Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

razdel4UMK

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

1.4. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Теорема 1.2. Пусть функции u = u(x) и v = v(x)− дифференцируемы в

точке x . Тогда:

1. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций:

(u ± v)′ = u′± v′.

2. Производная произведения двух функций равна:

(u v)′ = u′v +u v′

3. Производная частного двух функций равна:

′

u v − uv

, если v(x)≠ 0 .

u(x)

Доказательство. 1.Дадим аргументу x приращение

x , тогда функции

и v(x)

получат приращения

u и

v, а функция

y = u + v получит

приращение

y = [u(x + x)+ v(x + x)]−[u(x)+ v(x)]=

= [u(x + x)− u(x)]+[v(x + x)− v(x)]= u + v.

Следовательно,

y′ = (u + v)′ = lim

y =

lim

u +

v =

lim

+ lim

v = u′+ v′

x→0

то есть (u + v)′ = u′+ v′.

Аналогичным образом доказывается, что (u − v)′ = u′− v′.
Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
2. Пусть y = u v. Тогда		y = u(x + x)v(x + x)− u(x)v(x). Так как
u = u(x + x)− u(x),	v = v(x + x)− v(x), то u(x + x)= u + u(x),
v(x + x)= v + v(x).	y = (u(x)+ u)(v(x)+			v)− u(x)v(x)= u(x)v(x)+
Поэтому
+ u v(x)+ v u(x)+ u v − u(x)v(x)= v(x) u + u(x) v + u v .
Разделив обе части данного равенства на				x и перейдя к пределу при
x → 0, получим
y′ = (u v)′ = lim	y =	lim	v(x) u + u(x) v + u v		=

x→0	x	x→0		x

= v(x) lim	u	+ u(x) lim	v	+ lim		u	lim v =
x→0	x	x→0	x	x→0		x	x→0
′		′	′	′			′
= u (x)v(x)+ u(x)v (x)+ u			(x) 0 = u		(x)v(x)+ u(x)v (x),

то есть

(u v)′ = u′v + u v′.

При доказательстве мы использовали теорему 1.2 (о связи между непре-

рывностью и дифференцируемостью), согласно которой lim v = 0 .

x→0

Утверждение п.3 доказывается аналогично, предлагаем это выполнить самостоятельно.

ПРИМЕР 1.5. Найти производные функций y = tg x и y = ctg x . Решение. Воспользуемся формулой производной частного:

′	sin x ′		(sin x)′ cos x −sin x(cos x)′
(tg x)	=	=				=
				2
			cos		x
	cos x

	cos2 x +sin 2 x	1		′	1
=		=		, т.е. (tg x)	=		.
	cos2 x		cos2 x			cos2 x

Аналогичным образом получим формулу

(ctg x)′ = −sin12 x .

1.5. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Пусть y = f (u) и u = ϕ(x), тогда y = f (ϕ(x)) яв-

ляется сложной функцией переменной x , а переменную u называют проме-
жуточным аргументом.
Теорема 1.3. Если функция u = ϕ(x) имеет в некоторой точке x произ-
водную		u′x	= ϕ′(x), а функция y = f (u) имеет в соответствующей		точке
u = ϕ(x) производную y′u = f ′(u), то сложная функция y = f (ϕ(x)) в указан-
ной точке x также имеет производную, которая находится по формуле
y	′	= f	′	′
y		= f		(u) ϕ (x) или, коротко,
				y′ = y′u u′x .	(1.1)

Доказательство. По условию lim				y = y′u . Отсюда, по теореме о связи
		y	u→0	u
функции с ее пределом, имеем		y	= y′u + α или
		u
y = y′u			u + α	u ,		(1.2)
где α − б.м.ф. ( α → 0 при	u → 0).				u
Функция u = ϕ(x) имеет производную в точке x , то есть lim					u	= u′x ,
поэтому				x→0	x
поэтому
u = u′x			x +β	x ,		(1.3)
где β− б.м.ф. (β → 0 при	x → 0).
Подставив (1.3) в равенство (1.2), получим
y = y′u u′x x + y′u β x + α u′x x + α β x						(1.4)
Разделив полученное равенство на x и перейдя к пределу при					x → 0,
получим

y′ = y′u u′x .

ПРИМЕР 1.6. Найти производную функции y = sin x 2 .

Решение: Представим функцию как сложную, введя промежуточный аргумент u : y = sin u , где u = x 2 . Тогда y′u = cos u, u′x = 2 x и, следователь-

но, y′ = y′u u′x = cos u 2x = cos x 2 2x .

1.6. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть функция y = f (x) строго монотонна в интервале (a, b), тогда для нее существует обратная функция x = ϕ(y).

Теорема 1.4. Если функция y = f (x) в некоторой точке x имеет отличную от нуля производную f ′(x), то обратная ей функция x = ϕ(y) в соответствующей точке y также имеет производную ϕ′(y), равную

′	1	(1.5)
	′
ϕ (y)=
	f (x)

Доказательство. Рассмотрим обратную функцию x = ϕ(y). Дадим аргументу y приращение y ≠ 0, тогда функция получит приращение x , причем x ≠ 0 в силу строгой монотонности функции y = f (x). Поэтому можно записать тождество

(1.6)

Если

y → 0 , то

силу непрерывности

обратной

функции имеем

x → 0. И так как по условию теоремы lim

′

= f (x)≠ 0 , то из равенства

x→0

′

(1.6) следует

lim

, то есть

ϕ (y)=

f ′(x)

y→0

lim

x→0 x

Правило дифференцирования обратной функции иногда записывается

так:

y′x

или

x′y

(1.7)

ПРИМЕР 1.7. Найти производные обратных тригонометрических функ-

ций y = arcsin x,

y = arccos x,

y = arctg x ,

y = arcctg x .

Решение. Пусть y = arcsin x . Обратная ей функция имеет вид x = sin y ,

;

где y −

В интервале −

имеем x′ = cos y ≠ 0. Тогда по пра-

вилу дифференцирования обратной функции

′

(arcsin x)

= (sin y)′

= cos y

1 −sin 2 y =

1 − x 2 ,

;

где перед корнем взят знак +, так как cos y > 0 при y −

y = f (x), разрешенным относительно

Итак, (arcsin x)′ =	1 .
1− x 2
Аналогично получаем (arccos x)′ = − 1 .
				1− x 2
Найдем производную функции y = arctg x . Она является обратной к
	−	π	;	π
функции x = tg y, где y		2		. Тогда
				2

(arctg x)′ =

= cos2

y =

, то есть (arctg x)′ =

(tg y)′

1+ tg2 y

1+ x 2

1 + x 2

′

Аналогичным образом находим (arcctg x)

= −

1+ x 2

1.7. НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Если функция задана уравнением

y, то говорят, что функция задана в явном виде.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x, y)= 0, не разрешенного относительно y.

Всякую явно заданную функцию y = f (x) можно записать как неявно заданную уравнением y −f (x)= 0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно y, например, y + 2xy2 −sin y +5 = 0 или 3y + 2x + 4y = 0.

Если неявная функция задана уравнением F(x, y)= 0, то для нахождения производной от y по x необходимо продифференцировать это уравнение по x , рассматривая при этом y как функцию от x , и затем

полученное уравнение разрешить относительно y′.

ПРИМЕР 1.8. Найти производную функции y, заданную уравнением

y5 −3xy2 + 4xy + x3 = 0.

Решение: Функция y задана неявно. Дифференцируя обе части этого тождества по x , считая, что y есть функция от x и, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим

(y5 )′ −3 (x y2 )′ + 4(x y)′ + (x3 )′ = 0

5y4 y′−3y2 −6xyy′+ 4y + 4xy′+3x 2 = 0

(5y

−6xy + 4x)y

′

= 3y

− 4y

−3x

′

3y2 − 4y −3x 2

5y4 −6xy + 4x

1.8. ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

1.8.1. Логарифмическая функция y = loga x,

a > 0, a ≠1

Имеем

loga (x +

x)−loga x

loga

x + x

= loga 1 +

x → 0, получим

Перейдя к пределу при

lim

= lim loga

= α, x = α x

x→0

→ 0 α → 0

= lim loga (1 + α)

= lim

loga (1 + α)

lim loga (1 + α)

αx

α→0

α→0 x

x α→0

loga e , то есть (loga x)′ =

loga e.

Здесь воспользовались вторым замечательным пределом. Если a = e, то

loge x = ln x и

(ln x)′ =

1.8.2. Показательная функция y = ax ,

a > 0,

a ≠1

Логарифмируя равенство y = a x , получим ln y = x ln a . Дифференцируя полученное равенство по переменной x по правилу дифференцирования неяв-

ной функции, получим	1	y′ = ln a	y′ = y ln a или	y′ = a x ln a . Итак,
	y
(a x )′ = a x ln a .

Если основание a = e, то ln e =1 и мы получим формулу (ex )′ = ex . ПРИМЕР 1.9. Найти производную функции y = ln (ex − x5 +1).

1			′		ex −5x 4
Решение: y′ =		(ex − x5	+1)	=		.
	ex − x5 +1				ex − x5 +1


	1.8.3. Степенная функция y = xα , α R
	Логарифмируя равенство y = xα , получим ln y = αln x
1	1			y		xα		′
	y′ = α		y′ = α		= α		= αxα−1 , то есть (xα ) = αxα−1.
y	y′ = α	x	y′ = α	x	= α	x	= αxα−1 , то есть (xα ) = αxα−1.

Отметим, что производные тригонометрических и обратно тригонометрических функций были нами рассмотрены ранее.

1.8.4. Производные гиперболических функций

Гиперболические функции определяются следующими формулами:

	ex −e−x
sh x =						− гиперболический синус;
sh x =	2					− гиперболический синус;
	2
		ex + e−x
ch x =						− гиперболический косинус;
ch x =			2			− гиперболический косинус;
	sh x		2				ch x
th x =	sh x			,	cth x =		ch x	− гиперболический тангенс и котангенс.
th x =				,	cth x =		sh x	− гиперболический тангенс и котангенс.
	ch x						sh x
				y				y

y = sh x		1	y = ch x
0	x	0	x

Рис. 1.4	Рис. 1.5

y	y

y = th x

- 1

y = cth x

Рис. 1.6

Рис. 1.7

Найдем производные этих функций
′	ex −e−x ′			ex + e−x		′
(sh x)	=		=			= ch x, то есть (sh x)	= ch x ;
(sh x)	=		=			= ch x, то есть (sh x)	= ch x ;
		2		2
		2		2
′	ex + e−x ′				ex −e−x	′
(ch x)	=		=			= sh x, то есть (ch x)	= sh x ;
(ch x)	=		=			= sh x, то есть (ch x)	= sh x ;
		2		2
		2		2

′

sh x ′

(shx)′ chx −shx (chx)′

ch 2 x −sh 2 x

(th x)

ch x

то есть (th x)′ =

;

ch 2 x

′

ch x

′

(chx)′ shx −chx (shx)′

sh 2 x −ch 2 x

(cth x)

= −

то

sh x

′

есть (cth x)

= −

sh 2 x

последних

двух

формулах

мы воспользовались

зависимостью

ch 2 x −sh 2 x =1,

которая легко получается из определения гиперболических

функций.

1.9. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

Правила дифференцирования

1. (u ± v)′ = u′± v′;

′

2. (u v) = u v + uv

;

′

u v − uv

;

если y = f (u),

u = ϕ(x) (дифференцирование сложной

y′ = y′u u′x ,

функции);

y′x

, если

y = f (x)

x = ϕ(y)

(дифференцирование обратной

x′y

функции).

Формулы дифференцирования

1.(C)′ = 0;

2.(xα )′ = αxα−1;

3.(a x )′ = a x ln a ;

4.(ex )′ = ex ;

5.(loga x)′ = 1x loga e = x ln1 a ;

6.(ln x)′ = 1x ;

7.(sin x)′ = cos x ;

8.(cos x)′ = −sin x ;

9.(tg x)′ = cos12 x ;

	′		1
10.	(ctg x) = −			;
		sin 2 x
11.	(arcsin x)′ =		1	;
			1 − x 2
12.	(arccos x)′ = −			1	;
			1 − x 2

13.(arctg x)′ = 1 +1x 2 ;

14.(arcctg x)′ = −1 +1x 2 ;

15.(sh x)′ = ch x ;

16.(ch x)′ = sh x ;

17.(th x)′ = ch12 x ;

18.(cth x)′ = −sh12 x .

1.10. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференциро-

вать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

(x3 −3) (x + 2)3

ПРИМЕР 1.10. Найти производную функции y = ex2 (2x + 4)5 .

Решение: Логарифмируем функцию:

ln y = ln(x3 −3)+ 32 ln(x + 2)− x 2 −5ln(2x + 4).

Дифференцируя это равенство по x , получим

y′ =

3x 2

− 2x

−

x3 −3

2(x + 2)

2x + 4

y′ = y

− 2x −

или

−3

2(x + 2)

2x + 4

(x3

−

3) (x + 2)3

3x 2

y′ =

− 2x −

(2x + 4)5

−3

(x + 2)

2x + 4

На практике встречаются функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая

степенно-показательная функция y = [u(x)]v(x ).

Найдем производную, предварительно логарифмируя:

ln y = v(x)ln u(x)

y′ = v′(x)ln u(x)+ v(x)

u′(x)

u(x)

′

v(x ) ′

v(x)

′

= [u(x)]

v (x)ln u(x)+

u(x)

u (x) или

(u v )′ = u v ln u v′+ v u v−1 u′.

ПРИМЕР 1.11. Найти производную функции y = (cos 3x)x4 +2x . Решение. Пользуясь полученной формулой, получаем

y′ = (cos3x)x4 +2x ln cos3x (4x3 + 2)+

+ (x 4 + 2x) (cos 3x)x4 +2x−1 (−sin 3x) 3.

На практике пользоваться готовой формулой нежелательно, а необходимо всю процедуру логарифмирования и затем дифференцирования повторить.

1.11. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть зависимость между аргументом x и функцией y задана параметрически в виде двух уравнений

x = ϕ(t),	(1.8)
	(1.8)
y = ψ(t),

где t − вспомогательная переменная, называемая параметром.

Предположим, что функции ϕ(t) и ψ(t) имеют производные и что функция x = ϕ(t) имеет обратную t = θ(x), которая также имеет производную. Тогда определенную параметрическими уравнениями (1.8) функцию y = f (x) можно рассматривать как сложную функцию y = ψ(t), t = θ(x), t − промежу-

точный аргумент.

По правилу дифференцирования сложной функции получим

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.20151 Мб139razdel2kim.pdf
#
17.03.20151 Мб34razdel2UMK.pdf
#
17.03.2015780 Кб38razdel3kim.pdf
#
17.03.20151 Мб95razdel3UMK.pdf
#
17.03.2015768 Кб29razdel4kim.pdf
#
17.03.20151 Мб42razdel4UMK.pdf
#
17.03.201569 Кб42rechev_kommun.docx
#
11.09.201975 Кб99ref_8563_parta_ua.doc
#
26.11.201874 Кб22ref-23736.doc
#
01.07.20252 Мб6REFERAT (2003).doc
#
29.07.2019144 Кб20Referat Istoria.doc