razdel4UMK
.pdf
|
|
|
y′x |
= y′t t′x |
= ψ′t (t) θ′x (x) |
(1.9) |
||||||
На основании теоремы о дифференцировании обратной функции следует |
||||||||||||
θ′x (x)= |
1 |
|
. Подставляя последнее выражение в равенство (1.9), получаем |
|||||||||
ϕ′t (t) |
||||||||||||
|
|
|
ψ′t (t) |
|
|
|
y′t |
|
|
|||
|
|
|
y′ |
= |
|
или y′ |
= |
. |
(1.10) |
|||
|
|
|
ϕ′t (t) |
|
||||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
x′t |
|
||||
Полученная формула позволяет находить производную y′x |
от функции, |
заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости y от x .
|
ПРИМЕР 1.12. Функция |
y |
от x задана параметрически уравнениями |
||||||||||||||||||||||||
x = a cos t, |
0 |
≤ t |
≤ π. Найти производную y′x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= b sin t, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
(b sin t)′t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Решение. y′x = |
= |
|
|
b cos t |
= − |
b |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg t . |
|
|||||||||||||||
|
(a cos t)′t |
|
−a sin t |
a |
|
||||||||||||||||||||||
|
ПРИМЕР 1.13. Найти угловой коэффициент |
касательной к |
циклоиде |
||||||||||||||||||||||||
x = a(t −sin t), |
0 |
≤ t ≤ 2π в точке, соответствующей значению параметра |
|||||||||||||||||||||||||
y = a(1 −cos t), |
|||||||||||||||||||||||||||
t = |
π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Угловой коэффициент касательной в точке равен значению |
||||||||||||||||||||||||||
производной y′x |
в этой точке, то есть равен y′x (t 0 )= |
y′t (t 0 ) |
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Имеем x′t |
= a(1 −cos t), |
y′t |
|
|
|
|
|
|
|
x′t (t 0 ) |
|
|||||||||||||||
|
= a sin t , следовательно, |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y′t |
|
|
a sin t |
|
|
|
2 sin |
|
cos |
|
|
t |
y′x (t 0 )= ctg π =1. |
|
|||||||||||
y′x |
= |
= |
|
|
|
= |
2 |
2 |
= ctg |
Значит, |
|||||||||||||||||
|
a(1 − cos t) |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
x′t |
|
2sin |
2 t |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
угловой коэффициент касательной к циклоиде в точке, соответствующей зна-
чению t 0 = π2
равен 1.
1.12. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть функция |
y = f (x) дифференцируема на отрезке [a, b]. Значения |
|
′ |
|
′ |
производной f (x), вообще говоря, зависят от x |
, то есть производная f (x) |
|
|
21 |
|
представляет собой тоже функцию от x . Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую вторую производную от функции f (x).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Производная от первой производной называется
′′ |
′′ |
d2 y |
|
|||
dx 2 . |
||||||
производной второго порядка и обозначается символом y , |
f (x)или |
|||||
Итак, y′′ = (y′)′. |
|
|
|
|
|
|
Производная от производной второго порядка, если она существует, на- |
||||||
′′′ |
′′′ |
|
d3 y |
|||
|
|
|
|
|||
зывается производной третьего порядка и обозначается y , |
f (x)или dx3 . |
|||||
Производной n −го порядка от функции f (x) называется производная от |
производной (n −1)−го порядка: y(n ) = (y(n−1))′.
Производные порядка выше первого называют производными высших
порядков. |
|
|
|
|
|
(k = const). |
ПРИМЕР 1.14. Дана функция y = ekx |
|
|||||
Найти выражение ее производной любого порядка. |
||||||
Решение: y′ = k ekx , y′′ = k 2 ekx , |
y′′′ = k3 ekx ,K, y(n ) = k n ekx . |
|||||
ПРИМЕР 1.15. y = sin x . Найти y(n ). |
|
|
||||
|
|
π |
|
|
|
|
Решение: y′ = cos x = sin x + |
, |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
′ |
|
|
π |
|
|
|
y′′ = (cos x) = −sin x = sin x + |
2 |
2 , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
π |
|
|
y′′′ = (−sin x) = −cos x = sin x + |
2 |
3 , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
yIV = (−cos x)′ |
|
+ |
π |
|
|
|
= sin x = sin x |
2 |
4 , |
||||
|
|
|
|
|
||
|
π |
|
|
|
|
|
y(n ) = sin x + n |
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция y = f (x) дифференцируема на отрезке [a, b]. Производная этой функции в некоторой точке x этого отрезка определяется равенством
lim |
y |
′ |
x |
= f (x). Тогда, по теореме о связи функции с ее пределом, можно за- |
|
x→0 |
|
22
писать xy = f ′(x)+ α(x), где α − б.м.ф., то есть α → 0 при |
x → 0. Из по- |
|||||||||||
следнего равенства имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
x + α |
x . |
|
(1.11) |
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
||||||
|
Таким образом, приращение функции |
y представляет собой сумму двух |
||||||||||
|
|
′ |
|
x и α |
x , |
являющихся бесконечно малыми при |
x → 0. |
|||||
слагаемых f (x) |
||||||||||||
При |
этом |
первое |
слагаемое |
есть |
б.м.ф. |
одного порядка с |
x , |
так как |
||||
|
′ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
= f |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
(x)≠ 0, а второе слагаемое есть б.м.ф. более высокого по- |
||||||||||
x→0 |
|
|
|
lim α |
x |
|
|
|
|
|
||
рядка, чем |
x , так как |
|
= lim α = 0. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
Поэтому первое слагаемое f |
′ |
|
|
|
|||||||
|
|
(x) x называют главной частью прира- |
||||||||||
щения функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Дифференциалом функции y = f (x) в точке x на- |
|||||||||||
зывается главная линейная относительно |
x часть ее приращения. Обознача- |
|||||||||||
ется дифференциал через dy или d f (x). |
|
|
′ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, дифференциал равен произведению производной f (x) |
|||||||||||
на приращение аргумента |
x : |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
dy = f |
′ |
|
|
(1.12) |
||
|
|
|
|
|
|
|
(x) x . |
|
|
|||
|
Найдем дифференциал функции y = x . В этом случае y′ = x′ =1, и, сле- |
|||||||||||
довательно, |
dy = dx = |
x или dx = x . Поэтому формулу (1.12) можно запи- |
||||||||||
сать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = f |
′ |
|
|
(1.13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
(x)dx . |
|
|
Из этого соотношения следует, что f ′(x)= dxdy . Поэтому производную
можно рассматривать как отношение дифференциала этой функции к дифференциалу независимой переменной.
ПРИМЕР 1.16. Найти дифференциал функции y = 3x5 −ln(x 2 +1). Решение: По формуле (1.13) находим
|
′ |
|
|
|
2x |
||
dy = (3x5 −ln(x 2 |
+1)) |
dx = 15x |
4 |
− |
|
|
dx . |
|
x 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
+1 |
23
Приближенное вычисление значения функции с помощью дифференциа-
ла
Вернемся к выражению (1.11), которое с учетом (1.12) можно записать
так:
|
y = dy + α |
x . |
|
(1.14) |
Отбрасывая бесконечно малую α |
x более высокого порядка, чем x , |
|||
получаем приближенное равенство |
|
|
|
|
|
y ≈ dy, |
|
|
(1.15) |
или в развернутом виде |
|
|
|
|
f (x + |
′ |
|
|
|
x)−f (x)≈ f (x) x |
′ |
|
(1.16) |
|
|
|
x . |
||
|
f (x + x)≈ f (x)+ f (x) |
|
Формула (1.16) используется в приближенных вычислениях. ПРИМЕР 1.17. Вычислить приближенно arctg1,07.
Решение. Для функции f (x)= arctg x формула (1.16) примет вид
arctg(x + |
|
x)≈ arctg x + (arctg x)′ x |
|
|
|
|
|
|||||
arctg(x + |
x)≈ arctg x + |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x 2 |
|
|
|
|
|
||||||
Так как x + |
1 |
|
|
|
|
x = 0,07 , получаем |
|
|||||
x =1,07 , то, полагая x =1 и |
|
|||||||||||
|
|
arctg1,07 ≈ arctg1+ |
0,07 |
|
= π |
+ 0,035 ≈ 0,82 . |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 +1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 1.18. Вычислить sin 310 . |
|
|
|
|
|
|||||||
Решение: Рассмотрим функцию f (x)= sin x . Для нее запишем формулу |
||||||||||||
(1.16): sin(x + |
x)≈ sin x + cos x x . Полагая |
x = 300 , |
x =10 = |
π |
рад |
|||||||
|
||||||||||||
180 |
||||||||||||
≈ 0,017 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin 310 |
≈ sin 300 + cos300 0,017 = |
1 |
3 |
|
|
|
||||||
2 + |
2 0,017 |
≈ 0,515. |
|
|||||||||
Пусть имеем функцию y = f (x), где x − независимая переменная. Диф- |
′ |
x . Здесь от x зависит |
ференциал этой функции dy = f (x)dx есть функция от |
|
′ |
|
f (x), второй множитель (dx) не зависит от x . |
|
24
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8. Дифференциал от дифференциала функции назы-
вается вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка
этой функции и обозначается d2 y = d(dy).
Найдем выражение второго дифференциала. В силу общего определения дифференциала функции имеем:
d(dy)= (f ′(x)dx)′ dx .
Так как dx не зависит от x , то dx выносим за знак производной:
d(dy)= f ′′(x) (dx)2 .
Принято записывать степень дифференциала, опускать скобки:
d2 y = f ′′(x)dx 2 .
Дифференциалом n −го порядка называется дифференциал от дифференциала (n −1)−го порядка:
dn y = d(dn−1 y)= (f (n−1) (x) dx n−1 )′ dx
или
dn y = f (n ) (x) dx n
Пользуясь дифференциалами различных порядков, можно представить производную любого порядка как отношение дифференциалов соответствующих порядков:
f ′(x)= dxdy ; f ′′(x)= dxd2 y2 ;K; f (n )(x)= dxdn yn .
ПРИМЕР 1.19. Пусть y = x 4 . Тогда dy = 4 x3 dx ,
d2 y = d(dy)= (4x3dx)′ = (4x3 )′ (dx)2 =12 x 2 (dx)2 .
ПРИМЕР 1.20. Пусть функция y = y(x) задана параметрическими урав-
x = r cos t, |
0 < t < |
π |
. |
|
нениями: |
2 |
|
||
y = r sin t, |
|
′ |
′ |
|
Поскольку x = x(t), dx = x (t) dt; y = y(t), |
dy = y (t) dt. |
25
Имеем dx = −r sin t dt, dy = r cos t dt.
|
|
|
|
dy |
|
|
r cos t dt |
|
|
|
|
|
||||||||||
y′ |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= −ctg t, т.е. y′ = ϕ(t). |
|||||||||
dx |
− r sin t dt |
|||||||||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
)= −(ctg t) dt = sin 2 t dt, |
|
|
|
|||||||||||||||||
d(y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
2 |
y |
|
|
′ |
) |
|
|
1 |
|
dt |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
d(y |
|
|
sin |
t |
|
|||||||||
y |
= d x 2 |
= dx |
|
= − r sin t dt |
= − r sin3 t . |
|||||||||||||||||
|
|
1.14. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Теорема 1.5 (Ролля). Пусть функция y = f (x) удовлетворяет следующим условиям:
1. непрерывна на отрезке [a; b],
2. дифференцируема в интервале (a; b),
3. на концах отрезка принимает одинаковые значения: f (a)= f (b). Тогда внутри отрезка [a, b] найдется хотя бы одна точка c (a, b), в ко-
торой производная f ′(x) обращается в нуль, т.е. f ′(c)= 0 .
Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то
она на этом отрезке достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.
Если M = m , то функция постоянна на
′ |
|
|
|
|
|
производная f (x)= 0 в любой точке отрезка [a, b]. |
|
||||
Если M ≠ m , то функция достигает хотя бы одно из значений M или m |
|||||
во внутренней точке c (a, b), так как f (a)= f (b). |
|
||||
Пусть, например, значение M функция принимает в точке c (a, b), то |
|||||
есть f (c)= M . Тогда для всех x (a, b) выполняется неравенство |
|
||||
|
f (x)≤ f (c). |
|
|
(1.17) |
|
′ |
|
|
|
|
|
Производная f (x) в точке c равна |
|
|
|
||
′ |
lim |
f (c + x)−f (c) |
(1.18) |
||
|
|
|
|||
f (c)= |
|
x |
|||
|
x→0 |
|
|
26
В силу (1.17) верно неравенство f (c + x)−f (с)≤ 0. Поэтому, если x > 0 (то есть x → 0 +), то
f (c + x)−f (c)≤ 0 x
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f+′ (c)≤ 0. |
(1.19) |
|||
Если же x < 0, (то есть |
x → 0 −), то |
|
||||||
|
|
f (c + x)−f (c) |
≥ 0 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f−′ (c)≥ 0 . |
(1.20) |
|||
Так как по условию функция дифференцируема в интервале |
(a, b), то |
|||||||
f−′ (c)= f+′ (c)= f ′(c). Отсюда, с учетом (1.19) и (1.20), получаем f ′(c)= 0 . |
||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
В случае, когда f (c)= m , доказательство аналогичное. |
|
|||||||
Геометрически |
теорема |
Ролля |
означает, что на графике |
функции |
||||
y = f (x) найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику парал- |
||||||||
лельна оси 0x (рис. 1.8). |
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 1.6 (Лагранжа). Если функция y = f (x) |
|
|||||||
1. непрерывна на отрезке [a, b], |
|
|
|
|||||
2. дифференцируема в интервале (a, b), то найдется хотя бы одна точка |
||||||||
c (a, b) такая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
f (b)−f (a) |
|
|
|
||
f (c)= |
|
|
|
, c (a, b). |
(1.21) |
|||
|
b −a |
27
y |
|
M |
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
x |
|
x |
|
0 |
a |
c |
b |
|
a |
c |
b |
a |
c1 |
c2 b |
|
|
|
a) |
|
|
|
б) |
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.8 |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию |
|
|
||||||||
|
F(x)= f (x)−f |
(a)− f (b)−f |
(a)(x −a). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
b −a |
|
|
|
|
|
|
|
Легко проверить, что эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы |
||||||||||||||
Ролля |
(предлагаем проверить |
это самостоятельно). Тогда |
найдется точка |
||||||||||||
|
|
′ |
|
′ |
= f |
′ |
f (b)−f (a) |
, следовательно, |
|||||||
|
|
|
|
|
b −a |
|
|||||||||
c (a, b), в которой F |
(c)= 0 |
. НоF (x) |
|
(x)− |
|
|
|||||||||
′ |
′ |
f (b)−f (a) |
= 0 |
′ |
|
f (b)−f (a) |
, ч.т.д. |
|
|||||||
b −a |
|
|
|
|
|
b −a |
|
|
|
||||||
F (c) |
= f (c)− |
|
|
f (c)= |
|
|
|
|
|
||||||
|
Из равенства (1.21) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.22) |
|
|
f (b)−f (a)= f (c)(b −a). |
|
|
|
|
|||||||||
|
Полученную формулу называют формулой Лагранжа или формулой о |
||||||||||||||
конечном приращении. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему Ла- |
||||||||||||||
гранжа к отрезку [x; x + |
|
|
x] ( |
x > 0), получим |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
′ |
x , c (x, x + |
x) или |
|
|||||||
|
f (x + x)−f (x)= f (c) |
|
|||||||||||||
|
|
f (x + |
|
|
|
′ |
+ θ |
x) |
x , |
|
|
(1.23) |
|||
|
|
x)−f (x)= f (x |
|
|
где 0 < θ <1.
28
Теорема |
|
Лагранжа |
имеет |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||
простой |
геометрический |
смысл |
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|||||||
(рис.1.9). Отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f |
(b)−f (a) |
есть |
угловой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
b −a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (b)−f (a) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
коэффициент секущей AB, а f (c)− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
угловой |
коэффициент |
касательной к |
|
|
|
|
|
A |
b −a |
|
|
||||||||
кривой |
в точке |
с абсциссой x = с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, на графике функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y = f (x) найдется точка C(c;f (c)), в |
|
|
|
0 |
|
a |
c |
b |
x |
||||||||||
которой |
касательная |
к |
графику |
|
|
|
|
||||||||||||
функции параллельна секущей AB. |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.9 |
|
|
|||||||||
Теорема |
1.7 |
(Коши). Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
функции f (x) и g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. непрерывны на отрезке [a, b], |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|||||||||
2. |
дифференцируемы |
в интервале |
|
|
|
|
для |
всех |
|||||||||||
(a, b), причем g (x)≠ 0 |
|||||||||||||||||||
x (a, b), то найдется хотя бы одна точка c (a, b) такая, что |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f (b)−f (a) |
|
|
|
f |
′ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(c) |
|
|
|
(1.24) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
g(b)−g(a) |
|
|
′ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (c) |
|
|
|
|
|
|||||
Теорема доказывается аналогично теореме Лагранжа. Для этого доста- |
|||||||||||||||||||
точно рассмотреть вспомогательную функцию |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
F(x)= f (x)−f (a)− |
f (b)−f (a) |
(g(x)−g(a)). |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(b)−g(a) |
|
|
|
||||
Теорема 1.8 (Ферма). Пусть функция |
f (x) |
определена на |
интервале |
||||||||||||||||
(a; b) и некоторой точке x 0 |
этого интервала имеет наибольшее или наимень- |
||||||||||||||||||
шее значение. Тогда, если в точке x 0 |
существует производная, то она равна 0, |
||||||||||||||||||
то есть f ′(x 0 )= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.15.ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1.15.1.Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
0 ∞
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида 0 и ∞, который основан на применении производных и называется правилом Лопиталя.
|
0 |
|
Теорема 1.9 раскрытие неопределенностей вида |
|
. |
|
||
|
0 |
|
|
29
Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрест-
ности точки x0 |
и обращаются в нуль в этой точке: |
f (x0 )= g(x0 )= 0 . Пусть |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
g (x)≠ 0 в окрестности точки x0 . Тогда, если существует предел lim |
g′(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
f ′(x) |
x→x0 |
|
||||||
то существует и предел |
lim |
, причем |
|
lim |
= lim |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
g(x) |
g(x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
g′(x) |
|
|
|
|||||||||||||
Доказательство. Применим к функциям f (x) |
и g(x) теорему Коши для |
|||||||||||||||||||||||||||||
отрезка [x0 ; x]( |
[x; x0 ]), лежащего в окрестности точки x0 . Тогда |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
f (x)−f (x |
|
) |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
f (c) |
, где c лежит между x0 и x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
g(x)−g(x0 ) |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
g (c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Учитывая, что f (x0 )= g(x0 )= 0 , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
f (c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.25) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При x → x0 |
величина c также стремится к x0 . |
Перейдя в равенстве |
||||||||||||||||||||||||||||
(1.25) к пределу, получим |
lim |
f (x) |
|
= lim |
|
f ′(c) |
= lim |
f ′(x) |
, ч.т.д. |
|
|
|
||||||||||||||||||
g(x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
c→x0 |
|
g′(c) |
x→x0 |
g′(x) |
|
|
|
||||||||||||||
Замечание. Теорема верна и в случае, когда функции f (x) и g(x) не оп- |
||||||||||||||||||||||||||||||
ределены при x = x0 , но |
lim f (x)= 0, lim g(x)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Замечание. Если f ′(x0 )= ϕ′(x0 )= 0 и производные f ′(x) и g′(x) удов- |
летворяют условиям теоремы, то применяя правило Лопиталя повторно, полу- |
|||||||||||||||||||||||||
чим lim |
f (x) |
= |
lim |
f ′(x) |
= lim |
|
f ′′(x) |
и т.д. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
g′(x) |
|
g′′(x) |
||||||||||||||||||||||
x→x0 |
g(x) |
x→x0 |
x→x0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Замечание. Теорема справедлива и в том случае, когда x → ∞. |
|||||||||||||||||||||||||
ПРИМЕР 1.21. lim |
ln(1 −3x) |
|
= |
|
|
0 |
|
|
= lim |
(ln(1−3x))′ |
= |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
2x |
|
|
0 |
|
|
|
|
x→0 |
(2x)′ |
|||||||||
= lim |
|
−3 |
= − |
3 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 2(1−3x) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30