Синергетика_Глава_2_03_Нелинейный маятник

2.3. Нелинейный маятник

Математический представляет собой материальную точку массы m , находящуюся на конце бесконечно тонкой металлической спицы длиной l , колеблющуюся в поле тяжести. Математический маятник представлен на рис. NMR_1. Целью этого параграфа будет нахождение зависимости от времени t угла отклонения t .

Рис. NMR_1. Математический маятник, колеблющийся в поле тяжести. Сила тяжести Fg mg , связанная с ускорением свободного падения g , направлена вниз.

Начальными условиями колебания математического маятника, мы будем считать следующие условия. В начальный момент времени 0 0 , где 0 − начальный угол отклонения. Начальная скорость маятника, выражающаяся через производную 0 , равна нулю 0 0. При

решении этой задачи мы рассмотрим случай больших начальных углов отклонений 0 1. Таким образом, начальные условия имеют вид

U mgl cos . Силы трения в данной задаче не учитываются, поэтому

полная энергия E K U математического маятника, представляющая собой сумму кинетической и потенциальной энергии сохраняется E const . В теоретической механике доказывается утверждение о том, что если потенциальное поле U не зависит от времени, то в таком потенциальном поле полная энергия системы сохраняется. Для иллюстрации этого

mx F x dU x dx

Умножая это равенство на x , получаем mxx x dUdx . Учтем, что

0 0, поэтому кинетическая энергия маятника в начальный момент

времени равна нулю. Следовательно в начальный момент времени t 0 энергия E равняется потенциальной энергией математического маятника в

59

такие обозначения, и, учитывая соотношения между интегралами

реальной ситуации нам нужно найти прямую функцию, которая бы

позволила нам найти зависимость угла отклонения маятника от времени

t .

Ответим на вопрос, как выглядит период колебаний математического маятника, если не предполагать, что углы отклонения малы 1. Период колебаний T математического маятника равен учетверенному времени

прохождения маятника от угла 0 ( 2 , (NMR.6)) до угла, равного нулю

0 ( 0 , (NMR.6)). В обычных единица времени период T колебаний математического маятника равен

Используя таблицу интегралов Двайта выпишем асимптотику полного эллиптического интеграла

62

известной формулой для периода колебаний маятника при малых углах

колебаний T может значительно отличаться от периода T0 .

Проверим полученное нами решение (NMR.5) в случае малых углов отклонения маятника. В этом случае, разложим подынтегральную функцию в ряд и ограничимся слагаемыми, имеющими второй порядок малости

Решение о колебаниях математического маятника при малых углах отклонения имеет вид

«Нелинейные колебания» А.П.Кузнецов, С.П.Кузнецов, Н.М.Рыскин, Москва, Ленард, 2020. Анализ такого графика действительно показывает, что период колебаний маятника при больших начальных углах отклонения приводит к том, что период колебаний становится больше. В таком случае колебание представляет собой суперпозицию многих гармоник, каждая из которых имеет собственную частоту (рис. 1_5_3).

В этой же книге приведен и спектр частот математического маятника при условии больших начальных отклонений 0 1 от положения равновесия. Такой спектр показывает, что при больших начальных отклонениях 0 1 форма колебаний значительно изменяется. Такая форма колебаний в значительной степени будет отличаться от простейшего закона колебаний 0 cos , справедливого лишь при малых углах отклонения 0 1.

64

безразмерного времени . Угловая координата маятника нормирована на

На рис. NMR_2 приведены три графика. Первый верхний график (a)

увеличении начального угла отклонения происходит увеличение периода колебаний. Форма колебаний становится отличной от простейшего закона0 cos , справедливого при 1. В спектре таких ангармонических

колебаний при больших углах отклонения 1 колебаний появляются высшие гармоники.

65

Рис. NMR_3. Спектр Фурье колебаний маятника в логарифмическом масштабе в зависимости от круговой частоты 2 f .

Заметим, что по оси ординат использован логарифмический масштаб и амплитуды гармоник A даны в децибелах. Цифрами обозначены номера гармоник, причем в спектре колебаний присутствуют только нечетные

значения отложены на графике спектральной мощности на наших графиках, характеризующих появление высших гармоник в спектре ангармонического

Часто при решении задач колебания маятника используют численные методы решения дифференциальных уравнений. Для численного решения этой задачи используют дифференциальные уравнения, которые являются следствием уравнений Лагранжа. Введем функцию Лагранжа, представляющую собой разность кинетической и потенциальной энергии

в задаче колеблющегося маятника (См. NMR.2)

67