46. Коэффициент частной детерминации

В множественном регрессионном анализе часто полезно определять долю тех изменений, которые в данном явлении зависят от одного фактора-переменного при исключении влияния остальных рассматриваемых в регрессии переменных. Для этого используется коэффициент частной детерминации. Ограничимся обсуждением коэффициента частной детерминации для случая двух объясняющих переменных.

Для оценки доли вариации у, объясняемой линейной зависимостьюуотх₁при исключении влияниях₂, вычисляется коэффициент частной детерминации, индекс которого указывает на эту зависимость. При этом получаем значения переменных с исключением эффекта от влияниях₂:

и

(27)

причем

и

(28)

Воспользуемся методикой определения коэффициента детерминации для простой линейной регрессии применительно к значениям (28) и (27). Используя формулу (10) из раздела 2, после некоторых преобразований с учетом того, что , получим выражение коэффициента частной детерминации:

(29)

После дополнительных преобразований

(30)

Таким образом, коэффициент частной детерминации определяется по коэффициентам парной детерминации. С помощью формулы (29) или (30) устанавливается доля вариации, обусловленная зависимостью переменной уотх₁при исключении влияниях₂. Отсюда становится очевидным отличие коэффициента частной детерминации от коэффициента множественной детерминации. Они имеют различное содержание и не заменяют друг друга.

Формулу (29) путем соответствующих преобразований можно привести к такому виду, который позволяет находить коэффициент частной детерминации непосредственно по эмпирическим данным. Вообще целесообразнее вычислять коэффициент частной детерминации по соответствующим коэффициентам частной корреляции.

47. Коэффициент детерминации между объясняющими переменными

Для решения системы нормальных уравнений очень важно знать соотношения между объясняющими переменными x_k. Используя понятие коэффициента детерминации, введем меру зависимости этих переменных между собой. Обозначим черезкоэффициент детерминации, характеризующий степень обусловленностиk-й объясняющей переменной остальными объясняющими переменными, входящими в данную регрессию.

Укажем формулу для вычисления коэффициента детерминации между объясняющими переменными. Для ее вывода исходят из матрицы дисперсий и ковариаций объясняющих переменных :

(31)

где - дисперсия объясняющей переменнойx_k,апри- ковариация объясняющих переменныхx_k и x_l. Умножив каждый элемент (31) наn-1, получим матрицусумм квадратов отклонений и произведений отклонений:

(32)

где , а. Матрицу, обратную к, обозначим через:

(33)

Коэффициент детерминации между объясняющими переменными вычисляется по формуле

(34)

где и— элементыk-й строки иk-гo столбца матрицисоответственно.

Пример.

Вернемся к примеру с тремя объясняющими переменными из приложения Б. Построим следующие матрицы:

(Элементы матрицы указаны с округлением.) По (34) получим:

В силу того что величина коэффициента детерминации между переменными также заключена в пределах от 0 до 1, результаты вычислений отражают небольшую зависимость между объясняющими переменными.

Различные коэффициенты детерминации не могут быть единственным критерием оценки регрессии. Неосторожное их использование может привести к ошибочным заключениям. Например, если эмпирические данные представляют собой временной ряд или между переменными существуют не только непосредственные, но и многообразные косвенные связи, то применение коэффициента детерминации становится весьма проблематично. Поэтому далее мы еще будем обсуждать способы оценки точности подбора функции регрессии.