30. Интерференция волн. Понятие когерентности

Интерференция волн - это явление сложения двух или нескольких волн, распространяющихся в пространстве, в результате которого происходит пространственное перераспределение энергии. В одних точках пространства наблюдается усиление результирующей волны (интерференционный максимум), а в других - ослабление или даже полное гашение (интерференционный минимум).

Характер интерференционной картины (расположение максимумов и минимумов) зависит от:

• Разности хода волн: Разность расстояний, пройденных волнами от источников до точки наблюдения.

• Длины волны (или частоты): Волны с разной длиной волны будут создавать различные интерференционные картины.

• Фазовой разности между волнами в источниках: Если источники излучают волны несинхронно, это также влияет на интерференцию.

Для наблюдения устойчивой интерференции необходимо, чтобы волны были когерентными.

Когерентность (от лат. cohaerentio - связь, сцепление) - это согласованное протекание во времени и пространстве двух или нескольких волновых или колебательных процессов. Когерентные волны обладают следующими свойствами:

• Одинаковая частота (или длина волны): Для устойчивой интерференции волны должны иметь одинаковые или очень близкие частоты.

• Постоянная разность фаз: Разность фаз между двумя когерентными волнами в любой фиксированной точке пространства остается постоянной во времени.

Различают два типа когерентности:

• Временная когерентность: Характеризует степень монохроматичности волны, то есть насколько узким является диапазон частот, входящих в ее состав. Чем более монохроматична волна, тем на большем расстоянии сохраняется постоянство фазовой разности между различными точками волнового фронта, излученными в разные моменты времени.

• Пространственная когерентность: Характеризует степень согласованности фаз колебаний в различных точках волнового фронта в данный момент времени. Чем меньше размер источника света (или другого волнового излучения), тем выше пространственная когерентность излучаемых им волн.

Важность когерентности для интерференции:

Интерференционная картина наблюдается только при наложении когерентных волн. Если волны некогерентны (например, излучаются независимыми источниками света), их фазовые разности будут хаотически меняться со временем, и средняя интенсивность результирующей волны будет просто суммой интенсивностей складывающихся волн без образования устойчивых максимумов и минимумов.

Примером когерентных источников могут служить два узких отверстия, освещаемых одним и тем же монохроматическим источником света (как в опыте Юнга), или лазерное излучение.

31. Формирование стоячих волн. Уравнение стоячей волны. Узлы и пучности

Формирование стоячих волн

Стоячие волны возникают в результате интерференции двух бегущих волн одинаковой частоты и амплитуды, распространяющихся навстречу друг другу. Это может происходить, например, при отражении волны от препятствия. Отраженная волна складывается с падающей волной, и в результате образуется стационарная картина колебаний, в которой некоторые точки среды остаются неподвижными, а другие колеблются с максимальной амплитудой.

Уравнение стоячей волны

Рассмотрим две гармонические бегущие волны одинаковой амплитуды (A), частоты (ω) и волнового числа (k), распространяющиеся вдоль оси x навстречу друг другу:

• Волна, распространяющаяся в положительном направлении x: y₁(x, t) = A sin(kx - ωt)

• Волна, распространяющаяся в отрицательном направлении x: y₂(x, t) = A sin(kx + ωt)

Согласно принципу суперпозиции, результирующее смещение в любой точке x в момент времени t будет суммой смещений от обеих волн:

y(x, t) = y₁(x, t) + y₂(x, t) = A sin(kx - ωt) + A sin(kx + ωt)

Используя тригонометрическую формулу для суммы синусов (sin(α) + sin(β) = 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2)), получаем уравнение стоячей волны:

y(x, t) = 2A sin(kx) cos(ωt)

Это уравнение описывает колебания каждой точки среды с координатой x с частотой ω и амплитудой, зависящей от координаты: A_{стоячей}(x) = 2A |sin(kx)|.

Узлы и пучности

В стоячей волне наблюдаются характерные точки с особыми свойствами амплитуды колебаний:

• Узлы: Это точки среды, в которых амплитуда колебаний равна нулю. Узлы образуются в тех местах, где sin(kx) = 0. Это происходит при: kx = nπ, где n = 0, 1, 2, ... Следовательно, координаты узлов определяются как: x_узла = nλ / 2 где λ = 2π / k - длина волны. Расстояние между соседними узлами равно половине длины волны (λ / 2).

• Пучности: Это точки среды, в которых амплитуда колебаний максимальна и равна 2A. Пучности образуются в тех местах, где |sin(kx)| = 1. Это происходит при: kx = (n + 1/2)π, где n = 0, 1, 2, ... Следовательно, координаты пучностей определяются как: x_{пучности} = (n + 1/2)λ / 2. Расстояние между соседними пучностями также равно половине длины волны (λ / 2). Пучности расположены посередине между узлами.

Характерные особенности стоячих волн:

В отличие от бегущих волн, энергия в стоячей волне не переносится в пространстве (в среднем). Она локализована между узлами. Все точки между двумя соседними узлами колеблются в одной фазе (или в противофазе с точками между соседними узлами). Частота колебаний всех точек стоячей волны одинакова и равна частоте складывающихся бегущих волн.

Стоячие волны играют важную роль в различных физических явлениях, таких как колебания струн музыкальных инструментов, резонанс в трубах и резонаторах, а также в оптике.