Лабораторная работа № 3 «Анализ и прогнозирование временных рядов»

Имеется временной ряд:

ВАРИАНТ
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2,69	3,56	4,40	4,59	4,62	4,69	4,74	4,89	5,00	5,24
3,08	4,04	5,04	5,34	5,30	5,34	5,31	5,55	5,56	5,95
3,52	4,57	5,78	6,21	6,08	6,06	5,96	6,30	6,18	6,75
4,03	5,17	6,62	7,22	6,99	6,89	6,69	7,14	6,88	7,67
4,62	5,86	7,58	8,40	8,02	7,84	7,51	8,10	7,65	8,71
5,28	6,63	8,69	9,77	9,21	8,91	8,42	9,19	8,50	9,89
6,05	7,51	9,95	11,37	10,57	10,12	9,45	10,43	9,45	11,23
6,92	8,50	11,41	13,22	12,14	11,51	10,60	11,83	10,51	12,75
7,93	9,62	13,07	15,37	13,93	13,08	11,89	13,42	11,69	14,48
9,07	10,89	14,97	17,88	15,99	14,86	13,34	15,22	12,99	16,44
10,38	12,33	17,15	20,80	18,36	16,89	14,97	17,26	14,45	18,66
11,89	13,96	19,65	24,19	21,08	19,20	16,79	19,58	16,06	21,19
13,60	15,80	22,52	28,13	24,20	21,82	18,84	22,21	17,86	24,06
15,57	17,89	25,80	32,71	27,78	24,81	21,14	25,19	19,86	27,32
17,82	20,25	29,56	38,05	31,89	28,19	23,71	28,58	22,08	31,02

Задание

1. Определить наличие у ряда тренда с выявлением типа процесса по его коррелограмме.

2. Оценить форму кривой выравнивания.

3. Получить расчетные коэффициенты (параметры) модели.

4. Проверить наличие или отсутствие автокорреляции остатков модели.

Решение типового примера

Пусть имеется временной ряд 4,72; 5,57; 7,45; 8,59; 9,52; 10,66; 12,65; 15,14; 17,05; 20,46; 23,03; 27,52; 31,72; 36,34; 42,59.

1. Коррелограммой называется график функции r_τ, где r_τ  выборочная автокорреляционная функция, значения которой ищутся по формуле:

.

При построении коррелограммы будем ориентироваться на то, что количество значений r_τ принято выбирать из условия τ ≤ n / 4. В нашем случае n = 15, откуда   n /4  4, поэтому нам предстоит вычислить r₁, r₂, r₃, r₄.

Ищем r₁ для τ = 1. Для удобства расчетов используем таблицу 5, в нижней строке которой поместим суммы по ее столбцам.

Таблица 5 – Вспомогательная таблица для расчетов

xt	xt+1			xtxt+1
4,72 5,57 7,45 8,59 9,52 10,66 12,65 15,14 17,05 20,46 23,03 27,52 31,72 36,34	5,57 7,45 8,59 9,52 10,66 12,65 15,14 17,05 20,46 23,03 27,52 31,72 36,34 42,59	22,2784 31,0249 55,5025 73,7881 90,6304 113,6356 160,0225 229,2196 290,7025 418,6116 530,3809 757,3504 1006,1584 1320,5956	31,0249 55,5025 73,7881 90,6304 113,6356 160,0225 229,2196 290,7025 418,6116 530,3809 757,3504 1006,1584 1320,5956 1813,9081	26,2904 41,4965 63,9955 81,7768 101,4832 134,8490 191,5210 258,1370 348,8430 471,1938 633,7856 872,9344 1152,7048 1547,7206
230,42	268,29	5099,9014	6891,5311	5926,7316

Таким образом, получаем:

.

Для вычисления r₂ заполним таблицу 6.

Таблица 6 – Вспомогательная таблица для расчетов

xt	xt+2			xtxt+2
4,72 5,57 7,45 8,59 9,52 10,66 12,65 15,14 17,05 20,46 23,03 27,52 31,72	7,45 8,59 9,52 10,66 12,65 15,14 17,05 20,46 23,03 27,52 31,72 36,34 42,59	22,2784 31,0249 55,5025 73,7881 90,6304 113,6356 160,0225 229,2196 290,7025 418,6116 530,3809 757,3504 1006,1584	55,5025 73,7881 90,6304 113,6356 160,0225 229,2196 290,7025 418,6116 530,3809 757,3504 1006,1584 1320,5956 1813,9081	35,164 47,8463 70,924 91,5694 120,428 161,3924 215,6825 309,7644 392,6615 563,0592 730,5116 1000,0768 1350,9548
194,08	262,72	3779,3058	6860,5062	5090,0349

Таким образом, получаем:

.

Аналогично вычисляем r₃ = 0,997; r₄ = 0,996.

Так как выборочная автокорреляционная функция r_τ медленно убывает, то таким же образом ведет себя и коррелограмма. Этот факт говорит о нестационарности временного ряда, поэтому можно предположить, что у этого ряда имеется тренд среднего уровня (точнее, имеется тренд у математического ожидания этого ряда).

2. Оценим форму кривой тренда. Для этого построим корреляционное поле (рис. 2).

Рисунок 2 – Корреляционное поле ряда

Форма корреляционного поля указывает на две наиболее возможные зависимости:

x_t = a + bt (b > 0),

x_t = a*exp(bt) (b > 0).

Критерием выбора зависимости является в данном случае проверка выполнения условий:

,

.

Если по результатам вычислений будет принято первое из этих условий, то выберем линейную модель тренда. В противном случае выберем экспоненциальную модель.

Имеем для первого условия

, ,…,

.

В результате получили

{0,85; 1,88; 1,14; 0,93; 1,13; 1,99; 2,49; 1,90; 3,41; 2,57; 4,49; 4,20; 4,67; 6,25}.

Имеем для второго условия

.

В результате получили:

{0,17; 0,29; 0,14; 0,10; 0,11; 0,17; 0,18; 0,12; 0,18; 0,12; 0,18; 0,14; 0,16}.

Для экспоненциальной зависимости равенство более приемлемо, чем для линейной, поэтому выбираем экспоненциальную модель тренда.

3. Оценим параметры a и b выбранной модели, решив систему нормальных уравнений МНК, которая для рассматриваемого случая имеет вид:

Вычисляем необходимые суммы:

,

в результате чего получаем систему:

Решаем ее, например, по формулам Крамера. Тогда:

.

Замечание. В проведенных вычислениях по решению системы нужно оставлять максимально возможное количество десятичных знаков в промежуточных результатах.

Итак, получили модель тренда:

x_t = 4,353*exp(0,153*t),

которая графически представлена на рисунке 3.

4. Проверим правильность выбора полученной модели на основе поведения ряда остатков. Модель считается правильной в случае отсутствия автокорреляции остатков. Такую модель можно в дальнейшем использовать как инструмент точечных и интервальных прогнозов.

Одним из наиболее простых и достаточно надежных критериев определения автокорреляции остатков является критерий Дарбина-Уотсона. Статистика этого критерия имеет вид:

.

Рисунок 3 – Модель тренда

Эта статистика заключена в пределах от 0 до 4. При отсутствии автокорреляции d ≈ 2. При полной положительной автокорреляции d ≈ 0. При полной отрицательной автокорреляции d ≈ 4.

Для d-статистики найдены верхняя (upper) d_u и нижняя (low) d_l критические границы на различных уровнях значимости.

Если фактически наблюдаемое значение d:

a) d_u < d < 4 – d_u, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;

б) d_l ≤ d ≤ d_u или 4 – d_u ≤ d ≤ 4 – d_l, то вопрос об отвержении или принятии гипотезы остается открытым;

в) 0 < d < d_l, то принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции;

г) 4 – d_l < d < 4, то принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции.

Ниже приведен фрагмент таблицы значений статистик d_l и d_u критерия Дарбина-Уотсона при уровне значимости α = 0,05 (табл. 7).

Таблица 7 – Фрагмент таблицы значений статистик d_l и d_u критерия Дарбина-Уотсона при уровне значимости α = 0,05

Число наблюдений n	Число объясняющих переменных p = 1
	dl	du
15	1,08	1,36
20	1,20	1,41
25	1,29	1,45
30	1,35	1,49
50	1,50	1,59

Зададимся уровнем значимости α = 0,05 и приступим к проверке наличия автокорреляции остатков для рассматриваемого временного ряда по полученной модели тренда:

x_t = 5,353*exp(0,153*t).

Расчет сумм, необходимых для вычисления d-статистики приводим в таблице 8.

Таблица 8 – Вспомогательная таблица для расчетов

t	xt
1	4,72	5,073	-0,353		-	-	-
2	5,57	5,911	-0,341		-0,353	0,120	0,116
3	7,45	6,889	0,561		-0,341	-0,191	0,315
4	8,59	8,027	0,563		0,561	0,316	0,317
5	9,52	9,355	0,165		0,563	0,093	0,027
6	10,66	10,901	-0,241		0,165	-0,040	0,058
7	12,65	12,703	-0,053		-0,241	0,013	0,003
8	15,14	14,804	0,336		-0,053	-0,018	0,113
9	17,05	17,251	-0,201		0,336	-0,067	0,040
10	20,46	20,103	0,357		-0,201	-0,072	0,127
11	23,03	23,426	-0,396	0,357		-0,141	0,157
12	27,52	27,299	0,221	-0,396		-0,087	0,049
13	31,72	31,813	-0,093	0,221		-0,020	0,009
14	36,34	37,072	-0,732	-0,093		0,068	0,536
15	42,59	43,201	-0,611	-0,732		0,447	0,373
						0,421	2,240

Вычисляем d-статистику:

.

Обратившись к таблице 7 для n = 15, получаем d_u = 1,36; 4 – d_u = 2,64, откуда видно выполнение условия d_u < d < 4 – d_u, то есть можно сделать вывод об отсутствии автокорреляции остатков и о том, что модель тренда выбрана правильно.