Практика 1

место следующие соотношения: 1)

a b

a b

; 2)

a b

a b

;

a b

a b

3). Аналогично, при выполнении условия

угол a,b

−

2

Вектор c AB ,

1

5

4

следовательно,

c AB

;

;

,

0

;

21

21 21

, 63

и c { 3;15;12}.

c

1 25 16

42 . Тогда

42

3

42

21

21

21

Пример 4.

Проверить,

что точки A 3; 1;

2 ,

B 1; 2; 1 , C 1;1; 3 ,

D 3; 5; 3

являются вершинами трапеции.

11

3

1

2

11 3 1 2 2 3,

6

1

2

2

1

3

1

2

3,

, или 6 2 1

5

1

2

3

5 2 3 .

1

2

3

3

1

2

3

1

1

( 1)

2

1

2

2

1

3 5 6 8;

2

1

1

1

2

3

2

3

1

3

1

2

11

1

2

1

6

1

1

33 5 24 10 22 18 48 64 16;

5

2

3

3

11

2

2

2

6

1

54 11 20 12 15 66 77 101 24;

1

5

3

3

1

11

3

2 1

6

15 6 44 11 36 10 65 57 8;

1

2

5

Тогда

1

2 ;

2

3 ,

3

3

1

и q 2a 3b c .

1

2

Примеры для самостоятельного решения

1).

При каком значении векторы AB и AC будут коллинеарны, если

A 1, 2,3 , B , 1,2 , C 3, 4,5 ?

Ответ: 0.

2).

Дан вектор a 6i 4j 7k . Найти вектор b , параллельный вектору

3).

Даны точки A 1, 2,0 ,

B 0,1, 4 , C 1,0,1 . На оси Ox найти точку

D так, что AB CD.

Ответ: D(3;0;0).

4).

В равнобедренной трапеции ABCD нижнее основание AD a, боковое

a и b остальные стороны и диагонали трапеции.

|a| |b|

|b|

Ответ:

BD b a,

BC

a,

CD

a b,

|a|

|a|

|a| |b|

BC

a b.

1).

a,b c a b,c 0. Так как векторы a,b, c -

ненулевые, то из усло-

вий

a,b 0

и b,c 0

следует, что a b

и b c .

2).

a,b c a b,c 0. Так как a,b c ||c, a b,c ||a, то c||a .

Пример 2.

Даны

вершины

треугольника

ABC:

A 5; 3; 0 ,

B 9; 12; 1 ,

C 11; 6; 2 . Найти угол при вершине A треугольника ABC.

Решение.

a

b

Известно, что

cos cos a ^b

.

B

a

b

Найдем

a AB {4; 9; 1},

b AC {6; 3;2;}

a

(рис.3):

φ

a

b

16 81 1

98;

36 9 4 7.

A

b

C

Тогда

Рис. 3

cos

4 6 ( 9) ( 3) ( 1) 2

49

7

1

,

.

98 7

7

98

7

2

2

4

Пример 3.

Из вершины O квадрата проведены прямые, делящие противополож-

ные стороны пополам. Найти косинус угла меж-

ду этими прямыми.

y

Решение.

Выберем прямоугольную систему коорди-

A

M

C

нат так, как показано на рис. 4. Пусть сторона

квадрата равна a. Тогда точки A, B,

M, N и век-

a

φ

N

торы OM и ON имеют следующие координаты:

0

a

B

x

a

a

A(0;a),

B(a;0),

M

;a ,

N a;

,

2

2

Рис.4

a

a

OM

;a

, ON

a;

.

2

2

a2

a2

a2

Получим: cos

OM ON

2

2

4

.

OM

ON

a2

2

2

a2

a 5

a 5 5

a

a

2

2

4

4

Пример 4.

Параллелограмм

OBCA построен

на

векторах

OA i j 2k и

OB 2i 6j 4k. Точка M – середина стороны AC (рис.5). Найти пр OC .

OM

Решение.

Найдем

векторы:

OC OB OA 3i 7 j 6k ,

или

1

1

OC {3; 7;6},OM

OA AM

OA

AC OA

OB

2

2

2i 4j 4k,

или

OM 2; 4;4 .

Тогда

OC OM

6 28 24

58

29

B

C

пр OC

.

OM

OM

4 16 16

6

3

M

O

Рис.5

A

условию x a 18.

Решение.

Искомый вектор x коллинеарен вектору a, следовательно,

x a. По

2

18

18

условию x a 18 . Тогда x a a,a

a

18

3.

2

4 1 1

a

Искомый вектор x 3a 6; 3; 3 .

c 6a b на ось l,

составляющую с координатными осями OX, OZ углы

α=60˚, γ=120˚, а с осью OY острый угол β.

Решение.

Пусть

0

оси

l.

Тогда

пр c пр 0 c;

0

l

─ орт

l cos ;cos ;cos ;

l

l

cos2 cos2 cos2 1 cos2 1 cos2 cos2 ;

cos2 1

1

1

1

;

4

4

2

1

1

0

1

1

1

cos

.

Так

как

,

то

cos

и l

;

;

;