Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / булев функц_лекция 3
.pdf
Дизъюнкция
Определение Дизъюнкция -функция, которая равна 0 если и только если все переменные равны 0 (и, значит, равна 1 тогда и только тогда, когда хотя бы одна переменная равна 1).
Операцию ДИЗЪЮНКЦИЯ называют еще "логическим или".
Если два высказывания соединить дизъюнкцией, то получится сложное высказывание которое истинно, если истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний.
Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания.
21
Логическое сложение (дизъюнкция)
Логическое сложение образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».
пример:
На автостоянке обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной. Обозначим высказывания:
А= На автостоянке стоит «Мерседес». В= На автостоянке стоят «Жигули».
(А дизъюнкция В) = На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули».
Обозначение дизъюнкции:
А ИЛИ В; А В; А B; A OR B; А+В.
Таблица истинности для дизъюнкции
А |
В |
АvB |
Смысл высказываний А и В |
Значение высказывания |
|
|
|
|
для указанных значений |
На автостоянке стоят |
|
|
|
|
|
|
«Мерседес» и «Жигули» |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
«Мерседес» |
«Жигули» |
Ложь |
|
|
|
не стоит |
не стоят |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
«Мерседес» |
«Жигули» |
Истина |
|
|
|
не стоит |
стоят |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
«Мерседес» |
«Жигули» |
Истина |
|
|
|
стоит |
не стоят |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
«Мерседес» |
«Жигули» |
Истина |
|
|
|
стоит |
стоят |
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Соответствует союзу ИЛИ |
|
F(A,B)=A B |
|
|
|||
Обозначение: |
+, ИЛИ, OR, |
|
|
|
|
|
|
|
А |
В |
|
F |
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
Дизъюнкция ложна тогда и только |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
||
тогда, когда оба высказывания ложны |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
В |
Объединение |
|
А В |
|||
|
|
Пример
Для сдачи экзамена |
А۷В |
|
необходимы знания или везение.
А٨В
Для успешной учебы студент должен быть умным и терпеливым
(только одновременное наличие двух качеств, ума и терпения, делает выражение истинным).
25
Булева алгебра
Булева алгебра - непустое множество A с
двумя бинарными перациями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции),
одной унарной операцией (аналог отрицания)
и двумя элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина)
Булева алгебра - точная моделью классического исчисления высказываний.
•Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций := (объединение), := ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.
26
Булева алгебра
Булева алгебра состоит из компонентов:
Логические объекты ( выражения)
Операции над логическими объектами 
Аксиомы и теоремы,
регламентирующие эти операции
Аналогия с алгеброй множеств Кантора
Теория множеств
Множество элементов М
Операция пересечение
Операция объединение
Операция дополнение –
Пустое множество
Универсум – множество всех элементов U
Булева алгебра
Элемент X {0,1}
Операция И ( – конъюнкция)
Операция ИЛИ ( – дизъюнкция)
Операция инверсия –
0-элемент
1-элемент
28
Импликация
Импликация двух высказываний истинна всегда, кроме случая, если первое высказывание истинно, а второе ложно.
ИЗ ИСТИНЫ НЕ МОЖЕТ СЛЕДОВАТЬ ЛОЖЬ
Импликация двух высказываний истинна всегда, кроме случая, если первое высказывание истинно, а второе ложно
Иногда импликацию обозначают (читается “из x следует y”). ИМПЛИКАЦИЯ или "логическое если... , то".
29
Логическое следование (импликация)
Логическое следование образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если …, то …».
пример:
А= Если клятва дана, то она должна выполнятся. В= Если число делится на 9, то оно делится на 3.
В логике допустимо рассматривать и бессмысленные с житейской точки зрения высказывания.
С = Если коровы летают, то 2+2=5. Пусть даны высказывания:
А= На улице дождь. В= Асфальт мокрый.
(А импликация В)= Если на улице дождь, то асфальт мокрый.
Обозначение : А В; А B;
если А, то В; А влечет В; В следует из А.