Синергетика_Глава_2_03_Нелинейный маятник
.pdf
L , ml2 2 mgl cos .
2
Используем уравнения Лагранжа
|
d L |
|
L |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
|
|||||
|
|
|
|||||
Вводя вместо времени t безразмерное время |
t |
, где |
t |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
t0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
получаем дифференциальное уравнение второго порядка функции
(NMR.16)
(NMR.17)
l
g
(NMR.3)
относительно
d 2 |
sin 0 |
(NMR.18) |
d 2 |
К такому дифференциальному уравнению нужно поставить два начальных
условия, для начальных отклонения математического |
маятника |
||
0 0 , и начальной скорости математического маятника |
d |
| 0 0. |
|
d |
|||
|
|
||
В теории численного решения дифференциальных уравнений очень хорошо развита теория решения систем дифференциальных уравнения первого порядка, поэтому вместо одной искомой функции введем две искомых
функции X |
и Y |
d |
|
|||
|
. В таком случае |
уравнение второго |
||||
d |
||||||
порядка (NMR.18) превратится в систему двух уравнений первого порядка |
||||||
|
|
dX |
Y |
(NMR.19) |
||
|
|
d |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dY |
sin X |
(NMR.20) |
||
|
|
d |
||||
|
|
|
|
|
|
|
В такой системе двух дифференциальных уравнений начальные условия имеют вид X 0 0 ; Y 0 0 . Такая система двух дифференциальных
уравнения для функций X и Y легко поддается численному решению с помощь методов Рунге-Кутта. Переходя к переменным X и Y , закон сохранения энергии (NMR.2) имеет вид
68
cos X 0 cos X |
1 |
Y 2 0 . |
(NMR.21) |
2 |
Соотношение (NMR.21) может играть роль контроля точности при численном решении системы дифференциальных уравнений (NMR.19)- (NMR.20).
|
Выводы |
|
|
|
|
При малых колебаниях математического маятника, |
для которых начальные |
||||
углы отклонения |
малы 0 1 |
мы имеем |
функцию t , |
которая |
|
представляет собой |
гармоническое |
колебание |
с |
единственной |
частотой |
f f0 . При увеличении амплитуды колебаний в решении задачи о
колебании математического маятника перестает быть обычным гармоническим колебанием с единственной частотой. В спектре такого колебания появляются и колебания с другими частотами. Для анализа такого явления необходимо выполнить спектральное разложения сложного сигнала (NMR.10), который выражается через эллиптический интеграл
первого |
рода. При малых углах отклонения 0 |
1 движение маятника |
|||||||||||||
является |
гармоническим |
колебанием 0 cos . |
|
Для безразмерного |
|||||||||||
времени |
t / t0 период колебаний равен |
2 . Это означает, что настоящий |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
период, |
выраженный в |
секундах равен |
T |
|
2 |
l |
|
. При |
дальнейшем |
||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
увеличении начального |
угла отклонения |
|
0 |
1 |
|
период |
колебаний |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||||||
незначительно увеличивается T 2 |
|
|
1 |
|
0 ... . |
Такую поправку мы |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
g |
16 |
|
|
|
|
||||||
получили, изучая асимптотику полного эллиптического интеграла K k (NMR.12). Если мы будем и дальше увеличивать начальный угол 0 , то в этом случае период колебаний математического маятника также будет увеличиваться. При больших начальных углах отклонения 0 форма колебаний становится заметно отличной от простой формулы 0 cos ,
имеющей единственную гармонику с периодом, равным 2 . В этом случае говорят, что колебания являются ангармоническими. В спектре Фурье таких колебаний появляются кратные гармоники с другими частотами. Такое описание колебаний требует применения разложения Фурье (рис. NMR_3).
69