4. Применение фигур Лиссажу

Измерение частот: если известна одна частота, другую можно определить по форме фигуры. Фазометрия: сравнение фаз сигналов. Осциллография: визуализация колебаний на экране осциллографа.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний приводит к образованию эллипсов, окружностей или более сложных фигур Лиссажу. Их форма зависит от соотношения частот и разности фаз. Эти явления находят применение в технике, радиофизике и экспериментальных исследованиях.

24. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Декремент и логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы

1. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний

Затухающие колебания возникают, когда на колебательную систему действует сила сопротивления (например, сила трения), пропорциональная скорости движения. Для пружинного маятника такая сила может быть представлена как F_сопр = -rẋ, где r — коэффициент сопротивления, а ẋ — скорость.

Применяя второй закон Ньютона (mẍ = Fупр + Fсопр), получаем дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний:

mẍ + rẋ + kx = 0

где: m — масса колеблющегося тела; r — коэффициент сопротивления; k — жесткость пружины; x — смещение от положения равновесия; ẋ — скорость (первая производная x по времени); ẍ — ускорение (вторая производная x по времени)

Разделив уравнение на m, получим:

ẍ + 2βẋ + ω₀²x = 0

где:

β = r / (2m) — коэффициент затухания

ω₀ = √(k / m) — собственная циклическая частота незатухающих колебаний

2. Решение дифференциального уравнения зависит от соотношения между коэффициентом затухания β и собственной частотой ω₀:

• Случай слабого затухания (β < ω₀): Колебания носят затухающий характер. Решение имеет вид:

x(t) = A₀ * e^(-βt) * cos(ωt + φ₀) где:

A₀ — начальная амплитуда

ω = √(ω₀² - β²) — циклическая частота затухающих колебаний (ω < ω₀)

φ₀ — начальная фаза

• Случай критического затухания (β = ω₀): Колебания не происходят, система быстро возвращается в положение равновесия без колебаний. Решение имеет вид:

x(t) = (C₁ + C₂t) * e^(-βt)

где C₁ и C₂ определяются начальными условиями.

• Случай сильного затухания (β > ω₀): Система также возвращается в положение равновесия без колебаний, но медленнее, чем при критическом затухании. Решение имеет вид:

x(t) = C₁ * e^((-β + √(β² - ω₀²))t) + C₂ * e^((-β - √(β² - ω₀²))t)

где C₁ и C₂ определяются начальными условиями.

В большинстве практических случаев рассматривают именно слабое затухание, так как оно приводит к наблюдаемым колебаниям с постепенно уменьшающейся амплитудой.

3. Коэффициент затухания (β)

Как уже было определено выше, коэффициент затухания (β) характеризует интенсивность затухания колебаний. Чем больше β, тем быстрее уменьшается амплитуда колебаний. Единица измерения в СИ — с⁻¹.

4. Декремент затухания (δ) — это отношение амплитуды двух последовательных колебаний, разделенных одним периодом T:

δ = A(t) / A(t + T) = (A₀ * e^(-βt)) / (A₀ * e^(-β(t + T))) = e^(βT)

где T = 2π / ω — период затухающих колебаний.

Декремент затухания всегда больше единицы (при β > 0).

5. Логарифмический декремент затухания (Λ) — это натуральный логарифм декремента затухания:

Λ = ln(δ) = ln(e^(βT)) = βT = β * (2π / ω)

Логарифмический декремент затухания показывает, на какую постоянную величину уменьшается логарифм амплитуды за один период. Он является безразмерной величиной.

6. Добротность колебательной системы (Q) — это безразмерная величина, характеризующая, насколько медленно затухают колебания в системе. Высокая добротность означает слабое затухание и большое число колебаний до существенного уменьшения амплитуды.

Добротность можно определить несколькими способами:

• Q = ω₀ / (2β) = π / Λ

• Q ≈ πN, где N — число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в e раз (при слабом затухании).

• Q = 2π * (энергия, запасенная в системе) / (энергия, теряемая системой за один период)

Чем больше добротность, тем меньше коэффициент затухания и тем медленнее затухают колебания.

Основные моменты: Затухающие колебания описываются дифференциальным уравнением, учитывающим силу сопротивления. Решение уравнения зависит от соотношения коэффициента затухания и собственной частоты. Коэффициент затухания характеризует интенсивность затухания. Декремент и логарифмический декремент затухания количественно описывают уменьшение амплитуды за период. Добротность характеризует степень затухания колебательной системы.