Лекции ДМ, 2 курс 3 семестр (для ИВТ и т.п.) / булев функц_лекция 3
.pdf
Лекция 3 Дискретная математика
Булева Алгебра
Доцент Старожилова О.В.
1
Джордж Буль
(1815-1864) —
английский математик и
логик.
Разработал алгебру логики (булеву алгебру)
принципы функционирования цифровых компьютеров
2
Историческая справка
Родился в Линкольне
1849 – профессор математики Куинс-Колледжа в Корке (Ирландия)
За работы в области высшего анализа получил Королевскую медаль
1854 – основное произведение «Исследование законов мышления»
Предпринял попытку построить формальную логику
в виде некоторого «исчисления», «алгебры»
В современной алгебре встречаются булевы кольца, булевы алгебры — алгебраические системы, законы которых берут свое начало от исчисления Буля
В общей топологии – булево пространство
В математических проблемах управляющих систем − булевы разброс, разложение
Джордж Буль
(XIXв.)
3
Основные логические функции булевой алгебры
Определение Логическая (булева) функция n переменных -
функция, у которой все переменные и сама функция могут принимать только два значения: 0 и 1
Замечание Логическая переменная х может подразумевать под числом 0 некоторое высказывание, которое ложно, и под числом 1 высказывание, которое истинно.
Булева функция может быть задана:
словесным описанием (назначением, определением), таблицей истинности,
формулой, состоящей из букв, знаков логических операций и скобок,
координатным способом (картой Карно),
диаграммой Венна,
геометрическим способом (гиперкубами),
4
Двоичные наборы для функций от двух и трех переменных
№ x1 x2 f(x1, x2)
0 0 0
1 0 1
2 1 0
3 1 1
№ x |
1 |
x |
2 |
x |
3 |
f(x , x , x ) |
|||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|||
2 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|||
3 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|||
4 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
5 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|||
6 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|||
7 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|||
5
Двоичные наборы для функций от четырех переменных f(x1, x2, x3 , x4)
|
№ |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
f(x1,x2,x3, х4) |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Существенные и фиктивные переменные
Определение Переменная функции называется существенной переменной, если существуют такие два набора переменных, отличающихся i-ой компонентой, что для них выполняется неравенство
f (x1, x2 , , xi 1,0, xi 1, , xn ) f (x1, x2 , , xi 1,1, xi 1, , xn )
Определение |
Переменная |
функции называется |
фиктивной |
переменной, если |
существуют |
такие два набора |
переменных, |
отличающихся i-ой компонентой, что для них выполняется
f (x1, x2 , , xi 1,0, xi 1, , xn ) f (x1, x2 , , xi 1,1, xi 1, , xn )
Если фактически функция не зависит от некоторой переменной, то такую переменную называют фиктивной
7
Пример |
f (11110011) |
Определить существенные и фиктивные переменные
Решение
Рассмотрим значения функции на наборах, соседних по переменной
f (0,0,0) 1 f (1,0,0) 0 f (0,0,0) f (1,0,0)
следовательно, переменная x- существенная
f (0,0,0) 1 |
f (0,1,0) 1 |
f (1,0,0) 0 |
f (1,0,0) f (1,1,0) |
|
следовательно, переменная y - существенная
Аналогично рассматривая наборы по переменнойz
получаем, что |
z |
- фиктивная |
|
|
|
|
|
|
8
Таблица истинности
Определение Таблица истинности - таблица,
устанавливающая соответствие между возможными значениями набора переменных и значениями функции.
Таблицы истинности логических функций позволяют
определить значения, которые принимают эти функции при различных значениях переменных,
сравнивать функции между собой,
определять, удовлетворяют ли функции заданным свойствам.
Определение Две функции равны, если совпадают их таблицы истинности (на объединенном наборе переменных).
9
Функции одной переменной
Функций от одной переменной четыре:
константа 0,
константа 1,
тождественная функция, т.е. функция, значение которой совпадает с аргументом
функция ``отрицание''.
Множество всех логических функций одной переменной –
унарные логические операции
Число функций Р2(1) = 221=4.
10