1. Траектория, длина пути, вектор перемещения в механике. Мгновенная скорость. Ускорение

1. Траектория, длина пути, вектор перемещения

• Траектория — это линия, которую описывает тело при своем движении. Она может быть прямой, кривой, замкнутой или незамкнутой. Например, траектория движения Земли вокруг Солнца — эллипс.

• Длина пути (S) — это скалярная величина, равная длине траектории, пройденной телом за определенный промежуток времени. Измеряется в метрах (м).

• Вектор перемещения (Δr) — это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Он показывает, как изменилось положение тела в пространстве. Измеряется в метрах (м).

Важно:

• Длина пути и модуль вектора перемещения могут совпадать только при прямолинейном движении в одном направлении.

• В общем случае длина пути больше или равна модулю вектора перемещения.

2. Мгновенная скорость (v, м/с) — это векторная величина, характеризующая скорость тела в данный момент времени в данной точке траектории. Она равна первой производной радиус-вектора по времени:

v = dr/dt

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения в данной точке.

3. Ускорение (a, м/с²) — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела. Оно равно первой производной скорости по времени или второй производной радиус-вектора по времени:

a = dv/dt = d²r/dt²

Ускорение может быть направлено как по направлению скорости (при ускорении), так и против направления скорости (при замедлении).

Дополнительные моменты:

• Если ускорение постоянно, движение называется равноускоренным (или равнозамедленным).

• При криволинейном движении ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальное ускорение (изменяет модуль скорости) и нормальное ускорение (изменяет направление скорости).

1. Тангенциальное ускорение (aτ):

Это составляющая ускорения, которая направлена по касательной к траектории движения. Она отвечает за изменение модуля скорости тела. Если тангенциальное ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость, то тело ускоряется; если в противоположную — замедляется.

aτ = dv/dt, где v - модуль скорости.

2. Нормальное (центростремительное) ускорение (an):

Это составляющая ускорения, которая направлена к центру кривизны траектории. Она отвечает за изменение направления скорости тела. Нормальное ускорение всегда присутствует при криволинейном движении, даже если модуль скорости не меняется (например, при равномерном движении по окружности).

an = v²/R, где v — модуль скорости, R — радиус кривизны траектории.

Полное ускорение (a) тела при криволинейном движении является векторной суммой тангенциального и нормального ускорений:

a = aτ + an

Модуль полного ускорения можно найти по теореме Пифагора:

|a| = √(aτ² + an²)

Пример

Представьте себе автомобиль, движущийся по изогнутой дороге.

• Тангенциальное ускорение будет отвечать за то, разгоняется или замедляется автомобиль.

• Нормальное ускорение будет отвечать за то, что автомобиль поворачивает, то есть меняет направление своего движения.

Важные моменты

• При прямолинейном движении нормальное ускорение равно нулю, и полное ускорение совпадает с тангенциальным.

• При равномерном движении по окружности тангенциальное ускорение равно нулю, и полное ускорение совпадает с нормальным (центростремительным).