23. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции.

24. Нелинейные модели регрессии. Множественная нелинейная регрессия

Несколько явлений могут быть соединены между собой нелинейными соотношениями. В этом случае для описания зависимостей сле­дует воспользоваться множественной нелинейной регрессией. Здесь также различают множественную нелинейную регрессию первого и второго классов. Все рассуждения, приведенные в разделе 5.1, относи­тельно этой проблематики имеют силу и для данной регрессии.

Исходя из логических соображений процедура построения урав­нения множественной нелинейной регрессии должна быть аналогична процедуре определения простой нелинейной регрессии. Рассмотрим следующий пример квазилинейной регрессии, ограничившись двумя объясняющими переменными:

(1.30)

Если профессионально-теоретический анализ экономического явле­ния позволяет функции от объясняющих переменных представить в виде

(1.31)

и

(1.32)

то зависимость (1.30) выражается так:

(1.33)

Применяя метод наименьших квадратов, находят параметры а, Ь_1, с₁ ..., d₂. Но в этом случае уравнение (1.33) можно относительно про­сто свести к линейному виду, обозначив ,,и.Ограничившись только этим указанием, мы не будем за­писывать уравнение в линейной форме.

Задачей множественной линейной регрессии является построение линейной модели связи между набором непрерывных предикторов и непрерывной зависимой переменной. Часто используется следующее регрессионное уравнение:

(1)

Здесь а_i - регрессионные коэффициенты, b₀ - свободный член(если он используется), е - член, содержащий ошибку - по поводу него делаются различные предположения, которые, однако, чаще сводятся к нормальности распределения с нулевым вектором мат. ожидания и корреляционной матрицей .

Такой линейной моделью хорошо описываются многие задачи в различных предметных областях, например, экономике, промышленности, медицине. Это происходит потому, что некоторые задачи линейны по своей природе.

25. Логарифмические модели

Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой (степенная зависимость от X)

где во и в1 — параметры модели (константы, подлежащие определению), є — случайный член.  Эта функция может отражать зависимость спроса Y на благо от его цены X (в данном случае в lt; 0 ) или от дохода X (в данном случае вgt; 0 ; при такой интерпретации переменных X и Y функция (8.1) называется функцией Энгеля). Функция (8.1) может отражать также зависимость объема выпуска Y от использования ресурса X (производственная функция), в которой 0 lt;в lt; 1, а также ряд других зависимостей.  Модель (8.1) не является линейной функцией относительно X. Стандартным и широко используемым подходом к анализу функций данного рода в эконометрике является логарифмирование по основанию e = 2,71828... Прологарифмировав обе части (8.1), имеем логарифмическую модель:

которая является линейной в логарифмических переменных. 

Линейная модель (8.3) подробно рассмотрена ранее. Если все необходимые предпосылки классической линейной регрессионной модели для (8.3) выполнены, то по МНК можно определить наилучшие линейные несмещенные оценки коэффициентов во и в1 .  Параметры модели (8.3) оцениваются по обычным формулам парной регрессии с учетом замены переменных:  

Здесь b0 — оценка параметра в0, b1 — оценка параметра Д1.  Очевидно, оценка параметра в0 равна b0 = ebo = exp(b0).  Отметим, что коэффициент в1 определяет эластичность переменной Y по переменной X, т. е. процентное изменение Y для данного процентного изменения X. Действительно, продифференцировав левую и правую части (8 3) по X получим' 

Коэффициент в является константой, указывая на постоянную эластичность. Поэтому зачастую двойная логарифмическая модель (или модель (8.1) называется моделью постоянной эластичности.  Заметим, что в случае парной регрессии обоснованность использования логарифмической модели проверить достаточно просто. Вместо наблюдений (x,,y,) рассматриваются наблюдения 

{lnxi,lnyi)i = 1,2,..., п. Вновь полученные точки наносятся на  корреляционное поле. Если их расположение соответствует прямой линии, то произведенная замена удачна и использование логарифмической модели обосновано.  Пример 8.1. Пусть имеются следующие данные (табл. 8.1).  Данные для анализа степенной модели

X	5	6	7	4	8	1	3	10	9	2
Y	3,2	3,5	3,7	3,0	3,7	1,6	3,0	4,0	3,9,	2,5

Если рассматривать линейную модель, то получим результат, представленный на рис. 8.1. Если рассмотреть степенную модель и прологарифмировать обе переменные, то получим результат, представленный на рис. 8.2. 

1пХ  Рис 8.2. Степенная модель (линейная в логарифмах)  Таблица 8.2  Расчетная таблица для определения параметров степенной модели

Х	У	Х = ln Х	У* = ln у	Х*2	* * Ху
5	3,2	1,6094	1,1632	2,5903	1,872
6	3,5	1,7918	1,2528	3,2104	2,2446
7	3,7	1,9459	1,3083	3,7866	2,5459
4	3	1,3863	1,0986	1,9218	1,523
8	3,7	2,0794	1,3083	4,3241	2,7206
0,5	1,6	-0,6931	0,47	0,4805	-0,326
3	3	1,0986	1,0986	1,2069	1,2069
10	4	2,3026	1,3863	5,3019	3,1921
9	3,9	2,1972	1,361	4,8278	2,9904
2	2,5	0,6931	0,9163	0,4805	0,6351
2		14,411	11,363	28,131	18,605

1=              \l              —              L              /  Данная модель легко обобщается на большее число переменных. Например,

Здесь коэффициенты вь ві являются эластичностями переменной Y по переменным Х1 и Х2 соответственно.  Хорошо известна производственная функция Кобба-Дугласа: 

(здесь не указан случайный член, но должен входить в модель мультипликативно).  После логарифмирования обеих частей получим: 

Здесь а, в — эластичности выпуска по затратам капитала и труда соответственно. Сумма этих коэффициентов является таким важным экономическим показателем, как отдача от масштаба. При а + в = 1 говорят о постоянной отдаче от масштаба (во сколько раз увеличиваются затраты ресурсов, во столько же раз увеличивается выпуск). При а + в lt;1 имеет место убывающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска меньше увеличения затрат ресурсов). При а + вgt;1— возрастающая отдача от масштаба (увеличение объема выпуска больше увеличения затрат ресурсов).  В общем случае степенная модель множественной регрессии имеет вид: 

Она преобразуется в линейную модель после логарифмирования.