22. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

1. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

• Принцип суперпозиции: Если на тело одновременно действуют несколько гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, то результирующее колебание также будет гармоническим с той же частотой.

• Уравнение результирующего колебания:

  • Если у нас есть два колебания:

    • x₁(t) = A₁*cos(ωt + φ₁)

    • x₂(t) = A₂*cos(ωt + φ₂)

  • То результирующее колебание будет:

x(t) = A*cos(ωt + φ), где:

• A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(φ₂ - φ₁)) — амплитуда результирующего колебания,

• φ — начальная фаза результирующего колебания, определяемая из соотношений: tan(φ) = (A₁sin(φ₁) + A₂sin(φ₂)) / (A₁cos(φ₁) + A₂cos(φ₂)).

• Анализ:

  • Амплитуда результирующего колебания зависит от амплитуд складываемых колебаний и разности их начальных фаз.

  • Если разность фаз равна 0 или 2π, то амплитуда результирующего колебания максимальна (A = A₁ + A₂).

  • Если разность фаз равна π, то амплитуда результирующего колебания минимальна (A = |A₁ - A₂|).

2. Биения — это периодические изменения амплитуды результирующего колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими, но не одинаковыми частотами.

Частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

ν_биения = |ν₁ - ν₂|

Биения используются для настройки музыкальных инструментов, измерения частот и в других областях.

• Объяснение:

  • Когда складываются два колебания с близкими частотами, их фазы периодически совпадают и расходятся.

  • Когда фазы совпадают, амплитуда результирующего колебания увеличивается (возникает максимум).

  • Когда фазы расходятся, амплитуда результирующего колебания уменьшается (возникает минимум).

Основные моменты:

• При сложении гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты получается гармоническое колебание с той же частотой.

• Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания зависят от амплитуд и начальных фаз складываемых колебаний.

• Биения возникают при сложении колебаний с близкими, но не одинаковыми частотами.

• Частота биений равна разности частот складываемых колебаний.

23. С ложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу

1. Когда материальная точка участвует одновременно в двух колебательных движениях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях, её результирующее движение описывается сложением этих колебаний. В результате могут возникать сложные траектории, называемые фигурами Лиссажу.

2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим два гармонических колебания с одинаковой частотой:

• По оси X: x(t)=A cos(ωt+ϕ₁)

• По оси Y: y(t)=B cos(ωt+ϕ₂)

Где: A,B — амплитуды, ω — угловая частота (одинаковая для обоих колебаний), ϕ1,ϕ2​ — начальные фазы.

Результирующая траектория

Исключив время t, получим уравнение траектории:

(x2/A2)+(y²/B²)−(2xy/AB)cos(Δϕ)=sin²(Δϕ),

где Δϕ=ϕ2−ϕ1— разность фаз.

Частные случаи

1. Δϕ=0 (колебания синфазны)

y=(B/A)x

Траектория — прямая линия с наклоном B/A​.

2. Δϕ=π/2

x²/A²+y²/B²=1

Траектория — эллипс (при A=B — окружность).

3. Δϕ=π

y=−B/Ax

Траектория — прямая линия с отрицательным наклоном.

3. Фигуры Лиссажу возникают при сложении перпендикулярных колебаний с разными частотами ωx и ωy.

Общий вид уравнения

x(t)=A cos(ω_xt+ϕ₁), y(t)=B cos(ω_yt+ϕ₂)

Форма фигур зависит от соотношения частот ωx/ωy

• Если ωx/ωy=m/n​ (где m,n — целые числа), траектория замкнутая.

• Чем сложнее соотношение, тем сложнее фигура.

Примеры фигур Лиссажу

Соотношение частот ωx:ωy​	Разность фаз Δϕ	Вид фигуры
1:1	0	Прямая
1:1	π/2	Окружность
1:2	π/2	"Восьмёрка"
2:3	π/4	Сложная кривая