Синергетика_Глава_1_04_Преобразования Фурье

1.4. Преобразование Фурье непрерывных функций. Дискретное преобразование Фурье

1.4.1. Преобразование Фурье непрерывных функций

Рассмотрим систему ортонормированных комплексных функций K t вещественного аргумента времени t , заданных на интервале [0;T ] , где T – период наблюдения. Ортонормированная система функций удовлетворяет соотношению

где MK − символ Кронекера, * − значок комплексного сопряжения.

В качестве ортонормированной системы функций может быть рассмотрена

fK Kf0 – частота K -ой гармоники. В этом случае ортонормированность системы функций может быть представлена в виде

Для исследования стационарных случайных процессов часто используют спектральное разложение. В этом случае сложный сигнал зависящий от времени t , представляется в виде суперпозиции гармонических колебаний, каждое их которых имеет собственную частоту fK Kf0 Рассмотрим преобразования Фурье вещественной функции Z t , заданной на

Величины Z K , представляющие собой коэффициенты разложения сложного сигнала Z t по системе простейших гармонических колебанийK t {exp(2 iKf0t)}, определяются выражением

Для вывода формулы (FTR.4) необходимо использовать выражение для сигнала Z t (FTR.3), умножить на сопряженную собственную функцию exp( 2 iMf0t) , M 0, 1, 2, ...., разделить на период T и проинтегрировать по времени в интервале [0; T ] . В результате в правой части такого выражения необходимо учесть соотношение ортогональности для собственных функций

Z 2 – дисперсию функции Z t . Эти величины определяются следующим образом

37

Отметим, что согласно (FTR.8) мнимая часть нулевой Фурье-компоненты Y0 0, а среднее значение функции Z совпадает с вещественной нулевой

K 1

Используя ортонормируемость функций, представляющих собой гармонические колебания, можно доказать равенство Парсеваля, связывающее среднюю энергию сигнала с суммой всех Фурье-гармоник

которое в теории рядов Фурье называют уравнением замкнутости. Для вывода соотношения (FTR.13) необходимо в подынтегральном выражении

ортогональности собственных функций (FTR.2) и учесть соотношение

(FTR.5).

Введем в рассмотрение автокорреляционую функцию Czz (t)

38

Автокорреляционная функция показывает зависимость между значением функции Z t в момент времени t и значением функции Z t t в момент времени t t . Вычисляя автокорреляционную функцию Czz (t) , не стоит забывать о периодичности функции Z t Z t T вне интервала интегрирования. Кроме того, естественно, что пределы интегрирования в выражении (FTR.14) можно изменить на –T/2 и T/2 , так как и в этом случае интегрирование ведется по всему интервалу изменения функции. Заменяя

функция Czz (0) Czz t . Правда, такой вид она имеет лишь при условии, что

мощности сигнала, при этом Фурье-компонента корреляционной функции совпадает со спектром мощности сигнала Czz K PK . Четность функции

следующим образом:

39

Примеры простейших сигналов Z t и их спектров мощности представлены на рис. 2.1-2.4.

Если сигнал Z t является периодической функцией, то корреляционная функция Czz (t) также периодична с периодом T. В частности, для простой

формулу (FTR.15).

40

(б), и корреляционная функция Czz (t) в зависимости от времени в интервале

[0;T/2] (в)

На рис. FTR_1 спектр мощности показывает существование в сигнале единственной частоты f1 1 Гц. Корреляционная функция имеет такой же

период, как и сигнал Z t sin( 2 f1t) .

41

Рис. FTR_2. Сигнал Z t sin( 2πf1t) 0,2sin( 2πf2t) с частотой f1 1 Гц, f2 50 Гц, построенный в интервале времени [0;T], где T=1 с (а), спектр мощности PK сигнала в зависимости от частоты fK Kf0 , где K=1, 2, 3, ...,

f0 T1 (б) и корреляционная функция Czz (t) в зависимости от времени в интервале [0;T/2] (в)

На рис. FTR_2 спектр мощности имеет большой пик при частоте f1 1 Гц и небольшой пик при f2 50 Гц.

42

Рис. FTR_3. Сигнал Z t sin( 2 f1t) на интервале времени 0 <t <1 с, где f1 =13,5 Гц (а), нормированный спектр мощности в зависимости от частоты (б) и корреляционная функция Corzz t (в)

На рис. FTR.3 представлен эффект вытекания энергии спектральных составляющих (эффект «утечки»). Причина такой ситуации объясняется тем, что анализируемый сигнал Z t sin( 2πf1t), где f1 =13,5 Гц, на интервале времени 0 < t <1 c не содержит целого числа циклов периодической функции (частота исследуемого сигнала f1 не кратна целому значению Kf0 (f0 =1 Гц)). Из-за этого в спектре мощности сигнала появляются Фурье-компоненты на частотах 11-15 Гц, близких к истинной частоте сигнала f1 13,5 Гц.

43

Рис. FTR_4. Случайный сигнал Z(t)=Random−0,5 для любого момента времени 0< t < 1 с, где Random – хаотическое число, находящееся в интервале от нуля до единицы (а), нормированный спектр мощности (б) и корреляционная функция Corzz t (в)

На рис. FTR_4 Фурье-компоненты случайного сигнала представляют собой широкую полосу во всем диапазоне частот.

Если Z t – случайная функция, то с увеличением времени t значение Czz (t) стремится к нулю. Такое поведение Czz (t) свидетельствует о потере статистической взаимосвязи между значениями случайного процесса в различные моменты времени. Увеличение времени t приводит к тому, что

44

предыдущие значения функции забываются. Если случайный процесс не содержит иных детерминированных компонент, кроме ненулевого среднего, то корреляционная функция при t → ∞ стремится к квадрату среднего значения Czz (t ) Z 2 . Часто для того, чтобы определить, как быстро теряется взаимосвязь между значениями случайного процесса при увеличении времени t , вводят понятие времени корреляции. Стремление автокорреляционной функции к нулю часто не монотонное, а носит характер затухающих осцилляций, и для анализа такого поведения вводят в

рассмотрение огибающую автокорреляционной функции. Обычно время корреляции τc случайного процесса Z t определяется как время, в течение которого огибающая автокорреляционной функции снижается в e раз, где e – основание натурального логарифма. Иногда для оценки времени корреляции рассматривают значение времени τ, при котором корреляционная функция обращается в нуль. Естественно, чем меньше время корреляции, тем быстрее происходит «забывание» предыдущих значений функции Z t и случайный процесс становится более хаотичным.

1.4.2.Дискретное преобразование Фурье

Во многих экспериментах, вещественная функция z(t), задаваемая на интервале [0;T], известна лишь в виде таблицы, для которой N ее значений z(tn) = z(n) измерены в равноудаленных точках tn = n t, где n – целое число, которое меняется в интервале n=0, 1, 2…, N–1, а величина t – временной интервал дискретности сигнала. Число точек N в этом случае представляет собой число отсчетов наблюдаемой переменной z(n). Отметим, что основы теории дискретного преобразования Фурье изложены в [14], [20], [21]. Предположим, что вне интервала [0; tN–1] z(t) является периодической функцией с периодом T = N t, z(t) = z(t+T), поэтому вне интервала будем требовать выполнения условия z(n+N)=z(n), где n = 0, 1, .... Заметим, что в спектре сложного сигнала, наряду с основной частотой f0 = 1/T, существуют и кратные гармоники fk = k/(N t) с номерами k=2,3,….

Для сигналов z(t), заданных в качестве последовательности отсчетов z(n), где n=0, 1, ..., N–1 используется дискретное Фурье-преобразование, при котором величина z(n) выражается через соответствующие комплексные Фурье-коэффициенты Z(k)

45