21. Множественная корреляция.

Как многократно подчеркивалось, в практике социально-эконо­мических исследований чаще всего встречаются сложные взаимосвязи между явлениями. Отсюда возникает задача определения интенсив­ности, или тесноты, связи между более чем двумя явлениями (перемен­ными). Для этой цели используется коэффициент множественной кор­реляции, или совокупный коэффициент корреляции, который харак­теризует тесноту связи одной из переменных с совокупностью других.

Рассмотрим вначале корреляцию между тремя переменными. По аналогии с формой записи коэффициента множественной детерминации” обозначим коэффициент множественной корреляции через r_y∙12

Он показывает интенсивность связи при условии, что переменная i одновременно зависит от переменных х₁ и х₂. В предположении линей­ной связи между переменными мы можем исходя из коэффициента детерминации (3.)

(2.34)

с учетом (= - коэф. кореляции) записать:

(2.35)

Далее обратимся к (2.36):

() +() (2.36)

Подставим (2.36) в (2.35):

(2.37)

Разделив числитель и знаменатель (2.37) на и учитывая выра­жения дисперсий и , а также ковариации s₁₂, получим

(2.38)

Применив формулы (2.28), (2.29) и (2.4), после соответствующих сокращений получим

(2.39)

Умножим первое из уравнений (2.31) на b₁’, а второе — на b₂’. Затем

сложим правые и левые части этих уравнений:

(2.40)

Правые части равенств (2.39) и (2.40) равны. Отсюдa

(2.41)

или

(2.42)

Учитывая теперь (2.26) и (2.27), получим формулу коэффициентамножественной корреляции в виде, очень удобном для практических вычислений:

(2.43)

Из (2.43) видно, что коэффициент множественной корреляции заключен в пределах0 ≤≤ 1.

С помощью коэффициента множественной корреляции нельзя сде­лать вывод о характере взаимосвязи, т.е. о положительной или отри­цательной корреляции между переменными. Только если все коэффициенты парной корреляции имеют одинаковый знак, то можно этот знак отнести также к коэффициенту множественной корреляции и утверждать о соответствующем характере множественной связи. Чем больше значение коэффициента приближается к единице, тем взаимо­связь сильнее. Легко увидеть, что (2.43) для случая r₁₂= 0 принимает вид

=+(2.44)

Итак, если объясняющие переменные х₁ и x₂ не коррелированы, т. е. связь между ними отсутствует, то квадрат коэффициента множест­венной корреляции равен сумме квадратов коэффициентов парных кор­реляций. Другими словами, он равен сумме интенсивности взаимосвя­зи между у и х₁ , а также между у и х₂. Следовательно, при некоррели­рованности объясняющих переменных анализ взаимосвязи облегча­ется.

Коэффициент множественной корреляции используется, кроме того, как показатель точности оценки функции регрессии, по нему можно судить, достаточно ли выбранные объясняющие переменные обуслов­ливают количественную вариацию зависимой переменной. Если ко­эффициент множественной корреляции, который, как мы покажем да­лее, тесно связан с коэффициентом множественной детерминации, при­нимает значения, близкие к 1, то вариация зависимой переменной почти полностью определяется изменениями объясняющих перемен­ных. Включенные в анализ объясняющие переменные оказывают силь­ное влияние на зависимую переменную.

Коэффициент множественной корреляции не меньше, чем абсолют­ная величина любого коэффициента парной и частной корреляции с та­ким же первичным индексом. Это справедливо независимо от того, существует между объясняющими переменными причинная связь или нет. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого утверждения.

Выражение коэффициента множественной корреляции для любого числа объясняющих переменных можно получить путем обобщения (2.42):

(2.45)

Используя матричную форму записи (2.32) и обобщая формулу (2.43), получим

= r’ R^-1 r . (2.46)