Курсовая работа / PZ
.pdf
2 ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ
Аналоговый сигнал – сигнал данных, у которого каждый из
представляющих параметров описывается функцией времени и непрерывным
множеством возможных значений.
2.1Математические модели аналоговых сигналов
Сматематической точки зрения сигнал можно описать некоторой функцией времени. Каждому значению функции соответствует единственное значение сигнала. [4]
Графики изначальных сигналов согласно варианту представлены на
рисунках 2.1 – 2.2.
Рисунок 2.1 – График сигнала x1
Рисунок 2.2 – График сигнала x2 11
Далее согласно заданию необходимо построить функцию Хевисайда.
Функция Хевисайда представляет собой ступенчатую функцию, которая равная нулю при t < 0 и единице при t ≥ 0 и определяется выражением 2.1.
0, |
при < 0 |
|
( ) = {1, |
при ≥ 0 |
(2.1) |
Первоочередно было составлено аналитическое описание сигналов, в виде линейной комбинации функций Хевисайда по формулам 2.2 – 2.3 для первого и второго сигналов соответственно.
1( ) = ( ) − ( − 1) + ( − 3) |
(2.2) |
2( ) = ( ) |
(2.3) |
С помощью составленного аналитического описания сигналов были построены графики сигналов, представленные на рисунках 2.3 – 2.4.
Рисунок 2.3 – Сигнал x1
Рисунок 2.4 – Сигнал x2
12
2.2 Энергия и норма аналоговых сигналов
Энергия и норма сигналов связаны соотношением в формуле 2.4 [3].
|
= ‖ ( )‖2 |
(2.4) |
|
|
|
Норма сигнала в линейном пространстве является аналогом |
длины |
|
векторов, и обозначается индексом ||s(t)|| - норма. При анализе сигналов обычно используются квадратичные нормы, описываемые формулой 2.5 [3].
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
‖ ( )‖ = √∫ |
2( ) |
(2.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|||
Далее по формуле 2.5 была рассчитана норма сигнала вручную |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
3 |
|
5 |
|
|||||
|
= √∫ 1( )2 = √∫ 12 + ∫ |
02 + ∫ 12 = 1,73205 |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
||||
|
|
2 |
= √∫ 2( )2 = √∫ |
12 = 2,23607 |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
Далее по формуле 2.4 была рассчитана энергия сигнала вручную |
||||||||||||
|
5 |
1 |
|
|
|
3 |
5 |
|
||||
|
= ∫ 1( )2 = ∫ 12 + ∫ 02 + ∫ 12 = 3 |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
3 |
|
||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
||
|
|
|
= ∫ 2( )2 |
= ∫ 12 = 5 |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||
Далее энергия сигнала и норма сигнала была рассчитана с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунках 2.5 – 2.6.
Рисунок 2.5 – Энергия и норма первого сигнала
Рисунок 2.6 – Энергия и норма второго сигнала
13
2.3Расстояние между аналоговыми сигналами
Всвою очередь норму пространства сигналов можно понимать как расстояние между выбранным элементом пространства и нулевым элементом и определяется формулой 2.9 [4].
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
( 1, 2) = √∫ |
|
( 1( ) − 2( ))2 |
(2.6) |
|||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||
Далее по формуле 2.6 было рассчитано расстояние между сигналами |
|||||||||
вручную. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
− ( ))2 |
|
|
|
|
( , |
) = √∫ ( ( ) |
= |
||||||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
5 |
5 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
||||||
= √(∫ 12 + ∫ 02 + ∫ 12 − ∫ 12 ) = 2 |
|||||||||
0 |
|
1 |
3 |
0 |
|
|
|
||
Далее расстояние между сигналами было рассчитано с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.7.
Рисунок 2.6 – Расстояние между сигналами
2.4 Разложение аналогового сигнала по ортогональной системе функций
Уолша
Функции Уолша и основанное на этих функциях преобразование обладает рядом свойств, например эти функции характерны тем, что на интервале своего существования [-Т/2, Т/2] они принимают лишь значения ± 1, которые отличаются лишь знаками. Также номер функции k равен числу перемен знака на интервале ее существования. Ряд Уолша будет иметь вид, представленный в
14
формуле 2.7. Формула 2.8 описывает расчёт коэффициентов разложения сигнала по ортогональной системе функций Уолша [4].
4
|
( ) = ∑ |
∙ |
( ) |
(2.7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
∫ ( ) ∙ |
( ) |
(2.8) |
|||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Далее по формуле 2.8 был произведен расчёт первого коэффициента разложения сигнала по ортогональной системе функций Уолша.
|
1 |
|
( ) ∙ |
( ) = |
1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
4 |
= |
|
∫ |
|
∫ 1 ∙ 1 + |
|
∫ 0 ∙ 1 + |
|
∫ 1 ∙ 1 = |
||
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
0 |
|
4 |
|
4 |
|
4 |
|
|
0 |
|
|
0 |
1 |
3 |
1 1
=4 ∙ 1 + 4 ∙ 1 = 0,5
Далее было выполнено разложение сигнала по ортогональной системе функций Уолша, с использованием первых четырех коэффициентов разложения,
рассчитанных с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.7.
15
Рисунок 2.7 – Разложение первого сигнала по системе функций Уолша
2.5 Анализ периодического продолжения аналогового сигнала
Было построено периодическое продолжение Сигнала 1 в математическом пакете Mathcad 15, что представлено на рисунке 2.8.
16
Рисунок 2.8 – Периодическое продолжение Сигнала 1
Далее необходимо найти разложение в тригонометрический ряд Фурье – представление произвольной функции S(t) с периодом T в виде ряда,
записанного в формуле 2.9 [4].
|
0 |
∞ |
|
|
2 ∙ |
|
2 ∙ |
|
|
( ) = |
+ ∑( |
|
cos ( |
) + sin ( |
)) |
(2.9) |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
=1
Коэффициенты разложения периодического Сигнала 1 по системе ортогональных тригонометрических функций можно посчитать по формулам
2.10-2.12.
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 = |
∙ ∫ ( ) |
|
(2.10) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
+ |
|
|
2 ∙ |
|
|
||||
|
= |
|
∙ ∫ |
( ) ∙ cos ( |
) |
(2.11) |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
+ |
|
2 ∙ |
|
|
|
||||
|
= |
∙ ∫ |
|
( ) ∙ sin( |
) |
(2.12) |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Далее по формулам 2.10 – 2.12 были рассчитаны первые коэффициенты разложения периодического сигнала вручную.
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
5 |
||
0 |
= |
∙ ∫ |
( ) = |
∙ (∫ 12 |
+ ∫ 02 |
+ ∫ 12 ) = 1,2 |
||||||||
|
5 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+ |
|
2 ∙ |
|
|
||
|
|
|
|
= |
∙ ∫ |
( ) ∙ cos ( |
) = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
||
|
2 |
|
1 |
|
2 ∙ |
|
|
|
3 |
|
|
2 ∙ |
5 |
|
|
2 ∙ 3,14 |
|||||||
= |
|
|
|
∙ (∫ 1 ∙ cos ( |
|
|
) + ∫ |
0 ∙ cos ( |
|
|
|
) + ∫ |
1 ∙ cos ( |
|
|
) ) |
|||||||
5 |
|
|
5 |
5 |
|
5 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0,489829 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ |
|
2 ∙ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∙ ∫ |
( ) ∙ cos ( |
) = |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 ∙ |
|
|
|
3 |
|
2 ∙ |
5 |
|
2 ∙ 3,14 |
|
|
|||||||
= |
|
|
∙ (∫ |
1 ∙ sin ( |
|
) + ∫ |
0 ∙ sin ( |
|
|
|
) + ∫ |
1 ∙ sin ( |
|
|
) ) |
||||||||
5 |
5 |
5 |
|
|
5 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
= −0,355811
Далее коэффициенты разложения периодического сигнала были рассчитаны с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.9.
Рисунок 2.9 – Коэффициенты разложения периодического сигнала
Следом был построен график функции для начального сигнала и тригонометрического ряда Фурье, что представлено на рисунке 2.10.
18
Рисунок 2.10 – График функции и тригонометрического ряда Фурье
Далее необходимо получить комплексную форму тригонометрического ряда Фурье. Разложение сигнала происходит по формулам 2.13 – 2.16 [3].
∞
|
|
( ) = |
|
∑ |
|
∙ ∆ |
|
(2.13) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
∙ ∫ ( ) |
∙ − ∆ |
|
(2.14) |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∆ = |
|
2 |
|
|
|
|
(2.16) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
По формулам 2.13 – 2.16 были выполнены расчеты первого значения |
||||||||||||||||||
вручную. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
0 |
= |
1,2 |
= 0,6 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
5 |
= |
||
∙ ∫ ( ) ∙ − ∆ = |
∙ ∫ ( ) ∙ − |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
2 |
5 |
|
2 |
|
|
∙ ∫ 1 ∙ − |
|
1 ∙ − |
||||
= |
5 |
+ ∫ |
5 = 0,244914 − 0,177941 |
||||
5 |
|||||||
|
0 |
|
3 |
|
|
Далее значения комплексной формы тригонометрического ряда Фурье были рассчитаны с помощью математического пакета Mathcad, что представлено на рисунке 2.11.
Рисунок 2.11 – Вычисленный ряд Фурье в комплексной форме
Совокупность амплитуд гармонических колебаний разложения называют амплитудным спектром сигнала, а совокупность начальных фаз – фазовым спектром. Оба спектра вместе образуют полный частотный спектр сигнала [4].
В спектральной диаграмме амплитуд – отображаются все составляющие со своими амплитудами и частотами. В спектральной диаграмме фаз – отображаются все составляющие со своими начальными фазами и частотами.
Любой сигнал имеет одну спектральную диаграмму амплитуд и одну спектральную диаграмму фаз, в составе которых может содержаться множество составляющих [3].
20