2. Кинетическая энергия вращения (Kвр, Дж)

• Определение:

  • Кинетическая энергия вращения — это энергия, которой обладает тело вследствие своего вращательного движения.

  • Она зависит от момента инерции тела и его угловой скорости.

Формула:

Kвр = (1/2)Iω², где: I — момент инерции тела, ω — угловая скорость тела.

• Связь с линейной кинетической энергией:

Кинетическая энергия вращения аналогична линейной кинетической энергии (K =(1/2)mv²), но вместо массы используется момент инерции, а вместо линейной скорости — угловая скорость.

Кинетическая энергия вращения показывает, сколько энергии необходимо затратить, чтобы привести тело во вращательное движение с заданной угловой скоростью.

Основные моменты:

• Момент инерции — это мера инертности тела при вращательном движении.

• Кинетическая энергия вращения — это энергия, которой обладает тело вследствие своего вращательного движения.

• Эти две величины тесно связаны между собой и используются для описания вращательного движения тел.

12. Главные (свободные) оси и моменты инерции твердого тела. Теорема Штейнера

1. Главные (свободные) оси и моменты инерции твердого тела

Момент инерции твёрдого тела — это мера его инертности при вращательном движении. Он зависит от распределения массы тела относительно оси вращения. В общем случае момент инерции твёрдого тела зависит от выбора оси вращения.

Для любого твёрдого тела существуют три взаимно перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции. При вращении тела вокруг одной из главных осей момент импульса тела направлен вдоль этой же оси. Главные оси инерции связаны с симметрией тела. Если тело имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных осей инерции.

Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции. Они являются характеристиками инертных свойств тела.

2. Теорема Штейнера (теорема Гюйгенса-Штейнера): Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.  

I = I₀ + md², где: I — момент инерции относительно произвольной оси; I₀ — момент инерции относительно оси; параллельной данной и проходящей через центр масс; m — масса тела; d — расстояние между осями.

Теорема Штейнера позволяет рассчитать момент инерции тела относительно любой оси, если известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Она широко используется в механике твёрдого тела для решения различных задач.

Основные моменты:

• Главные оси инерции — это оси, относительно которых момент импульса тела направлен вдоль оси вращения.

• Главные моменты инерции — это моменты инерции относительно главных осей.

• Теорема Штейнера позволяет рассчитать момент инерции относительно любой оси.

13. Момент силы относительно неподвижной точки и неподвижной оси. Основной закон динамики вращательного движения

1. Момент силы относительно неподвижной точки (m)

Момент силы (М, Н·м) — это векторная величина, характеризующая вращательное действие силы. Он показывает, насколько сила способна вызвать вращение тела вокруг заданной точки.

Формула:

M = r × F, где: r — радиус-вектор, проведенный от точки вращения к точке приложения силы; F — сила, действующая на тело; × — знак векторного произведения.

Модуль момента силы:

|M| = rFsin(α), где: α — угол между векторами r и F.

Направление момента силы определяется по правилу правого винта (Если вращать винт от первого вектора ко второму (в направлении кратчайшего поворота), то направление поступательного движения винта укажет направление результирующего вектора).

2. Момент силы относительно неподвижной оси (Mz) — это проекция момента силы на эту ось. Он характеризует вращательное действие силы относительно данной оси.

Формула:

Mz = rFsin(α)cos(β), где: β — угол между вектором момента силы и осью вращения.

Плечо силы (l):

l = rsin(α) — плечо силы, кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Mz = Fl