу надо совершить, чтобы извлечь этот конус из воды?

188

10.Какую работу нужно произвести, чтобы поднять тело весом P н на высоту H м от центра земли.

11.Растяжение пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу при растяжении пружины на 6 см, если сила, равная 2 кН, удлиняет

еена 1 см.

12.Деревянная прямоугольная балка плавает на поверхности воды. Вычислить

работу, необходимую для ее извлечения из воды, если размеры поперечного сечения балки равны 0,4 м; 0,2 м; длина 4,5 м, а удельный вес дерева

γ= 0,8 г/ м3 .

13.Вычислить работу, которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму полушара радиуса R = 8 м.

14.Вычислить работу, которую необходимо совершить, чтобы остановить железный шар радиуса R , вращающийся с угловой скоростью ω вокруг своего диаметра.

15.Определить работу, совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту 200 км. Масса спутника равна 6 т, радиус Земли R = 6380

км. Ускорение свободного падения у поверхности Земли g =10 м/ с2 .

16. В жидкость плотности ρ погружена треугольная пластина так, что ее вершина находится на поверхности воды. Найти давление жидкости на пластину, если основание треугольника равно a, а высота h.

17. Найти давление бензина на стенки цилиндрического бака высотой 4 м и радиусом 2 м, если плотность бензина ρ = 900 кгс/ м3 .

18.Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции с верхним основанием 70 м, нижним 50 м и высотой 20 м.

19.Вычислить силу давления жидкости на вертикальный эллипс с осями 2a и

2b, центр которого погрузили в жидкость на уровень h (h ≥ b) . d –

плотность жидкости.

20. Найти давление на пластинку, имеющую форму равнобочной трапеции с основаниями a и b, высотой h, погруженную в жидкость на глубину d.

189

21. Найти величину давления воды на вертикальную стенку в форме полукруга, диаметр которого, равный 6 см, находится на поверхности воды. Плотность воды ρ =1000 кгс/ м3 .

22.	Вертикальная плотина имеет	форму	параболического сегмента высотой
	h =12 м. Верхнее основание	a = 30	м находится на поверхности воды.
	Вычислить силу давления воды на плотину.
23.	Определить давление воды на вертикально погруженный в неё эллипс

x2 + y2 =1, если большая ось находится на поверхности воды.

25 16

24. Плотина имеет форму трапеции. Вычислить давление воды на плотину, если верхнее основание ее равно 800 м, нижнее 200 м, а высота 20 м.

25. Найти величину давления воды на поверхность шара диаметром 4 м, если его центр находится на глубине 3 м.

26. В жидкость с плотностью ρ погружена круглая пластина диаметром d.

Найти давление жидкости на пластину, если пластина касается поверхности воды.

27.Верхний край шлюза, имеющий форму квадрата со стороной 8 м, лежит на поверхности воды. Определить величину давления на каждую из частей шлюза, полученных делением квадрата его диагональю.

28.Найти величину давления воды на поверхность шара диаметром d, если его

центр находится на глубине d2 .

29.Вычислить величину давления на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что основание его равно 5 м, высота 4 м, верхнее основание параллельно свободной поверхности воды и находится на глубине 5 м.

30.Прямоугольная пластинка со сторонами a и b погружена в воду под углом α

кповерхности воды. Вычислить давление воды на пластинку, если большая ее сторона a параллельна поверхности и лежит на глубине H.

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.66 Mб66УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб107УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб93УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб58УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб25УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб144УМК6.pdf
#
01.04.2025310.27 Кб1УМКД Медицина катастроф.doc
#
01.05.202588.06 Кб0УМП Тексты по специальности БТС, БТН для самос...doc
#
17.03.2015430.08 Кб12УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб80УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб46УМП для выполнения КР Наг.маш..docx