razdel4UMK
.pdf1.4. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Теорема 1.2. Пусть функции u = u(x) и v = v(x)− дифференцируемы в
точке x . Тогда:
1. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций:
(u ± v)′ = u′± v′.
2. Производная произведения двух функций равна:
(u v)′ = u′v +u v′
|
3. Производная частного двух функций равна: |
|
|
|||||||||||
|
u |
′ |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
u v − uv |
|
, если v(x)≠ 0 . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(x) |
Доказательство. 1.Дадим аргументу x приращение |
x , тогда функции |
||||||||||||
и v(x) |
получат приращения |
u и |
v, а функция |
y = u + v получит |
||||||||||
приращение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y = [u(x + x)+ v(x + x)]−[u(x)+ v(x)]= |
|
|||||||||||
|
|
|
= [u(x + x)− u(x)]+[v(x + x)− v(x)]= u + v. |
|||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y′ = (u + v)′ = lim |
y = |
lim |
u + |
v = |
lim |
u |
+ lim |
v = u′+ v′ |
||||||
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
x→0 |
x |
|
x→0 |
x |
x→0 |
x |
то есть (u + v)′ = u′+ v′.
Аналогичным образом доказывается, что (u − v)′ = u′− v′. |
|||||
Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых. |
|||||
2. Пусть y = u v. Тогда |
y = u(x + x)v(x + x)− u(x)v(x). Так как |
||||
u = u(x + x)− u(x), |
v = v(x + x)− v(x), то u(x + x)= u + u(x), |
||||
v(x + x)= v + v(x). |
y = (u(x)+ u)(v(x)+ |
v)− u(x)v(x)= u(x)v(x)+ |
|||
Поэтому |
|||||
+ u v(x)+ v u(x)+ u v − u(x)v(x)= v(x) u + u(x) v + u v . |
|||||
Разделив обе части данного равенства на |
x и перейдя к пределу при |
||||
x → 0, получим |
|
|
|
|
|
y′ = (u v)′ = lim |
y = |
lim |
v(x) u + u(x) v + u v |
= |
|
|
|||||
x→0 |
x |
x→0 |
x |
11
= v(x) lim |
u |
+ u(x) lim |
v |
+ lim |
|
u |
lim v = |
x→0 |
x |
x→0 |
x |
x→0 |
|
x |
x→0 |
′ |
|
′ |
′ |
′ |
|
′ |
|
= u (x)v(x)+ u(x)v (x)+ u |
(x) 0 = u |
(x)v(x)+ u(x)v (x), |
то есть
(u v)′ = u′v + u v′.
При доказательстве мы использовали теорему 1.2 (о связи между непре-
рывностью и дифференцируемостью), согласно которой lim v = 0 .
x→0
Утверждение п.3 доказывается аналогично, предлагаем это выполнить самостоятельно.
ПРИМЕР 1.5. Найти производные функций y = tg x и y = ctg x . Решение. Воспользуемся формулой производной частного:
′ |
sin x ′ |
|
(sin x)′ cos x −sin x(cos x)′ |
|
||||
(tg x) |
= |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
cos2 x +sin 2 x |
1 |
′ |
1 |
|
||
= |
|
= |
|
, т.е. (tg x) |
= |
|
. |
cos2 x |
cos2 x |
cos2 x |
Аналогичным образом получим формулу
(ctg x)′ = −sin12 x .
1.5. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Пусть y = f (u) и u = ϕ(x), тогда y = f (ϕ(x)) яв-
ляется сложной функцией переменной x , а переменную u называют проме- |
|||||
жуточным аргументом. |
|
||||
Теорема 1.3. Если функция u = ϕ(x) имеет в некоторой точке x произ- |
|||||
водную |
|
u′x |
= ϕ′(x), а функция y = f (u) имеет в соответствующей |
точке |
|
u = ϕ(x) производную y′u = f ′(u), то сложная функция y = f (ϕ(x)) в указан- |
|||||
ной точке x также имеет производную, которая находится по формуле |
|
||||
y |
′ |
= f |
′ |
′ |
|
|
|
(u) ϕ (x) или, коротко, |
|
||
|
|
|
|
y′ = y′u u′x . |
(1.1) |
12
Доказательство. По условию lim |
y = y′u . Отсюда, по теореме о связи |
|||||
|
|
y |
u→0 |
u |
|
|
функции с ее пределом, имеем |
= y′u + α или |
|
|
|||
|
|
u |
|
|
|
|
y = y′u |
u + α |
u , |
|
(1.2) |
||
где α − б.м.ф. ( α → 0 при |
u → 0). |
|
u |
|
||
Функция u = ϕ(x) имеет производную в точке x , то есть lim |
= u′x , |
|||||
поэтому |
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
u = u′x |
x +β |
x , |
|
(1.3) |
||
где β− б.м.ф. (β → 0 при |
x → 0). |
|
|
|
||
Подставив (1.3) в равенство (1.2), получим |
|
|
||||
y = y′u u′x x + y′u β x + α u′x x + α β x |
|
(1.4) |
||||
Разделив полученное равенство на x и перейдя к пределу при |
x → 0, |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
y′ = y′u u′x .
ПРИМЕР 1.6. Найти производную функции y = sin x 2 .
Решение: Представим функцию как сложную, введя промежуточный аргумент u : y = sin u , где u = x 2 . Тогда y′u = cos u, u′x = 2 x и, следователь-
но, y′ = y′u u′x = cos u 2x = cos x 2 2x .
1.6. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ
Пусть функция y = f (x) строго монотонна в интервале (a, b), тогда для нее существует обратная функция x = ϕ(y).
Теорема 1.4. Если функция y = f (x) в некоторой точке x имеет отличную от нуля производную f ′(x), то обратная ей функция x = ϕ(y) в соответствующей точке y также имеет производную ϕ′(y), равную
13
′ |
1 |
|
(1.5) |
|
′ |
||||
ϕ (y)= |
||||
|
f (x) |
|
Доказательство. Рассмотрим обратную функцию x = ϕ(y). Дадим аргументу y приращение y ≠ 0, тогда функция получит приращение x , причем x ≠ 0 в силу строгой монотонности функции y = f (x). Поэтому можно записать тождество
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
|
|
y → 0 , то |
в |
силу непрерывности |
обратной |
|
функции имеем |
|||||||||||||||||||||||
x → 0. И так как по условию теоремы lim |
|
|
y |
|
′ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
= f (x)≠ 0 , то из равенства |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
||||||
(1.6) следует |
lim |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, то есть |
ϕ (y)= |
|
|
|
|
. |
|||||||||
y |
|
|
y |
|
f ′(x) |
f ′(x) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y→0 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Правило дифференцирования обратной функции иногда записывается |
|||||||||||||||||||||||||||||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′x |
= |
1 |
|
или |
|
dy |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x′y |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
(1.7) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ПРИМЕР 1.7. Найти производные обратных тригонометрических функ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ций y = arcsin x, |
y = arccos x, |
y = arctg x , |
y = arcctg x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Решение. Пусть y = arcsin x . Обратная ей функция имеет вид x = sin y , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
; |
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
; |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где y − |
2 |
2 |
. |
В интервале − |
2 |
2 |
имеем x′ = cos y ≠ 0. Тогда по пра- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
вилу дифференцирования обратной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
(arcsin x) |
= (sin y)′ |
= cos y |
= |
|
|
1 −sin 2 y = |
1 − x 2 , |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
; |
π |
||
где перед корнем взят знак +, так как cos y > 0 при y − |
2 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
14
Итак, (arcsin x)′ = |
1 . |
|||
1− x 2 |
|
|||
Аналогично получаем (arccos x)′ = − 1 . |
||||
|
|
|
|
1− x 2 |
Найдем производную функции y = arctg x . Она является обратной к |
||||
|
− |
π |
; |
π |
функции x = tg y, где y |
2 |
. Тогда |
||
|
|
|
2 |
(arctg x)′ = |
1 |
= cos2 |
y = |
1 |
= |
1 |
|
, то есть (arctg x)′ = |
1 |
. |
||||||
(tg y)′ |
|
1+ tg2 y |
|
1+ x 2 |
|
|
1 + x 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Аналогичным образом находим (arcctg x) |
= − |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
1+ x 2 |
|
|
|
1.7. НЕЯВНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Если функция задана уравнением
y, то говорят, что функция задана в явном виде.
Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x, y)= 0, не разрешенного относительно y.
Всякую явно заданную функцию y = f (x) можно записать как неявно заданную уравнением y −f (x)= 0, но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно y, например, y + 2xy2 −sin y +5 = 0 или 3y + 2x + 4y = 0.
Если неявная функция задана уравнением F(x, y)= 0, то для нахождения производной от y по x необходимо продифференцировать это уравнение по x , рассматривая при этом y как функцию от x , и затем
полученное уравнение разрешить относительно y′.
ПРИМЕР 1.8. Найти производную функции y, заданную уравнением
y5 −3xy2 + 4xy + x3 = 0.
Решение: Функция y задана неявно. Дифференцируя обе части этого тождества по x , считая, что y есть функция от x и, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим
(y5 )′ −3 (x y2 )′ + 4(x y)′ + (x3 )′ = 0
5y4 y′−3y2 −6xyy′+ 4y + 4xy′+3x 2 = 0
15
(5y |
4 |
−6xy + 4x)y |
′ |
= 3y |
2 |
− 4y |
−3x |
2 |
y |
′ |
= |
3y2 − 4y −3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
5y4 −6xy + 4x |
1.8. ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
|
|
|
1.8.1. Логарифмическая функция y = loga x, |
a > 0, a ≠1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Имеем |
|
y |
= |
loga (x + |
x)−loga x |
= |
|
1 |
|
loga |
x + x |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= loga 1 + |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → 0, получим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Перейдя к пределу при |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
y |
= lim loga |
|
+ |
|
x |
x |
|
|
= α, x = α x |
= |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
1 |
|
|
= |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
→ 0 α → 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
= lim loga (1 + α) |
|
= lim |
|
loga (1 + α) |
|
|
= |
lim loga (1 + α) |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||
αx |
α |
α |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
α→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x α→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
|
1 |
loga e , то есть (loga x)′ = |
1 |
loga e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Здесь воспользовались вторым замечательным пределом. Если a = e, то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
loge x = ln x и |
(ln x)′ = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1.8.2. Показательная функция y = ax , |
a > 0, |
a ≠1 |
|
|
|
|
Логарифмируя равенство y = a x , получим ln y = x ln a . Дифференцируя полученное равенство по переменной x по правилу дифференцирования неяв-
ной функции, получим |
1 |
y′ = ln a |
y′ = y ln a или |
y′ = a x ln a . Итак, |
y |
||||
(a x )′ = a x ln a . |
|
|
|
|
Если основание a = e, то ln e =1 и мы получим формулу (ex )′ = ex . ПРИМЕР 1.9. Найти производную функции y = ln (ex − x5 +1).
1 |
|
′ |
|
ex −5x 4 |
||
Решение: y′ = |
|
(ex − x5 |
+1) |
= |
|
. |
ex − x5 +1 |
ex − x5 +1 |
16
|
|
1.8.3. Степенная функция y = xα , α R |
|
||||||
|
|
Логарифмируя равенство y = xα , получим ln y = αln x |
|
||||||
|
1 |
1 |
|
y |
xα |
′ |
|||
|
|
y′ = α |
|
y′ = α |
|
= α |
|
= αxα−1 , то есть (xα ) = αxα−1. |
|
y |
x |
x |
x |
Отметим, что производные тригонометрических и обратно тригонометрических функций были нами рассмотрены ранее.
1.8.4. Производные гиперболических функций
Гиперболические функции определяются следующими формулами:
|
ex −e−x |
|
|||||||
sh x = |
|
|
|
|
|
|
− гиперболический синус; |
||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ex + e−x |
|
||||||
ch x = |
|
|
|
|
|
|
− гиперболический косинус; |
||
|
|
2 |
|
|
|||||
|
sh x |
|
|
|
ch x |
|
|||
th x = |
|
, |
cth x = |
− гиперболический тангенс и котангенс. |
|||||
|
|
sh x |
|||||||
|
ch x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
y = sh x |
|
1 |
y = ch x |
0 |
x |
0 |
x |
Рис. 1.4 |
Рис. 1.5 |
|
|
|
|
y |
y |
|
1
y = th x
0 |
x |
- 1
1
0
- 1
y = cth x
Рис. 1.6 |
Рис. 1.7 |
17
Найдем производные этих функций |
|
||||||||||
′ |
ex −e−x ′ |
|
ex + e−x |
|
′ |
|
|||||
(sh x) |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= ch x, то есть (sh x) |
= ch x ; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
′ |
ex + e−x ′ |
|
|
ex −e−x |
|
′ |
|
||||
(ch x) |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= sh x, то есть (ch x) |
= sh x ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
sh x ′ |
|
|
|
(shx)′ chx −shx (chx)′ |
|
ch 2 x −sh 2 x |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(th x) |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch |
x |
|
|
|
|
|
ch |
x |
|
|
ch |
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ch x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
то есть (th x)′ = |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ch 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
′ |
|
ch x |
′ |
|
|
(chx)′ shx −chx (shx)′ |
|
sh 2 x −ch 2 x |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(cth x) |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
, |
|
то |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh |
x |
|
|
|
|
|
sh |
x |
|
|
|
sh |
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
sh x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
есть (cth x) |
= − |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
sh 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
В |
последних |
|
|
двух |
формулах |
|
мы воспользовались |
|
зависимостью |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ch 2 x −sh 2 x =1, |
которая легко получается из определения гиперболических |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.9. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Правила дифференцирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1. (u ± v)′ = u′± v′; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. (u v) = u v + uv |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
u |
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
u v − uv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
если y = f (u), |
u = ϕ(x) (дифференцирование сложной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
y′ = y′u u′x , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции); |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
y′x |
|
= |
, если |
|
y = f (x) |
|
и |
x = ϕ(y) |
(дифференцирование обратной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x′y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции).
18
Формулы дифференцирования
1.(C)′ = 0;
2.(xα )′ = αxα−1;
3.(a x )′ = a x ln a ;
4.(ex )′ = ex ;
5.(loga x)′ = 1x loga e = x ln1 a ;
6.(ln x)′ = 1x ;
7.(sin x)′ = cos x ;
8.(cos x)′ = −sin x ;
9.(tg x)′ = cos12 x ;
|
′ |
1 |
|
|
|
10. |
(ctg x) = − |
|
; |
|
|
sin 2 x |
|
||||
11. |
(arcsin x)′ = |
1 |
; |
|
|
|
|
|
1 − x 2 |
|
|
12. |
(arccos x)′ = − |
1 |
; |
||
|
|
|
1 − x 2 |
|
13.(arctg x)′ = 1 +1x 2 ;
14.(arcctg x)′ = −1 +1x 2 ;
15.(sh x)′ = ch x ;
16.(ch x)′ = sh x ;
17.(th x)′ = ch12 x ;
18.(cth x)′ = −sh12 x .
1.10. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференциро-
вать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
(x3 −3) (x + 2)3
ПРИМЕР 1.10. Найти производную функции y = ex2 (2x + 4)5 .
Решение: Логарифмируем функцию:
ln y = ln(x3 −3)+ 32 ln(x + 2)− x 2 −5ln(2x + 4).
Дифференцируя это равенство по x , получим
1 |
y′ = |
3x 2 |
|
+ |
3 |
|
− 2x |
− |
10 |
|
|
|
|
||||||
y |
x3 −3 |
|
2(x + 2) |
2x + 4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3x |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|||||
|
y′ = y |
|
|
+ |
|
− 2x − |
|
|
или |
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
−3 |
2(x + 2) |
|
|
2x + 4 |
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
19
|
(x3 |
− |
3) (x + 2)3 |
|
3x 2 |
|
3 |
|
1 |
|
|
10 |
|
||||
y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− 2x − |
|
. |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ex |
(2x + 4)5 |
|
|
−3 |
|
2 |
|
(x + 2) |
|
2x + 4 |
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
На практике встречаются функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая
степенно-показательная функция y = [u(x)]v(x ).
Найдем производную, предварительно логарифмируя:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ln y = v(x)ln u(x) |
|
|
y′ = v′(x)ln u(x)+ v(x) |
|
|
u′(x) |
||||
|
|
y |
u(x) |
|||||||||
y |
′ |
v(x ) ′ |
|
|
v(x) |
′ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= [u(x)] |
v (x)ln u(x)+ |
u(x) |
u (x) или |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u v )′ = u v ln u v′+ v u v−1 u′.
ПРИМЕР 1.11. Найти производную функции y = (cos 3x)x4 +2x . Решение. Пользуясь полученной формулой, получаем
y′ = (cos3x)x4 +2x ln cos3x (4x3 + 2)+
+ (x 4 + 2x) (cos 3x)x4 +2x−1 (−sin 3x) 3.
На практике пользоваться готовой формулой нежелательно, а необходимо всю процедуру логарифмирования и затем дифференцирования повторить.
1.11. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть зависимость между аргументом x и функцией y задана параметрически в виде двух уравнений
x = ϕ(t), |
(1.8) |
|
|
y = ψ(t), |
|
где t − вспомогательная переменная, называемая параметром.
Предположим, что функции ϕ(t) и ψ(t) имеют производные и что функция x = ϕ(t) имеет обратную t = θ(x), которая также имеет производную. Тогда определенную параметрическими уравнениями (1.8) функцию y = f (x) можно рассматривать как сложную функцию y = ψ(t), t = θ(x), t − промежу-
точный аргумент.
По правилу дифференцирования сложной функции получим
20