Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК6

.pdf

Скачиваний:

145

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

t ≈ 0,6 a

S x

Из соотношения (*)

2g(H − x). Рассматривая сумму всех t

и переходя к пределу при n → ∞ в этой сумме, получим:

T = ∫

Sdx

∫

(H − x)−2 dx =

H 0,6a 2 g(H − x)

0,6a

2 g H

(H − x)2

S 2H

0,6 a 2g

1 2

0,6 a

(H −

0)2

−(H − H)2

0,6a g

2 g

151

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 6 «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

3. Материалы для самостоятельной работы студентов

3.1КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Первообразная функция.

2.Неопределенный интеграл.

3.Простейшие свойства неопределенного интеграла и его геометрический смысл.

4.Интегрирование методом разложения.

5.Интегрирование методом замены переменной.

6.Метод интегрирования по частям.

7.Интегрирование простейших дробей.

8.Интегрирование дробно-рациональной функции.

9.Интегрирование тригонометрических функций.

10.Интегрирование иррациональных функций.

11.Определение определенного интеграла.

12.Свойства определенного интеграла

13.Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования.

14.Формула Ньютона-Лейбница.

15.Замена переменной в определенном интеграле.

16.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

17.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

18.Несобственные интегралы от неограниченных функций.

19.Геометрические приложения определенного интеграла.

20.Вычисление площадей фигур в декартовых координатах.

21.Вычисление площадей фигур в полярных координатах.

22.Длина дуги плоской кривой в декартовых координатах.

23.Длина дуги плоской кривой в полярных координатах.

23.Объем тела вращения.

24.Решение физических задач с помощью определенных интегралов.

153

3.2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.2.1 Вычислить неопределенные интегралы

1) ∫(x4 − 4x3 + 2x)dx

2) ∫

1 − 6x

+ 4x

Ответ:

− x4 + x2 + C

Ответ: − x − 6ln

+ 4x + C

125 − x

3) ∫

( x −1)

4) ∫ 3 x −5dx

x +3ln x + 2 +C

Ответ: x −6

Ответ: −

x 3 +

25x

+ C

5) ∫6x (6x + 4)dx

6) ∫5x−2 dx

Ответ:

6x (6x

+8)

+ C

Ответ:

+ C

2ln 6

25ln5

−

5 −

4cos3 x

7) ∫

8) ∫

sin2

cos2 x

cos2

Ответ:

2 tg x + 5ctg x + C

Ответ: 5tg x − 4sin x + C

9) ∫

10) ∫

1 − 4ctg

sin

+ cos 2x

cos2 x

Ответ: tg x + C

Ответ: tg x + 4ctg x + C

11) ∫

sin 3x −sin 5x

12) ∫

cos 4x − cos6x

cos 4x

sin 5x

Ответ: 2cos x + C

Ответ: − 2cos x + C

1 + cos2 x

13) ∫(ctg x − tg x)2 dx

14) ∫

1 + cos2x

Ответ: tg x − ctg x − 4x + C

Ответ:

(x + tg x)+ C

15) ∫

1 −

2 − x2

16) ∫

+ 9 − 6

− x2

x2 +

Ответ:

Ответ: arcsin

− x + C

x2 + 9 − 2arctg x

ln x +

+ C

154

− 2x2

3 + x2

17). ∫

(1 − x2 )dx

18) ∫

x4 −9dx

1 − x

Ответ:

ln x +

−3 + C

Ответ:

−

+ C

1 + x

2x2 + 5

20) ∫(arctg x + arcctg x)dx

19) ∫

x2 (x2 + 5)dx

Ответ:

+ C

Ответ:

arctg

x −

+ C

2 x

(1 + x)2

x 2

− 4 x

21) ∫

x(1 + x 2 )dx

22)

Ответ: ln

+ 2 arctg x + C

Ответ:

6 6

−

+ C

3.2.2 Вычислить интегралы, методом введения функции под знак дифференциала

∫сos5xdx

∫

sin

−

3x dx

Ответ:

sin 5x + C

Ответ:

cos π

−3x

+ C

∫(12x −5)7 dx

∫

8x + 9dx

Ответ:

(12x −5)8 + C

Ответ:

(8x + 9)3 + C

∫

9x − 7

11 − 4x

Ответ:

3 (9x − 7)2

+ C

Ответ: −

− 4x

+ C

∫65x+2dx

∫e4−3x dx

65x+2

Ответ: −

4−3x

+ C

Ответ:

+ C

5ln 6

∫x

x2 − 7dx

10) ∫

x2dx

(x2 − 7)3

3 1

− x3

Ответ:

+ C

Ответ: −

3 (1 − x3 )2

+ C

155

11)

∫

2x +1

12)

∫

2x − 3

x2 + x −3

+ 3x − x2

Ответ: ln

x2 + x −3

+ C

Ответ: − ln

4 + 3x − x2

+ C

13)

∫

6x −5

14)

∫

x −1

3x2 −5x + 4

2x − x2

Ответ:

3x2 −5x + 4 + C

Ответ: −

2x − x2

+ C

15)

∫

ex dx

16)

∫ctg5xdx

2ex + 7

Ответ:

sin 5x

+ C

ln(2ex + 7)+ C

Ответ:

(8 −

x )3

18)

∫

17)

∫

(6 + 3

x )4 3

Ответ: − (8 −

2 x )

+ C

Ответ: −

+ C

(6 + 3

x )3

19)

∫

ln5 x dx

20)

∫

x ln x

Ответ:

6 6

ln11 x + C

Ответ: ln

ln x

+ C

21)

∫

8 e

22)

∫x

2 1−x2

4 4

1−x2

+8) + C

Ответ:

Ответ: −

+ C

3ln 6

23)

∫

4x dx

24)

∫

+ 4x

49x

1 + 49x )+ C

Ответ:

ln(7 + 4x )+ C

Ответ: ln17 ln(7x +

ln 4

25)

∫

cos x

26)

∫

sin x

cos2 x cos x

Ответ:

3 3

sin2 x + C

Ответ:

cos x

+ C

3cos x

27)

∫

28)

∫

1−4arcsin x

ctg4 x sin2 x

1− x2

Ответ: arcsin x −2arcsin2 x +C

156

Ответ: − 7 7

ctg3x + C

arctgxdx

29) ∫

1 + x2

30) ∫(x2 +1)arcctgx

Ответ:

4 4 arctg5 x + C

Ответ: − ln

arcctg

+ C

31) ∫ x

32) ∫

ln2 x − 9

sin2 x4

Ответ: ln ln x +

ln2 x −9 + C

Ответ: −

+ C

4 ctgx

33) ∫

34) ∫

x + 5

x + 4

Ответ:

x + 5))+ C

2( x + 5 − ln(1 +

Ответ: 2

x − 4arctg

+ C

35) ∫

36) ∫

2x + 9

x +1

x + 2ln(

x +1)+ C

Ответ:

1 ln

2x + 9 −3

+ C

Ответ: x − 2

2x + 9 + 3

37) ∫

9 − x2 dx

38) ∫

− 25

x 9 − x

Ответ:

2 arcsin 3

+ C

Ответ:

−

25 −5arccos x + C

Указание: подстановка x = 3sin t

Указание: подстановка x =

sin t

39) ∫

40) ∫

−1dx

(4 + x2 )3

Ответ:

+ C

2( ex −1 − arctg

−1)+ C

4 4 + x2

Указание: подстановка ex

−1 = t2

Указание: подстановка x = 2tgt

157

3.2.3 Вычислить интегралы от функций, содержащих квадратный

трехчлен

1) ∫

2) ∫

2 +10x + 34

−9x 2 −1

Ответ: 1 arctg(x +5)+ C

Ответ:

+ C

3(3x −1)

3) ∫

4) ∫

5 + 4x − x 2

3x 2 −3x +8

Ответ: arcsin x − 2 + C

Ответ:

3(x − 0,5)+ 3x

−3x +8 + C

3 ln

5) ∫

6x −1

6) ∫

12x +11

2 − 4x +13

9x 2 − 6x +

Ответ:

ln(x 2 − 4x +13)+ 1 arcsin x − 2

2 ln(9x 2 −6x + 2)+5arctg(3x −1)+ C

+ C

7) ∫

3x −5

8) ∫

7 − x

x 2 + 6x +

+ 2x − x 2

Ответ:

x −1

3 x 2 +6x + 20 −

3 + 2x − x

+ 6 arcsin

+ C

−14 ln x +3 + x 2 +6x + 20 +C

3.2.4 Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по

частям

1) ∫

ln x

dx .

2) ∫(x −5)cos x dx .

2 x (ln x − 2)+ C

Ответ: (x −5)sin x + cos x + C

Ответ:

3) ∫x2 e4 x dx

4) ∫ln (1 + x 2 )dx

Ответ:

Ответ: e32 (8x 2 − 4x +1)+ C

x ln(1 + x 2 )− 2x + 2arctgx + C

158

5) ∫

arcsin x

dx .

6) ∫4x sin x dx .

Ответ:

1 −

1 − x 2

arcsin x

Ответ: ln

−

+ C

4x (sin x ln 4 −cos x)

+ C

1 + ln 2 4

7) ∫ln(x +

1 + x 2 )dx

8) ∫arcctg x dx

Ответ:

Ответ.

ln (1 + x 2 )+ C

x ln(x +

1 + x 2 )−

1 + x 2 + C

x arcctg x +

9) ∫arctg

xdx

10) ∫ln2 x dx

Ответ:

x −

x + arctg

x + C

Ответ: x(ln 2 x − 2 ln x + 2)+ C

x arctg

11) ∫

xarctgx

12) ∫cosln xdx

+ x

2 dx

Ответ:

(cosln x +sin ln x)+C

Ответ:

1 + x 2 )+ C

1 + x 2 arctgx − ln(x +

3.2.5 Вычислить интегралы, разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби

∫

3x + 8

Ответ:

2) ∫

7x +12

(x − 2)(x + 5)

(x −1)(3x +1)

2 ln

x − 2

+ ln

x + 5

+ C

Ответ:

4 ln

x −1

−

3x +1

+ C

3) ∫

5x −

10 − x 2

4) ∫

x 4 −16x 3 + 5x + 8

−16x

− 4x + 3

Ответ:

Ответ: − x + 3 ln

x −1

− 2 ln

x − 3

+ C

x 2

x − 4

−

x + 4

−

+ C

5) ∫

3x +1

4x 2 − 5x + 9

6) ∫(x 2 − 4x +13)(x +1)dx

(x + 3)2 (x − 5)

Ответ:

− 5

x + 3

+ C

ln(x 2

− 4x +13)−

−

x +1

x + 3

−

arctg

x − 2

+ C

159

5x 4 − x

3 + 4x 2 +8

x3 − 7x2 −3

7) ∫

∫ (x2 + 4)x2

Ответ:

3 −8

Ответ:

5x 2

− x +8ln

x − 2

− 2 ln(x 2 + 2x +

ln(x 2 + 4)−

arctg

−

20 arctg x +1 + C

−

+ C

9) ∫

+ x −1

10) ∫

x3 +

2 + 2)2

2 − 4x

+ 5)2

Ответ:

ln(x 2 + 2)−

Ответ:

ln(x 2

− 4x + 5)+

2 − x

3x −17

4(x 2 +

2(x 2 − 4x +5)

−

arctg

x + C

arctg(x − 2)+ C

3.2.6 Вычислить интегралы от тригонометрических функций:

∫

2) ∫

4sin x

+ 3cos x +5

cos x + 2sin x +3

Ответ: −1/(tg

+ 2) + C

+ C

Ответ:

arctg tg

∫

cos3 x dx

4) ∫

sin x dx

sin

sin 2 x +sin x

x +6cos

Ответ: ln

sin x

−sin x + C

5 cos x)+ C

Ответ:

5 arctg(

∫

6) ∫

1+ tgx

sin2 x

−9cos2 x

1− tgx

tgx −3

+ C

Ответ: − ln

cos x −sin x

+ C

Ответ:

tgx + 3

∫cos7 x dx

8) ∫sin6 x dx

Ответ:

sin 7

Ответ:

sin3 4x

sin x −sin

x +

sin

x −

+ C

−

sin 2x

3sin 4x

+ C

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2116 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151.66 Mб66УМК.PDF
#
17.03.20152.52 Mб107УМК.PDF
#
17.03.20153.93 Mб93УМК.PDF
#
17.03.20152.61 Mб58УМК.PDF
#
17.03.20151.65 Mб25УМК11.pdf
#
17.03.20151.57 Mб145УМК6.pdf
#
01.04.2025310.27 Кб1УМКД Медицина катастроф.doc
#
01.05.202588.06 Кб0УМП Тексты по специальности БТС, БТН для самос...doc
#
17.03.2015430.08 Кб12УМП . Сб. к.р.2011.doc
#
17.03.2015219.14 Кб80УМП ВРЕМЕНА1.doc
#
06.03.20164.28 Mб47УМП для выполнения КР Наг.маш..docx