Синергетика_Глава_1_04_Преобразования Фурье

Отметим, что величину P(k) = X2(k)+Y2(k) также называют спектром мощности дискретного сигнала. Иногда удобно значение спектра мощности P(k) разделить на < (Δz)2 >. В этом случае спектр мощности нормирован на единицу.

Сравнивая значения двух Фурье-коэффициентов X(k) и X(N–k) (FTR.24)-(FTR.25), а также Y(k) и Y(N–k), легко заметить, что между ними существуют следующие соотношения

Зависимости между Фурье-коэффициентами X(k) и Y(k) – следствие вещественности наблюдаемой переменной z(n) и приводят к тому, что число независимых Фурье-коэффициентов также становится равным N. Если число наблюдений N = 2k – четное, где k – любое целое число, то из выражения (FTR.25) следует, что Y(N/2) =0. Тогда N независимыми коэффициентами Фурье будут следующие величины (X(0), X(1), …, X(N/2), Y(1), …, Y(N/2–1)). Если число точек N нечетное (N=2k+1, где k – любое целое число), то N – независимыми коэффициентами будут величины (X(0), X(1), …, X(Int(N/2)), Y(1), Y(2), …, Y(Int(N/2)). В этом выражении символ Int означает целую часть числа. В любом случае, максимальный номер гармоники kmax можно анализировать, изучая диcкретное Фурье-преобразование N экспериментальных точек, равен kmax = Int(N/2), а максимальная частота fmax=Int(N/2)/(N t). Будем считать, что наибольшая частота анализируемого сигнала fmax=1/(2 t). Такая оценка совпадает с выводами теоремы Котельникова, утверждающей, что любую функцию z(t), спектр которой содержит частоты от нуля до fmax, можно представить отсчетами z(tn), следующими друг за другом через интервалы времени t =1/(2fmax). Нижняя граница fmin равна разрешению по частоте: fmin =1/T, где период сигнала T = N t. Частотный диапазон результатов спектрального анализа (fmin , fmax) часто называют шириной спектра. Свойства симметрии Фурье-коэффициентов X(k) и Y(k) (FTR.30), (FTR.31) позволяют представить разложение Фурье следующим образом:

для четного количества точек N = 2k

48

Автокорреляционную функцию, определяемую этим соотношением (FTR.36), иногда называют циклической (периодической), так как данная величина определяется исходя из условия, что функции z(n) периодически повторяются вне интервала n =0, 1, …, N–1, z(n)=z(n+N). Функция Сzz(m), введенная для дискретных отсчетов времени, определяет насколько взаимосвязаны между собой два значения сигнала в точках z(n) и z(n+m). Для автокорреляционной функции справедливо разложение Фурье

Для значения m = 0 автокорреляционная функция Czz(0) совпадает со средним значением квадрата дискретной величины z(n), Czz(0)=<z2>. Аналогично можно определить корреляционную функцию Cor(m), если учитывать отклонения значений z(n) и z(n+m) от своих средних значений < z

>

49

Между корреляционными функциями (FTR.37) и (FTR.38) существует следующая связь Сzz(m) = Cor(m) + < z >2.

Заметим, что в некоторых литературных источниках дискретное преобразование (FTR.19) определяется иначе. В формуле для разложения дискретной величины z(n) по Фурье-гармоникам Z(k) вводится множитель 1/N, а показатель экспоненты берется с противоположным знаком. Это, в свою очередь, приводит, к тому, что множитель 1/N пропадает в выражении для Фурье-компонент (FTR.20), причем в показателе экспоненты также меняется знак. Во многих численных пакетах множитель 1/N1/2 вводят симметричным образом, как в прямое, так и в обратное преобразование Фурье. На наш взгляд, определение Фурье-коэффициентов Z(k) с помощью (FTR.19) и (FTR.20) имеет преимущество, так как при таком выборе коэффициентов значения Z(k) имеют непосредственный физический смысл, например, < z >= X(0). Легко заметить, что, поменяв прямое преобразование Фурье на обратное, можно уяснить правила перехода между такими способами введения Фурье-коэффициентов. Кроме того, если использовать формулу прямоугольников для вычисления определенного интеграла от функции f(tn), заданной в равноотстоящих точках (a=0, b=T, tn=n t, n=0, 1, 2,…, N−1, T=N t), выражения для Фурье-коэффициентов дискретного преобразования (FTR.19) и (FTR.20) получаются из формул непрерывного преобразования Фурье:

При изучении непрерывного преобразования Фурье был упомянут так называемый эффект спектральной утечки. Этот эффект может быть связан с наличием разрывов на концах временного ряда из-за конечной длины записи. Такое явление возникает в случае, если анализируемый временной ряд не содержит целых циклов периодических компонент. Конечно, этот эффект может быть ослаблен, если увеличить число отсчетов, поскольку увеличивается спектральное разрешение. Кроме того, если разрывы на концах предварительно сгладить, то можно также уменьшить эффект утечки. Сглаживание разрывов достигается умножением временного ряда z(n) на функцию w (n)

50

Функция w(n) называется временным окном. В качестве простейшего примера часто используется прямоугольное окно w(n)=1, если n=0,1, ..., N–1. Применение временных оконных функций, а именно умножение временного ряда на функцию w(n) перед вычислением преобразования Фурье, позволяет снизить уровень боковых лепестков по сравнению с тем уровнем, который они имеют при использовании прямоугольного окна. Так, например, во многих расчетах, использующих дискретное преобразование Фурье, наряду с простейшим прямоугольным окном, применяется треугольное окно, окно Хемминга, окно Наттолла [21]. При исследовании сердечного ритма часто используют окно Ханна [21]. Его явное выражение имеет следующий вид

51