Курсовая работа / PZ
.pdf
Для получения амплитудных и фазовых диаграмм используются следующие формулы 2.17 – 2.18 соответственно.
|
|
|
|
|
|
|
= √ 2 |
+ 2 |
(2.17) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − atan |
|
(2.18) |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формулам 2.17 – 2.18 были выполнены расчеты первого значения вручную
|
= √ 2 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
= √0,4898292 + (−0,355811)2 = 0,605420 |
|||||||||
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − atan |
1 |
= − atan |
−0,355811 |
= 0,628224 |
||||
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
0,489829 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Далее значения амплитудный и фазовые спектры были рассчитаны с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.12.
Рисунок 2.12 – Вычисленные амплитудные и фазовые спектры
2.6 Представление аналогового сигнала интегралом Фурье
Интеграл Фурье — это представление непериодической функции f(x) в
21
виде интеграла, равного непрерывной сумме гармоник, зависящих от частоты ω на интервале [0; ∞).
При этом говорят, что непериодическая функция f(x) имеет непрерывный спектр; частоты образующих её гармоник изменяются непрерывно. Функции
A(ω) и B(ω) дают закон распределения амплитуд (и начальных фаз) в
зависимости от частоты ω и вычисляются по формулам 2.19 – 2.20
соответственно [4].
|
1 |
|
5 |
|
|
||
( ) = |
|
∙ ∫0 |
1( )cos ( ) |
(2.19) |
|||
|
|
|
|||||
|
|||||||
|
1 |
5 |
|
||||
( ) = |
∙ ∫0 |
1( )sin ( ) |
(2.20) |
||||
|
|
||||||
|
|
||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ∫ ( ) cos( ) + ( ) sin( ) |
(2.21) |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
По формулам 2.19 – 2.21 были выполнены расчеты первого значения вручную.
|
1 |
|
5 |
1 |
1 |
5 |
|||
(1) = |
∙ ∫ 1( ) cos( ) = |
∙ ∫ 1 ∙ cos(1 ) + ∫ |
1 ∙ cos(1 ) = |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
0 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
= −0,0823064 |
|
|
|||
|
1 |
5 |
1 |
1 |
5 |
|
|||
(1) = |
∙ ∫ 1( )sin ( ) = |
∙ ∫ 1 ∙ sin(1 ) + ∫ |
1 ∙ sin(1 ) = |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
0 |
3 |
|
||||
= −0,259091
Далее значения коэффициентов интеграла Фурье были рассчитаны с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.13.
22
Рисунок 2.13 – Вычисленный интеграл Фурье и его график
2.7 Спектральная плотность аналогового сигнала
Спектральная плотность сигнала, если он сформирован непосредственно во временной области, определяется обычным преобразованием Фурье по формуле 2.22 [4].
|
−∞ |
|
( ) = ∫ |
( ) ∙ − |
(2.22) |
∞
По формуле 2.22 были выполнены расчеты первого значения вручную
−∞ |
5 |
(1) = ∫ ( ) ∙ − = ∫ 1( ) ∙ − =
∞ |
0 |
1 |
5 |
= ∫ 1 ∙ − + ∫ 1 ∙ − = −0,258573 + 0,813957
0 |
3 |
Далее спектральная плотность сигнала была рассчитана с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.14.
23
Рисунок 2.14 – Спектральная плотность сигнала
2.7 Изображение по Лапласу аналогового сигнала
Преобразованием Лапласа от функции вещественной переменной называется функция (функция от комплексной переменной) вида,
представленная в формуле 2.23 [3].
|
−∞ |
|
( ) = ∫ |
( ) ∙ − |
(2.23) |
∞
Функцию ( ) называют оригиналом функции, а функцию S(p) называют её изображением. Комплексная переменная р называется оператором Лапласа.
[3].
По формуле 2.23 были выполнены расчеты первого значения вручную
−∞ |
5 |
(1) = ∫ ( ) ∙ − = ∫ ( ) ∙ − =
∞ |
0 |
1 |
5 |
= ∫ 1 ∙ − + ∫ 1 ∙ − = 0,67517
0 |
3 |
Далее изображение по Лапласу было рассчитано с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.15.
24
Рисунок 2.15 – Изображение по Лапласу
2.9 Взаимный энергетический спектр аналоговых сигналов 1 и 2
Взаимный энергетический спектр двух аналоговых сигналов,
спектральные плотности которых определяются функциями S1(ω) и S2(ω),
вычисляется при помощи формулы 2.24 [3].
12 |
̅̅̅̅̅̅̅̅ |
(2.24) |
= 1( ) ∙ 2( ) |
||
Для вычисления взаимного энергетического |
спектра сигналов, |
|
необходимо вычисление спектральной плотности каждого сигнала, расчет спектральной плотности первого сигнала представлен в пункте 2.7, а
спектральная плотность второго сигнала рассчитывается по формуле 2.25.
|
5 |
|
( ) = ∫ 2( ) ∙ − |
(2.25) |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
По формулам 2.25 и 2.24 были выполнены расчеты первого значения |
||
вручную. |
|
|
−∞ |
5 |
|
(1) = ∫ |
( ) ∙ − = ∫ 2( ) ∙ − = |
|
2 |
|
|
∞ |
0 |
|
5
= ∫ 1 ∙ − = −0,958924 − 0,716338
0
̅̅̅̅̅̅̅
12(1) = 1(1) ∙ 2(1) =
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (−0,258573 + 0,813957 ) (−0,958924 − 0,716338 ) =
25
= −0,33498 + 0,965726
Далее взаимный энергетический спектр и его график были рассчитаны с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.16.
Рисунок 2.16 – Взаимный энергетический спектр
2.10 Энергетический спектр аналогового сигнала
Энергетический спектр аналогового сигнала связан с его спектральной
плотностью посредством соотношения, представленного в формуле 2.26 [3].
1 |
̅̅̅̅̅̅̅̅ |
(2.26) |
= 1( ) ∙ 1( ) |
||
Спектральная плотность сигнала 1 была найдена в |
пункте 2.7. Для |
|
нахождения энергетического спектра необходимо подставить в формулу 2.26
спектральную плотность и комплексно-сопряженную к S(ω). По формуле 2.26
был выполнен расчет первого значения энергетического спектра вручную
̅̅̅̅̅̅̅̅ |
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ |
1 = 1( ) ∙ 1( ) = |
(−0,258573 + 0,813957 ) ∙ (−0,258573 + 0,813957 ) = |
|
= 0,728645 |
Далее энергетический спектр и его график были рассчитаны с помощью
26
математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.17.
Рисунок 2.17 – Энергетический спектр
2.11 Автокорреляционная функция аналогового сигнала
Для количественного определения степени отличия сигнала u(t) и его смещенной копии u(t-τ) принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ)
сигнала u(t), равную скалярному произведению сигнала и копии, формула которой представлена в выражении 2.27. Важное свойство автокорреляционной функции состоит в том, что при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергию сигнала [4].
∞ |
|
|
|
1( ) = ∫ |
( ) ∙ ( − ) |
|
(2.27) |
−∞ |
|
|
|
По формуле 2.27 был выполнен расчет нулевого значения |
|||
автокорреляционной функции аналогового сигнала вручную. |
|
||
∞ |
5 |
1 |
5 |
1(0) = ∫ ( ) ∙ ( − ) = ∫ ( ) ∙ ( − ) = ∫ 1 + ∫ 1 = 3 |
|||
−∞ |
−5 |
0 |
3 |
Далее автокорреляционная функция и ее график были рассчитаны с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.18.
27
Рисунок 2.18 – График автокорреляционной функции
2.12 Взаимная корреляционная функция аналогового сигнала
Взаимной корреляционной функцией (ВКФ) двух вещественных сигналов u(t) и v(t) называют функцию вида [4].
|
∞ |
|
|
|
|
12( ) = ∫ ( ) ∙ ( − ) |
|
(2.28) |
|
|
−∞ |
|
|
|
По формуле 2.28 был выполнен расчет нулевого значения взаимной |
||||
корреляционной функции вручную. |
|
|
|
|
∞ |
5 |
|
1 |
5 |
12( ) = ∫ |
( ) ∙ ( − ) = ∫ |
( ) ∙ ( − ) = ∫ 1 + ∫ 1 = 3 |
||
−∞ |
−5 |
|
0 |
3 |
Далее взаимная корреляционная функции и ее график были рассчитаны с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.19.
28
Рисунок 2.19 – График взаимной корреляционной функции
29
3 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Различие между дискретными и непрерывными (аналоговыми)
заключается в следующем основном свойстве: значения дискретного сигнала определены не для всех моментов времени, а лишь в счетном множестве точек.
Поэтому если аналоговый сигнал x(t) имеет математическую модель с обычными свойствами гладкой функции, то дискретный сигнал х(t) описывается последовательностью. Дискретные сигналы, естественно, возникают в тех случаях, когда источник сообщений выдает информацию в фиксированные моменты времени. Например, типичным дискретным сигналом являются сведения о температуре воздуха, передаваемые радиовещательными станциями несколько раз в сутки. Характерная черта дискретного сигнала проявляется здесь предельно ярко: в паузах между этими сообщениями никаких сведений,
касающихся описываемого объекта, нет [4].
Данная работа посвящена исследованию дискретных сигналов 3 и 4,
которые представлены на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1 – Сигнал 3 и сигнал 4
3.1Энергия дискретных сигналов
Вцифровой обработке сигналов в качестве энергии Еs дискретного сигнала применятся мера, представленная в формуле 3.1[5].
30