Синергетика_Глава_2_08_Модель_Лоттки_Вольтерра

В качестве математической иллюстрации таких

колебательных

процессов

разберем математическую

модель,

которая

описывает

процесс

системой дифференциальных

уравнений

dN1

N N N

(Хищники)

(LVM.1)

2

dt

1

1

1

dN2

N

N N

(Жертвы)

(LVM.2)

2

2

2

dt

1

В этих уравнениях отрицательно слагаемое, которое представляет

собой уход числа

хищников

пропорционально

1N1 .

Если бы такое

слагаемое было бы единственным в уравнении для

хищников,

то решение

уравнения

для хищников

показывало бы экспоненциальное

уменьшение

числа хищников со временем

t : N1 t N1 0 exp 1t ,

где

N1 0 -

количество

хищников

в

начальный

момент времени

t 0.

Такое

слагаемое,

имеющее отрицательный знак, называется слагаемым

«ухода»

в дифференциальном уравнении (LVM.1). Второе положительное слагаемое

0 в

уравнении

для

хищников

(LVM.1)

называется

слагаемым

Ситуация с жертвами похожая. Число жертв может увеличиваться

dN2

за счет того, что живут на неограниченных запасах пищи. При таком

dt

LVM.1)

совпадает со скоростью убыли количества

жертв.

Стационарное решение этой системы уравнений

dN1

0 ,

dN2

0

dt

dt

находим из уравнений

N1 N2 1 0 ;

N2 2 N1 0

Тривиальное решение этой системы уравнений

N1 N2 0

нас не

интересует. Другим стационарным решением является

решение

N

2

;

N

1

(LVM.3)

1

2

Сделаем замену переменных и вместо переменны

N1; N2 введем пару

переменных n1;n2

N1

n1

N2 n2

N1 t

2

n1 t

;

N2

t

1

n2 t .

(LVM.4)

Вместо

обычного времени

t

введем безразмерное время

t

;

t

1

(LVM.5)

t

0

2

0

Система

уравнений

(LVM.1)

и (LVM.2)

примет вид

dn1

1

2

1

n

1

n

«Хищники» (LVM.6)

d

2

dn2

2

«Жертвы» (LVM.7)

1

d

n

1 n

1

(LVM.8)

2

109

одну постоянную

1

в отличие от системы

(LVM.6)

и

(LVM.7),

в

2

которой

было три постоянных , 1, 2 . Физический смысл

постоянной

1

представляет

собой отношение двух

величин.

Постоянная

2

1

Рассмотрим

малые

отклонения

от

стационарных состояний:

n1 1 n1 ;

n2 1 n2 .

Пренебрегая

слагаемыми второго

порядка малости

n1 n2

получаем два уравнения

d n1

1

n2

(LVM.8)

d

2

d n2

n1

(LVM.9)

d

Дифференцируя соотношение (LVM.8) по

времени

и воспользовавшись

уравнением

(LVM.9) получаем замкнутое уравнение второго рода

для n1 :

d 2

n

1

n

0 . Решением

такого

простейшего

уравнения

будет

d 2

1

2

1

2

гармоническое колебание n1 n1

0 cos

1

n1

0 cos

.

2

T

Период

такого

колебания по

безразмерному

времени

равен

T 2

2

2

.

1

dn1

1 n1

dn2

n2 1

n

n

1

2

110

1

2

2

1

0

ln n

ln n

n

n

E .

(LVM.10)

Данная константа

E0 может

быть получена

из начальных условий

n1 0

и n2 0 .

1

2

2

1

0

ln n

0

ln n

0

n

0

n

0

E .

(LVM.11)

Выражая из формул (LVM.10) и (LVM.11) безразмерную константу

E0 ,

получаем,

что в любой момент времени

выполняется соотношение

ln

n1

ln

n2

2

2

0

0

1

1

n1 0

n2 0

n

n

n

n

0 . (LVM.12)

Численный расчет системы

двух дифференциальных уравнений (LVM.6) и

точностью 1 10 19

(число точек

XNumPoints=160000) показывает,

что

равенство

(LVM.11)

выполняется

с точностью

3 10 14 .

Величина

начального

шага HStep 10 5 .

Промежуток

интегрирования по

оси

безразмерного времени [0,10 ] . Решение

системы дифференциальных

уравнений для хищников n1 обозначено

тонкой линией, а

для жертв

n2 - толстой линией. Рядом с решением дифференциальных

уравнений

приведена фазовая траектория, в которой осью абсцисс X является величина

n1 , а осью ординат Y является величина

n2 .

Рис. LVM_2. Верхний рисунок: зависимость n1

(тонкая линия, хищники)

и n2 (толстая линия, жертвы) для

1

1. Начальные условия

2

n1(0) 1; n2 (0) 1.5. Нижний рисунок: фазовая диаграмма, в которой осью

абсцисс X является ось n1 , а

осью

ординат Y является ось

n2

Заметим, что при значение

1

1

количество как хищников,

2

Рис. LVM_3. Верхний рисунок: зависимость n1

(тонкая линия, хищники)

и n2

(толстая линия, жертвы) для

1

1. Начальные

условия

2

n1(0) 1;

n2 (0) 3. Нижний рисунок: фазовая диаграмма, в которой осью

абсцисс X является ось n1 , а осью ординат

Y является ось

n2

Рис. LVM_4. Верхний рисунок: зависимость n1

(тонкая линия, хищники)

и n2 (толстая линия, жертвы) для

1

1. Начальные условия

2

хищников

одинаково n1 0 1, а начальных

значения

числа жертв n2 0

различаются

и

соответственно

равны:

n2 0 =1.5 (красный

цвет);

n2 0 3 (зеленый цвет);

n2 0 5 (синий цвет).

Заметим, что движение по фазовой траектории осуществляется по

часовой

линии.

В

начальный

момент

времени

количество

жертв

n2 0 максимально, а

количество хищников все время равно

n1 0 1. В

последующие моменты количество хищников увеличивается

n1 1.

Заметим,

что

все кривые

LVM_2-LVM_5

были построены

для

значения

Рис. LVM_6. Верхний рисунок: зависимость n1

(тонкая линия, хищники)

и n2 (толстая линия, жертвы) для

1

3. Начальные условия

2

абсцисс X является

ось хищников n1

, а осью ординат Y

является

жертв

ось n2 .

Начальные условия

n1(0) 1;

n2 (0) 1.5.

Красным

цветом

изображена диаграмма, при которой

1

1. Зеленым цветом

2

изображена диаграмма, при которой

1

3.

2

116