Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / булев функц_лекция 3
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
СКНФ: по |
строкам, |
х1 |
х2 |
|
х3 |
|
F |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
||||
в |
которых булева |
функция |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
принимает значение 0, составляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||
элементарные |
|
|
дизъюнкции, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
которые |
затем |
объединяем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
конъюнкциями. |
В дизъюнкцию |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||
входит сама переменная, если |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
её |
|
значение |
в |
данной строке |
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
||||||||||||
равно 0, |
и |
отрицание этой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
переменной, если её значение равно 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F (x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x3 x1 x2 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 x2 x3 |
|
1 x2 |
|
3 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Задача. По заданной таблице истинности найти логическую функцию.
Решение. Составим СДНФ:
F(x1, x2 , x3 ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1x2 x3 x1 x2 x3.
Минимизируем полученную функцию, предварительно
разложив её по переменной x :
3
x3 x1 x2 x1 x2 x3 x1 x2 x1x2 x2 x3 x1 x3.
Здесь был применён закон алгебры логики – закон склеивания: ab ab a .
х1 х2 х3 F
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данного высказывания называется равносильное ему высказывание вида: K1 K2 ... Ks
где Ki (i=1,s)- элементарная конъюнкция.
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данного высказывания называется равносильное ему высказывание вида: D1 D2 ... Dt
где Di (i=1,t)- элементарная дизъюнкция.
Примеры ДНФ
A B C |
AB C |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
||||
|
A |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A C |
|
A C |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ABC BC A |
|
|
|
|
|
|||||||||
ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) данного высказывания называется такая ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция содержит все элементарные высказывания, либо их отрицания по одному разу.
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данного высказывания называется такая КНФ, в которой каждая элементарная дизъюнкция содержит все элементарные высказывания, либо их отрицания по одному разу.
Переход от табличной формы функции к СДНФ или
правило записи функции по единицам
Выбрать те наборы аргументов, на которых f(Х1,Х2, ... Хn)=1.
Выписать все конъюнкции для этих наборов. Если при этом Хi имеет значение '1', то этот множитель пишется в прямом виде, если '0', то с отрицанием.
Все конъюнктивные члены соединить знаком дизъюнкции .
Пример
66
Пример Построить по таблице истинности СДНФ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•для каждой конкретной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
A |
B |
|
C |
|
F |
|
|
|||||||||||
функции её СДНФ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
единственна и однозначна; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
•СДНФ имеет однозначное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
||||||||||
соответствие с таблицей |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
истинности функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
||||||||||
•Каждое слагаемое СДНФ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
||||||||||
соответствует одной строке в |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
таблице истинности, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
функция равна единице. |
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
||
•Таким образом, число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
||||||||||
слагаемых в СДНФ равно |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
числу единичных значений, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
||||||||||
которые принимает булева |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
функция в своей области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||||
определения; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
F ABC ABC ABC ABC |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) —
удовлетворяет следующим трём условиям:
в ней нет одинаковых слагаемых (элементарных конъюнкций);
в каждом слагаемом нет повторяющихся переменных;
каждое слагаемое содержит все переменные, от которых зависит булева функция (каждая переменная может входить в слагаемое либо в прямой, либо в инверсной форме).
Любая булева формула, не являющаяся тождественно ложной, может быть приведена к СДНФ, единственным образом.
68
Правило перехода от табличной формы задания функции
к СКНФ или правило записи функции по нулям
Выбрать те наборы аргументов, на которых f(Х1, Х2, ... Хn)=0.
Если при этом Хi имеет значение '0', то остается без изменений. Если '1', то с отрицанием.
Все дизъюнктивные члены соединить знаком конъюнкции.
Пример
69
Пример Написать СДНФ СКНФ
70