38. Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекул идеального гата. Средняя энергия молекул идеального газа

Эти скорости являются характеристиками распределения Максвелла:

• Наиболее вероятная скорость (v_вер): Это скорость, которой обладает наибольшее число молекул газа при данной температуре. Она соответствует максимуму функции распределения Максвелла.

v_вер = √(2kT / m)

где: k - постоянная Больцмана; T - абсолютная температура; m - масса одной молекулы.

• Средняя скорость (<v>): Это среднее арифметическое значение скоростей всех молекул газа.

<v> = √(8kT / (πm))

• Средняя квадратичная скорость (v_кв): Это квадратный корень из среднего значения квадратов скоростей всех молекул газа. Она связана со средней кинетической энергией молекул.

vкв = √(3kT / m)

Средняя энергия молекул идеального газа

Средняя энергия молекулы идеального газа складывается из средней кинетической энергии поступательного движения и средней энергии, приходящейся на другие степени свободы (вращательное, колебательное).

Для одноатомного идеального газа средняя энергия молекулы равна только средней кинетической энергии поступательного движения:

<E> = <E_к> = (3/2)kT

где: k - постоянная Больцмана; T - абсолютная температура.

Для многоатомных идеальных газов средняя энергия молекулы определяется теоремой о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Согласно этой теореме, на каждую поступательную и вращательную степень свободы молекулы приходится в среднем энергия, равная (1/2)kT, а на каждую колебательную степень свободы приходится в среднем энергия kT (так как колебательная энергия включает как кинетическую, так и потенциальную составляющие).

Таким образом, средняя энергия многоатомной молекулы идеального газа равна:

<E> = (i/2)kT

где i - общее число степеней свободы молекулы (сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы).

Важно отметить: Эти формулы справедливы для идеального газа в состоянии термодинамического равновесия.

39. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Барометрическая формула описывает зависимость давления газа от высоты в поле силы тяжести при условии термодинамического равновесия и постоянной температуры. Она показывает, как плотность и давление газа экспоненциально убывают с высотой.

Вывод барометрической формулы основан на следующих предположениях:

• Газ является идеальным.

• Температура газа постоянна по всей высоте (изотермическая атмосфера).

• Ускорение свободного падения g постоянно в рассматриваемом диапазоне высот.

Рассмотрим тонкий слой газа толщиной dh на высоте h с давлением P. Давление на высоте h + dh будет P + dP. Разница давлений dP уравновешивается весом газа в этом слое:

dP * A = -ρ * A * g * dh

где: A - площадь поперечного сечения слоя газа; ρ - плотность газа на высоте h; g - ускорение свободного падения.

Используя уравнение состояния идеального газа PV = nRT или P = (ρ/M)RT, где M - молярная масса газа, можно выразить плотность: ρ = (PM)/(RT). Подставляя это в уравнение для dP:

dP = -(PM)/(RT) * g * dh

Разделяя переменные и интегрируя от начальной высоты h₀ с давлением P₀ до высоты h с давлением P:

∫(dP/P) = - (Mg)/(RT) ∫(dh)

ln(P/P₀) = - (Mg)/(RT) (h - h₀)

Экспоненцируя обе части, получаем барометрическую формулу для давления:

P(h) = P₀ * exp(-Mg(h - h₀) / (RT))

Аналогично, поскольку ρ пропорциональна P при постоянной температуре, барометрическая формула для плотности имеет вид:

ρ(h) = ρ₀ * exp(-mg(h - h₀) / (kT))

где: ρ₀ - плотность газа на высоте h₀; m - масса одной молекулы газа; k - постоянная Больцмана.

Физический смысл барометрической формулы:

Формула показывает, что давление и плотность газа экспоненциально уменьшаются с увеличением высоты. Скорость этого уменьшения зависит от массы молекул газа (или молярной массы), ускорения свободного падения и температуры. Более тяжелые газы и более низкие температуры приводят к более быстрому падению давления и плотности с высотой.

Распределение Больцмана (также известное как распределение Гиббса) описывает статистическое распределение частиц в системе, находящейся в термодинамическом равновесии, по различным энергетическим состояниям. Оно устанавливает вероятность того, что система находится в определенном состоянии с энергией Eᵢ при абсолютной температуре T.

Вероятность Pᵢ того, что система находится в состоянии с энергией Eᵢ, пропорциональна экспоненте от отношения энергии этого состояния к kT:

Pᵢ ∝ exp(-Eᵢ / (kT))

Чтобы получить абсолютную вероятность, необходимо ввести нормировочный множитель, который называется статистической суммой (Z):

Pᵢ = (1/Z) * exp(-Eᵢ / (kT))

где статистическая сумма Z определяется как сумма по всем доступным состояниям:

Z = Σᵢ exp(-Eᵢ / (kT))

Связь с барометрической формулой:

Барометрическая формула является частным случаем распределения Больцмана для потенциальной энергии молекул в поле силы тяжести. Потенциальная энергия молекулы на высоте h равна U(h) = mgh. Подставляя эту энергию в распределение Больцмана для концентрации n(h) (которая пропорциональна вероятности обнаружить молекулу на высоте h):

n(h) ∝ exp(-mgh / (kT))

Вводя нормировочную константу n₀ (концентрация на высоте h₀ = 0), получаем:

n(h) = n₀ * exp(-mgh / (kT))

Поскольку давление P пропорционально концентрации n при постоянной температуре, мы возвращаемся к барометрической формуле (для h₀ = 0):

P(h) = P₀ * exp(-mgh / (kT)) = P₀ * exp(-Mg h / (RT))

Общий смысл распределения Больцмана:

Распределение Больцмана является фундаментальным принципом статистической механики. Оно показывает, что при термодинамическом равновесии состояния с более низкой энергией являются более вероятными для заселения, чем состояния с более высокой энергией. Тепловая энергия kT определяет масштаб этой вероятности. Чем выше температура, тем более вероятно заселение высокоэнергетических состояний.

Распределение Больцмана применимо к широкому кругу явлений, включая:

• Распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла может быть выведено из распределения Больцмана).

• Распределение электронов по энергетическим уровням в атомах и твердых телах.

• Химические реакции и константы равновесия.