УМК
.PDFизоклины x = |
1 |
, поэтому tgα = 1 и α = 45o . При |
c = −1 уравнение изоклины |
|||||||
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
x = − |
1 |
, поэтому tgα = −1 и α = −45o и т.д. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
Построив |
четыре изоклины ( x = − |
, x = 0, x = |
, x = 1) и отметив на |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
каждой из них ряд стрелок, наклоненных к оси OX под определенным углом (рис. 1.1), по их направлениям строим линии. Они представляют семейство парабол y=x2+С. Это и будут интегральные кривые.
Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка.
1.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10 Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть
представлено в виде
dy |
= f (x) g(y) |
(1.2) |
|
||
dx |
|
или в виде
M1 (x)N1 (y)dx + M2 (x)N2 (y)dy = 0 , |
(1.3) |
где f(x), g(у), M1(x), N1(y), M2(x), N2(y) - непрерывные функции, отличные от нуля. Для нахождения решения уравнения (1.3) надо разделить обе его части на
произведение N1 (y) M 2 (x)
M (x) |
N |
|
(y) |
|||
1 |
|
dx + |
2 |
|
dy = 0, |
|
M |
(x) |
N |
(y) |
|||
2 |
|
|
|
1 |
|
|
полученное уравнение с разделенными переменными проинтегрировать
|
M (x) |
N |
|
(y) |
(1.4) |
||||
∫ |
|
1 |
|
dx + ∫ |
2 |
|
dy = c . |
||
M |
2 |
(x) |
N |
(y) |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Полученное соотношение (1.4) является общим интегралом для уравнения (1.3).
ПРИМЕР 1.4 Найти частное решение уравнения y′ sin x − y ln y cos x = 0,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющее начальному условию |
y |
6 = e . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение. Разделяем переменные в данном уравнении |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
dy |
sin x = y ln y cos x , |
|
|
dy |
= |
cos x dx |
, затем интегрируем ∫ |
dy |
|
= ∫ |
cos dx |
, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ln y |
|
||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
y ln y |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
||||||||||||||
|
∫ |
d(ln y) |
= |
∫ |
d(sin x) |
, |
|
ln |
|
ln y |
|
= ln |
|
sin x |
|
+ ln c . |
После упрощения |
получим |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ln y |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ln y = c sin x |
−общий интеграл уравнения. |
Подставим в |
него |
начальное |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
= e ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
условие y |
6 |
ln e = c sin 6 |
, 1 = |
|
. |
Найденное с=2 подставим в общий |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
интеграл, получим |
ln y = 2 sin x |
|
|
или |
|
|
|
y = e2 sin x – частное |
решение ДУ с |
разделяющимися переменными с заданным начальным условием.
1.4 ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.11 Функция f(x,y) называется однородной функцией n-го порядка (измерения) относительно x и y, если для любого значения λ
выполняется равенство f (λx, λy) = λn f (x, y) .
ПРИМЕР 1.5 Функция f (x, y) = x 2 + 5xy является однородной второго порядка, т.к. f (λx, λy) = (λx) 2 + 5 λx λy = λ2 (x 2 + 5xy) = λ2 f (x, y)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12 Функция f(x,y) называется однородной нулевого порядка (измерения) относительно x и y, если для любого значения λ
выполняется равенство f (λx, λy) = λ0 f (x, y) |
|
или |
f (λx, λy) = f (x, y). |
|
|||||||||||||
ПРИМЕР 1.6 Функция |
f (x, y) = tg |
y |
+ |
x3 |
|
|
является однородной нулевого |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|||
прядка, т.к. f (λx, λy) = tg |
λy |
+ |
(λx)3 |
= tg |
y |
+ |
|
x |
3 |
= f (x, y) . |
|
|
|||||
λx |
(λy)3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ |
1.13 |
Дифференциальное |
уравнение |
вида |
|||||||||||||
y′ = f (x, y) называется однородным относительно |
x и y, |
если f(x,y) |
является |
однородной функцией нулевого порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.14 Дифференциальное уравнение
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 называется однородным, если функции P(x,y), Q(x,y)-
однородные одного порядка. |
|
|
|
|
уравнение y′ = f (x, y) |
|||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ |
1.15 |
|
Дифференциальное |
|
||||
называется однородным, |
если |
f(x,y)можно представить как функцию |
только |
|||||
|
|
y |
y |
|
|
|
||
одного отношения переменных |
|
, т.е. y′ = f |
|
. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|||
Однородное уравнение с помощью подстановки |
y |
= t , где t = t(x) |
- новая |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
неизвестная функция сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Для
|
|
|
y = xt и y′ = t + xt′ |
|
(x′ = 1) подставляем в уравнение y′ |
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
этого |
|
= f |
|
|
, получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
|
t + xt′ = f (t) или |
|
xt′ = f (t)− t , |
|
|
|
|
t′ = |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
= |
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
где |
|
|
|
|
|
. |
|
|
Разделяя переменные |
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
f (t)− t |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интегрируя |
∫ |
|
dt |
|
= ln |
|
x |
|
+ C , |
получаем общий интеграл. |
|
В окончательном |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (t)− t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
решении необходимо t заменить на выражение |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ПРИМЕР 1.7 Решить дифференциальное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x 2 + y2 )dx − 2xy dx = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Решение. |
|
|
|
Разрешая |
|
|
|
уравнение |
|
|
|
|
относительно |
|
|
производной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dy |
|
|
x |
2 + y2 |
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= y′ = |
|
|
|
x |
|
|
устанавливаем, что y′ является функцией |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= f |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
2xy |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
только отношения переменных |
. Т.е. |
|
данное |
уравнение является однородным. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Далее вводим новую функцию t = |
, тогда y = xt , а y′ = t + xt′ (x′ = 1). |
|
После |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
подстановки y и y′ |
в уравнение y′ = |
|
|
|
x |
|
, оно преобразуется в уравнение с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
разделяющимися переменными |
t + xt′ = |
1 + t 2 |
|
или xt′ = |
1 − t 2 |
, где t′ = |
dt |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2t |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
Разделяем переменные |
2t dt |
= |
dx |
, интегрируем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 − t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x(1 − t 2 )= ±C . |
|
|
|||||||||
− ln |
|
1 − t 2 |
|
= ln |
|
x |
|
− ln C или ln |
|
x |
|
+ ln |
|
1 − t 2 |
|
= ln C , тогда |
y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначим C1 = ±C . |
Исключая |
вспомогательную |
функцию |
t t = |
|
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
окончательно получим общий интеграл |
y |
2 = x 2 − c x . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a1x + b1y + c1 |
|
|
|
|
||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16 |
Уравнение |
вида y′ = |
|
называется |
|||||||||||||||||||||||||
a2x + b2y + c2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнением, приводящимся к однородному, если определитель, составленный
из |
коэффициентов |
|
при |
|
x |
|
и |
y |
|
не |
|
равен |
нулю, |
= |
a1 |
b1 |
≠ 0 , т.е. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
a1 b2 − a 2 b1 ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если же |
= |
|
a1 |
b1 |
|
= 0 , |
т.е. |
a |
1 |
b |
2 |
− a |
2 |
b |
|
= 0 , то уравнение приводится |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a 2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
к |
уравнению с |
разделяющимися |
|
переменными с |
|
помощью |
подстановки |
||||||||||||||||||||||
z(x)= a 2 x + b2 y |
или |
z(x)= a 2 x + b2 y + c2 или |
z(x)= a1x + b1y + c1 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим эти два случая более подробно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1) Пусть в уравнении y′ = |
a |
x + b y + c |
|
|
|
= |
|
|
a1 |
|
b1 |
|
|
≠ 0 . Сделаем подстановку |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a 2 x + b2 y + c2 |
|
|
|
a 2 |
|
b2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x = x1 + α , y = y1 + β , где x1 |
и y1 |
- |
новые переменные вместо x и y , α и β - |
неизвестные числа, подбираемые так, чтобы уравнение стало однородным. Так как
dx = dx |
1 |
, dy = dy , а y′ = |
dy |
, то y′ = |
dy1 |
|
и уравнение примет вид: |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
dy1 |
= |
|
|
|
a1 (x1 + α)+ b1 |
(y1 + β)+ c1 |
|
|
или |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
a |
2 |
(x |
1 |
+ α) |
+ b |
2 |
(y + β)+ c |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dy1 |
= |
|
|
|
a1x1 + b1y1 + (a1α + b1β + c1 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dx |
1 |
a |
2 |
x |
1 |
+ b |
2 |
y + |
(a |
2 |
α + b |
2 |
β + c |
2 |
) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Это уравнение будет однородным, если |
числа |
α и |
β подобрать так, чтобы |
|||||||||||||||||||||||||||||||
выражения в скобках были равны нулю, |
|
т.е. |
a α + b β + c = 0, |
Получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1x1 + b1y1 |
|
|
|
|
a 2α + b2β + c2 = 0. |
|
|||||||||||||||
однородное |
уравнение |
dy1 |
|
= |
, |
|
которое в |
дальнейшем с |
помощью |
|||||||||||||||||||||||||
dx1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a 2 x1 + b2 y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подстановки t = y1 сводится к уравнению с разделяющимися переменными. x1
Решив его, следует заменить |
x1 |
на |
x − α и |
y1 |
|
на |
y − β. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
|
|
a |
x + b y + c |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
b1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) |
|
Пусть |
|
в |
|
уравнении |
= f |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 0 , |
т.е. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
b2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 x + b2 y + c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a |
1 |
b |
2 |
− a |
2 |
b = 0 или |
|
a1 |
|
= |
b1 |
. Обозначим последнее через k , тогда |
a1 |
= k , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
b1 |
|
= k |
или |
a |
1 |
= ka |
2 |
, |
b = kb |
2 |
. Введем замену |
|
z(x)= a |
2 |
x + b |
2 |
y , тогда |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a1x + b1y + c1 = ka 2 x + kb2 y + c1 = k(a 2 x + b2 y)+ c1 = kz + c1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a 2 x + b2 y + c2 = z + c2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z′ = (a 2 x + b2 y)′ = a 2 + b2 y′, |
|
|
|
отсюда |
y′ = |
1 |
(z′ − a 2 ) |
|
|
|
и |
|
уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a |
x + b y + c |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
kz + c |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y′ |
= f |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
примет вид |
|
|
(z′ − a |
2 |
)= f |
|
|
|
|
. После несложных |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
a 2 x + b2 y + c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + c |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразований получим dz dx
|
|
|
b |
z + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
b2 |
|
|
|
|||||
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
||
= b |
2 |
|
|
|
+ a |
2 |
. |
|||
|
z + c2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разделяющимися переменными, следует заменить z на
ПРИМЕР 1.8 Найти общий (x + 2y +1) dx − (2x + y −1) dy = 0 .
Решив это уравнение с
a 2 x + b2 y .
интеграл уравнения
|
|
|
Решение. Запишем уравнение |
|
в |
|
виде |
y′ = |
x + 2y +1 |
. |
Вычислим |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + y −1 |
|
|
|
|||||
определитель, составленный из коэффициентов при |
x и y |
= |
|
|
1 |
|
2 |
|
= −3 ≠ 0 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
Следовательно, уравнение сводится к однородному. Введем замену |
x = x1 + α , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
y = y1 + β , |
где x1 и y1 - новые переменные вместо x и y , |
α и β - |
неизвестные |
|||||||||||||||||||||||||
числа. Так как dx = dx |
1 |
, dy = dy , а y′ = |
dy |
|
, то y′ = |
dy1 |
и уравнение примет вид: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
dx1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dy1 |
= |
(x1 + α)+ 2(y1 + β)+1 |
|
dy1 |
|
= |
|
x1 + 2y1 + (α + 2β +1) |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Оно станет |
||||||||||||
|
dx |
1 |
2(x |
1 |
+ α)+ (y + β)−1 |
dx |
1 |
|
|
2x |
1 |
+ y |
+ (2α + β −1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
однородным, если числа α и β подобрать так, чтобы выражения в скобках были
равны нулю. Решая систему |
α + 2β +1 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим α = 1, β = −1. Уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2α + β −1 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
примет вид |
|
dy1 |
= |
x1 + 2y1 |
. Оно является однородным. |
Сделав подстановку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx1 |
|
|
|
2x1 + y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
= t x |
1 |
|
y′ |
= t′x |
1 |
+ t, |
|
где |
|
t′ = |
|
|
|
, |
|
|
приведем |
|
|
его |
к |
уравнению с |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
разделяющимися |
|
|
переменными |
|
|
и |
|
|
решим: |
|
|
|
|
|
t′ x1 |
+ t = |
x1 + 2tx1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 + tx1 |
|
t′ x1 = |
1 + 2t |
− t, |
|
|
|
|
|
dt |
|
x1 |
= |
1 − t 2 |
, |
|
|
|
2 + t |
dt |
= |
dx1 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
+ t |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ t |
|
|
|
1 − t 2 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
|
|
1 + t |
|
|
− |
1 |
|
|
1 − t |
2 |
|
= ln |
|
|
+ ln |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫ |
|
+ |
|
|
|
|
dt = ∫ |
|
, |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
x1 |
c |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1− t 2 |
|
|
1− t 2 |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + t |
|
|
|
= x1c . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1 − t) 1 − t 2 |
||||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
(x1 + y1 ) x1 |
||||||||
(x |
|
− y ) |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
x |
2 |
− y 2 |
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
y1 |
|
|
|
|
|
||
Заменяем |
t на |
y1 |
, имеем |
|
|
|
x1 |
|
|
|
= x1 c , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
− |
y |
|
|
|
y |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
x1 |
|
1 − |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
||||||
= x1 c , |
|
= c(x1 − y1 ) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x1 + y1 |
x1 − y1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
+ y = c2 (x |
1 |
− y |
)2 (x |
1 |
− y ), |
x |
1 |
+ y |
= c2 (x |
1 |
− y )3 . |
Пусть c2 = c . |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|||||
Заменяем x1 |
на |
x − α = x −1, y1 на |
y − β = y +1, тогда x + y = c1 (x − y − 2)3 - |
||||||||||||
общий интеграл данного уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1.5 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
|
|||||||
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17 Дифференциальное |
уравнение |
называется |
|||||||||||
линейным, |
если |
оно |
|
линейно (т. е. первой степени) относительно искомой |
|||||||||||
функции у и ее производной y′ . Общий вид линейного уравнения |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ + P(x)y = Q(x). |
|
|
|
(1.4) |
Если Q(x)≠ 0 , уравнение называется линейным неоднородным, если
Q(x)=0 – линейное однородное.
Рассмотрим два метода решения линейного неоднородного уравнения.
I метод. Метод подстановки или метод И.Бернулли. |
|
|
Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с |
разделяющимися |
|
переменными. Искомую функцию у заменяем |
произведением двух |
|
вспомогательных функций u=u(x) и v=v(x), т.е. y=uv. |
Тогда |
y′ = u′v + uv′ и |
данное уравнение (1.4) примет вид u′v + uv′ + P(x)uv = Q(x) или |
||
u′v + u(v′ + P(x)v) = Q(x). |
|
(1.5) |
Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например v(x), можно выбрать произвольно, подберем её так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е.
v′ + P(x)v = 0 , |
где |
v′ = |
dv |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
dx |
|
|
В качестве v возьмем одно из частных решений v=v(x) этого |
уравнения с |
||||
разделяющимися переменными. Подставляя |
найденное v = v(x) |
в уравнение |
|||
(1.5), и, учитывая, что v′ + P(x)v = 0 , |
получим уравнение относительно второй |
вспомогательной функции u: |
|
||
u′v = Q(x), где u′ = |
du |
, |
(1.6) |
|
|||
|
dx |
|
которое также является уравнением с разделяющимися переменными. Находим общее решение уравнения (1.6) в виде u=u(x,C). Затем, перемножив найденные u
и v , запишем общее решение линейного уравнения (1.4): y = u(x, C) v(x).
ПРИМЕР 1.9 Найти общее решение уравнения y′ − y ctg x = |
|
1 |
. |
|
|||||||||
sin x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Это |
уравнение линейно |
|
относительно y |
и |
y′. |
Здесь |
||||||
P(x) = −ctgx , |
Q(x) = |
1 |
. Полагаем y=uv; |
тогда y′ = u′v + uv′ |
и |
данное |
|||||||
sin x |
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
уравнение примет вид |
u′v + uv′ − uv ctg x = |
|
или |
|
|
|
|
||||||
sin x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
u′v + u(v′ − v ctg x) = |
|
1 |
. |
|
|
|
(1.7) |
||||
|
|
sin x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая уравнение |
v′ - v ctg x = 0 , |
найдем |
его простейшее частное |
|
решение |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
v = v(x): |
dv |
= v ctg x; |
dv |
= ctg x dx; ln |
|
v |
|
= ln |
|
sin x |
|
, откуда v=sin x. Подставляя |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
v в уравнение (1.7), |
получим уравнение u′sin x = |
|
, |
из которого находим |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||||
u = u(x, c): |
du |
sin x = |
1 |
; du = |
dx |
|
, |
u = −ctg x + C. Итак, искомое общее |
||||||||||||||||||||||||||
|
sin x |
sin 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
решение y = uv , |
y = (− ctg x + C)sin x |
или |
y = − cos x + C sin x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
II метод. Метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Сформулируем |
этапы |
решения |
|
|
линейного |
|
|
|
неоднородного |
уравнения |
||||||||||||||||||||||
|
y′ + P(x)y = Q(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1) Составляется соответствующее однородное уравнение |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ + P(x)y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Это уравнение с |
разделяющимися переменными. |
Так |
как y′ = |
dy |
, |
то |
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||
|
= −P(x)y . Разделяя переменные и интегрируя ∫ |
= −∫P(x)dx , получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y= c e−∫P(x )dx
-это общее решение однородного уравнения.
2)Произвольную постоянную с заменяем функцией с(x) и ищем общее
решение неоднородного уравнения (1.4) в виде
y = c(x) e− ∫P(x )dx .
Функцию c(x) находим, подставляя y и |
y′ в неоднородное уравнение (1.4). |
|||||||
Рассмотрим |
более |
подробно. Находим |
|
|
− ∫P(x )dx |
′ |
||
производную: y′ = c(x) e |
|
, |
||||||
y′ = c′(x) e−∫ P(x )dx + c(x) e−∫ p(x )dx (− p(x)). |
|
|
|
|
||||
Подставим y и y′ |
в неоднородное |
|||||||
уравнение |
(1.4): |
c′(x) e−∫p(x )dx − c(x) p(x) e− ∫p(x )dx + c(x)p(x)e− ∫p(x )dx = Q(x), |
||||||
откуда c′(x)e−∫ p(x )dx = Q(x) или |
dc(x) |
= Q(x)e∫p(x )dx . Разделяя |
переменные |
и |
||||
|
dx
интегрируя ∫dc(x)= ∫Q(x)e∫p(x )dx dx , находим искомую функцию c(x)= ∫Q(x) e∫ p(x )dx + c1.
Подставляя найденное c(x) в |
равенство |
y = c(x) e−∫P(x )dx , получаем |
общее |
||||||||||||||||||||||||||
решение линейного неоднородного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ( |
∫ |
Q(x) e∫ P(x )dx dx + c ) e−∫ p(x )dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ПРИМЕР 1.10 Решить уравнение y′ + 2xy = 2x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Запишем соответствующее линейное однородное уравнениеy′ + 2xy = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||
Это |
уравнение |
|
с |
|
|
|
|
разделяющимися |
|
|
переменными. |
|
Тогда |
||||||||||||||||
|
dy |
= −2xy, |
dy |
= −2xdx, |
∫ |
dy |
= −2∫xdx, |
ln |
|
y |
|
= −x 2 + ln c, |
y |
= e−x 2 |
, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y = c e− x 2 |
- общее решение однородного линейного уравнения. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2. |
Полагаем |
с=с(x) |
|
и |
ищем |
решение |
|
неоднородного |
|
уравнения |
|||||||||||||||||||
|
y′ + 2xy = 2x |
|
в виде y = c(x) e− x 2 |
. Найдем функцию с(х). Для этого |
y и y′: |
||||||||||||||||||||||||
|
y′ = c′(x) e−x 2 |
+ c(x) e− x 2 (− 2x) |
подставим в |
неоднородное |
|
уравнение |
|||||||||||||||||||||||
c′(x)e−x 2 − 2x c(x)e− x 2 + 2x c(x)e− x 2 = 2x, |
|
|
отсюда |
c′(x)e− x 2 |
= 2x, |
или |
|||||||||||||||||||||||
c′(x)= 2x ex2 . |
Интегрируя, получим |
функцию |
c(x): |
|
c(x)= ∫ex 2 2xdx , |
||||||||||||||||||||||||
с(x)= ∫ex 2 |
d(x 2 ). |
Подставляя |
найденное |
c(x)= ex 2 |
+ c1 в |
|
равенство |
||||||||||||||||||||||
|
y = c(x) e− x 2 |
, |
запишем |
общее |
решение |
линейного |
неоднородного |
уравнения |
|||||||||||||||||||||
|
y = (ex 2 |
+ c ) e− x 2 |
или |
y = 1 + c e−x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание Дифференциальное уравнение |
|
x′ + P(y) x = Q(y) линейно |
|||||||||||||||||||||||||
относительно x, x′. |
Замена x = u v , где u = u(y), |
v = v(y). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6 УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18 |
Уравнение вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′+ P(x)y = Q(x) yα , |
α R (α ≠ 0, α ≠ 1) |
(1.8) |
называется уравнением Бернулли.
При α = 0 уравнение является линейным, при α = 1 - с разделяющимися переменными. Рассмотрим 2 способа решения:
|
I способ. |
Разделив обе части уравнения на yα ≠ 0 , получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y−α y′ + P(x) y−α+1 = Q(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Обозначим |
y−α+1 = z . |
|
Найдем |
z′ |
как |
|
|
производную |
сложной |
|
|
|
|
функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z′ = (1 − α)y−α y′, откуда |
|
|
y−α y′ = |
|
|
|
z′ |
|
. Тогда уравнение (1.8) примет вид |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − α |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′ + P(x)z = Q(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Оно является линейным относительно z и z′ |
|
|
и решается одним из приведенных в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параграфе 1.5 способов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ПРИМЕР 1.11 Решить уравнение y′ − |
|
1 |
y = |
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Решение. Это уравнение Бернулли. Здесь |
P(x) = − |
1 |
, Q(x) = |
x 2 |
, α = −1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
Разделим обе части на |
|
y-1 : yy′ − |
|
1 |
y2 = |
x 2 |
. |
Сделаем замену z = y2 , тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′ |
2x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z′ = 2yy′, откуда |
yy′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
z = |
|
|
x 2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
и уравнение |
|
примет |
|
|
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z′ − |
z = x 2 . |
|
Оно |
является линейным |
относительно |
z и z′. |
|
|
Сделаем замену |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
u = u(x, c), |
|
v = v(x). |
Подставим z |
|
|
|
|
|
|
|
z′ = u′v + uv′ в уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = u v , где |
|
|
|
|
и |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z′ − |
1 |
z = x 2 : |
|
u′v + uv′ − |
1 |
uv = x 2 , |
|
u′v + u v′ |
− |
1 |
v |
|
= x 2 . |
Оно распадается на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
два уравнения с разделяющимися переменными |
v′ − |
1 |
v = 0 (1) |
|
|
u′v = x 2 (2). Из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнения (1) найдем частное решение v = v(x): |
|
|
dv |
= |
dx |
, ln |
|
v |
|
= ln |
|
x |
|
, v = x. Из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
уравнения (2) |
найдем общее решение u = u(x, c): u′ x = x 2 , u′ = x, u = |
+ c . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
Так как z = uv , то z = |
x3 |
|
+ cx, но |
z = y2 , тогда y = ± |
|
. Окончательно, общее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
решение уравнения Бернулли: y = ± |
|
|
|
x3 |
|
+ cx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2