Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / булев функц_лекция 3
.pdf
Дополнительные операции
|
Импликация |
|
f (x, y) x y (1101) |
|
Эквивалентность |
f (x, y) x ~ y x y (1001) |
|
|
Сложение по модулю 2 |
f (x, y) x y (0110) |
|
Стрелка Пирса (ИЛИ-НЕ) |
f (x, y) x y (1000) |
Штрих Шеффера (И-НЕ) |
f (x, y) x | y (1110) |
|
|
Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы СДНФ, СКНФ
Определение Простая конъюнкция- конъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная встречается не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание).
Пример |
простая конъюнкция |
|
Определение Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ)
называется дизъюнкция простых конъюнкций.
Пример 
является ДНФ
Замечание Термин "нормальная" означает, что в выражении отсутствуют групповые инверсии, т.е инверсия над несколькими переменными сразу
52
Правильные элементарные
конъюнкции
x1 x2 x3 x1 x2 x1
x2 x2 x2 x1 x1 x2 x3 x4
AC, AB, A C, BC, ABC, B C , A
Основные теоремы булевой алгебры
x | y x y x y x | y x ~ y x y x y x y x y x ~ y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y x y z x y x z x ~ y x y x y x | x x x x 0 x 1 x x 0 x
Упрощение нормальных форм
x xy x x x y x x xy x y x xy x y x x y xy x x y xy
Замечание
Для любой логической функции, принимающей истинностные значения в зависимости от логических аргументов, существует формула в ДНФ, реализующая эту функцию, что и заданная функция.
56
СДНФ
Определение Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ)- дизъюнктивная нормальная форма, у которой
в каждую конъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одном и том же порядке
Пример |
является ДНФ, но не СДНФ |
|
|
|
является СДНФ |
57
Определение Простая дизъюнкция - дизъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная входит не более одного раза (либо сама, либо ее отрицание).
Пример |
– простая дизъюнкция |
|
Определение Конъюнктивной нормальной формой (КНФ)-
конъюнкция простых дизъюнкций
КНФ
Определение Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ)
-КНФ, у которой в каждую простую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одинаковом порядке.
СКНФ
Пример
58
Любая булева функция, не являющаяся тождественным нулём или единицей, имеет только одну СДНФ с точностью до
расположения переменных. |
х1 |
х2 |
х3 |
F |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
Задача. Пусть при n= 3 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
булева функция задана таблицей |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
истинности. Составить СДНФ |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
и СКНФ для данной функции. |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
Решение. |
|
СДНФ: по |
строкам, |
х1 |
х2 |
х3 |
F |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
в |
которых |
булева |
функция |
0 |
0 |
0 |
0 |
|||
принимает значение 1, составляем |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||||
элементарные |
конъюнкции, |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
0 |
1 |
0 |
1 |
|||||||
которые |
затем |
объединяем |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
дизъюнкциями. |
В конъюнкцию |
0 |
1 |
1 |
1 |
|||||
входит сама переменная, если |
1 |
0 |
0 |
0 |
||||||
её |
значение в |
данной строке |
|
|
|
|
||||
1 |
0 |
1 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
равно 1, |
и |
отрицание этой |
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
0 |
1 |
|||||||
переменной, если её значение равно 0. |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
1 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3