Измерение больших радиусов кривизны сферических поверхностей

Автоколлимационный метод измерения больших радиусов кривизны основан на фокусировке зрительной трубы, осуществляемой перемещением ее окуляра. При этом фокусное расстояние объектива автоколлимационной зрительной трубы должно быть точно известно.

Рисунок 3. Измерение больших радиусов кривизны сферических поверхностей с помощью автоколлимационной зрительной трубы

Пусть на рис.3 точка F₁ - задний фокус объектива О автоколлимационной трубы, установленной на бесконечность по удаленному рис.3 Измерение больших радиусов кривизны сферических поверхностей с помощью автоколлимационной зрительной трубы предмету или методом автоколлимации путем совмещения перекрестия с его автоколлимационным изображением, полученным при отражении лучей от плоского зеркала П, поставленного перед объективом трубы. Заменяя плоское зеркало испытуемой деталью с выпуклой сферической поверхностью S и перемещая окуляр, фокусируют трубу на резкое видение автоколлимационного изображения перекрестия от поверхности S испытуемой детали. В этом случае пучок лучей, выходящий из объектива трубы, падает на поверхность детали нормально и, отражаясь от нее, в обратном направлении идет из центра сферы (точка С). По шкале и нониусу окуляра определяют величину смещения от положения установки на бесконечность z'. Учитывая правило знаков, принятое в геометрической оптике, из рис.3 находим

где z - расстояние от переднего фокуса f объектива до центра сферы - точки С;

f - переднее фокусное расстояние объектива автоколлимационной трубы;

R - радиус кривизны сферической поверхности;

d - расстояние от вершины сферической поверхности до передней главной плоскости объектива.

Для практических целей достаточно измерить расстояние d между вершиной сферической поверхности и внешней поверхностью объектива. Применяя формулу Ньютона и подставляя в нее выражение, находим

откуда для выпуклой сферической поверхности имеем

При измерении радиуса кривизны вогнутой сферической поверхности окуляр нужно вдвинуть на величину z, тогда формула принимает вид

где z'<0. При измерении очень больших радиусов кривизны значениями d и f в формулах можно пренебречь, тогда

Величина 𝑧′ определяется точно также, как и в случае измерения расстояния до объекта с помощью зрительной трубы по формуле.

Точность определения R зависит от погрешностей фокусировки трубы на автоколлимационные изображения и погрешностей отсчетов по шкале и нониусу механизма перемещения окуляра.

Ход работы

1. Ознакомившись с конструкцией автоколлимационной зрительной трубы, произвели наводку трубы на бесконечность и на удаленный объект. Определили 𝑛^∞ и 𝑛^𝑧. Исходные данные, а также данные измерений представлены в таблице 1, 2.

2. Данные для расчета расстояния от зрительной трубы до объекта наблюдения.

Параметры объектива F = 430 мм;

D = 50 мм.

Данные по измерению 𝑛^∞ - положение при фокусировке на бесконечность.

Таблица 1. Результаты измерений

№ измерения	𝑛∞, мм
1	14,6
2	14,2
3	14,0
4	14,1
5	13,9
6	13,9
Среднее	14,12

Данные по измерению 𝑛^z – положение при фокусировке на объект.

Таблица 2. Результаты измерений

№ измерения	𝑛z, мм
1	43,0
2	43,3
3	42,9
4	42,8
5	43,0
6	42,7
Среднее	42,95

3. Определить расстояние до удаленного объекта. Рассчитать погрешность измерения.

4. Рассчитали погрешность измерения расстояния до удаленного объекта. Произвели расчет погрешности прямых и косвенных измерений. Для данной работы прямыми измерениями являются отсчеты по нониусной шкале при наводке трубы на бесконечность 𝑛^∞ и на объект 𝑛^𝑧.

Определили среднеквадратичную погрешность для среднего арифметического, данные для расчета возьмем из таблицы №1.

где 𝑛 − число измерений;

𝑥_𝑖 − значение измеряемой величины (отсчет по нониусной шкале);

− среднее арифметическое;

− среднеквадратичную погрешность для среднего арифметического.

Для 𝑛^∞, получим

Аналогичным образом определяется среднеквадратичная погрешность серии измерений для отсчетов 𝑛^𝑧.

Таблица 3. Среднеквадратичная погрешность серии измерений

, мм	, мм
0,108	0,085

Границы доверительного интервала для среднего арифметического (случайная погрешность прямых измерений):

где – коэффициент Стьюдента;

– доверительная вероятность.

Для 6 измерений при .

Для получим

Аналогичным образом определяются границы доверительного интервала для среднего арифметического для отсчетов 𝑛^𝑧.

Таблица 4. Границы доверительного интервала для среднего арифметического

, мм	, мм
0,278	0,218

Граница доверительного интервала для однократного измерения равна половине цены деления прибора (нониусная шкала с ценой одного деления 0,1):

Общие границы доверительного интервала прямых измерений:

где − границы доверительного интервала для среднего арифметического; − границы доверительного интервала для однократного измерения.

Для , получили

Аналогичным образом определяются общие границы доверительного интервала прямых измерений для отсчетов .

Таблица 5. Общие границы доверительного интервала прямых измерений

, мм	, мм
0,295	0,240

Рассчитали погрешность косвенных измерений при определении расстояния до объекта. Границы доверительного интервала:

где m ‒ число переменных;

‒ среднее арифметическое искомой величины;

‒ погрешность прямых измерений измеренной величины x_i ;

‒ границы доверительного интервала искомой величины (погрешность косвенных измерений).

Прологарифмировав выражение (1), получим:

Найдем частные производные:

Таким образом, границы доверительного интервала (погрешность косвенных измерений) искомой величины (расстояние до объекта L) равны:

Найдем значение следующего произведения:

Тогда погрешность косвенных измерений будет равна:

Определим относительную погрешность результата измерений по следующей формуле:

где ‒ погрешность косвенных измерений искомой величины;

‒ среднее арифметическое искомой величины.

Запишем окончательный результат измерений

5. Проверили плоскопараллельность поверхностей нескольких стеклянных пластин. При наличии клиновидности определим угол клина. Данные измерений представлены в таблице 4.

Таблица 6. Результаты измерений

№ образца	α1, дел.	α2, дел.	α3, дел.	α4, дел.	Среднее, [дел.]	Среднее, [мин.]
1	18,5	19,0	19,0	18,5	18,75	9,375
2	4,0	4,0	4,0	4,0	4,0	2,0

6. Рассчитали погрешность определения угла клиновидности. Произвели расчет погрешности прямых измерений.

Определили среднеквадратичную погрешность для среднего арифметического, данные для расчета в таблице 4.

Для образца 1, , получили:

Аналогичным образом определяется среднеквадратичная погрешность серии изменений для образца 2.

Таблица 7. Среднеквадратичная погрешность серии изменений

0,144	0

Границы доверительного интервала для среднего арифметического (случайная погрешность прямых измерений):

где – коэффициент Стьюдента;

– доверительная вероятность.

Для 4 измерений при .

Для образца 1, , получили:

Аналогичным образом определяются границы доверительного интервала для среднего арифметического для образца 2:

Таблица 8. Границы доверительного интервала для среднего арифметического

0,46	0

Граница доверительного интервала для однократного измерения равна половине цены деления шкалы:

Общие границы доверительного интервала прямых измерений:

где − границы доверительного интервала для среднего арифметического; − границы доверительного интервала для однократного измерения.

Для образца 1, , получили

Аналогичным образом определяются общие границы доверительного интервала прямых измерений для образца 2:

Таблица 9. Общие границы доверительного интервала прямых измерений

0,52	0,25

Определили относительную погрешность результата измерений

Для образца 1, , получили:

Аналогичным образом определяется относительная погрешность результата измерений для образца 2:

Таблица 10. Относительная погрешность результата

5,55	12,5

Записали окончательный результат измерений:

7. Определили радиус кривизны сферической поверхности линзы (при R> 5м). Данные измерений представлены в таблице 11.

Таблица 11. Результаты измерений

№ измерения	nR1, мм	nR2, мм
1	12,9	17,0
2	12,5	16,9
3	12,6	17,0
4	12,5	17,0
5	12,7	16,8
6	12,6	16,9
Среднее	12,6	16,9

Для определения радиуса кривизны сферической поверхности воспользуемся данной формулой:

Аналогичным образом производится расчет радиусов кривизны 2 образца.

Таблица 12. Радиусы кривизны выпуклых сферических поверхностей

, мм	, мм
121645	66511
Z’1, мм	Z’2, мм
1,52	2,78

8. Рассчитали погрешность измерения радиусов кривизны выпуклых сферических поверхностей. Произвели расчет погрешности прямых измерений. Для данной работы прямыми измерениями являются отсчеты по нониусной шкале при наводке трубы на бесконечность и на объект . Расчет погрешности прямых измерений для был произведен в пункте 3.

Определили среднеквадратичную погрешность для среднего арифметического:

где 𝑛 − число измерений;

𝑥_𝑖 − значение измеряемой величины (отсчет по нониусной шкале);

− среднее арифметическое;

− среднеквадратичную погрешность для среднего арифметического.

Для образца 1, , получили

Аналогичным образом определяется среднеквадратичная погрешность серии измерений для образца 2:

Таблица 13. Среднеквадратичная погрешность серии измерений

, мм	, мм
0,06	0,04

Границы доверительного интервала для среднего арифметического (случайная погрешность прямых измерений):

где – коэффициент Стьюдента;

– доверительная вероятность.

Для 6 измерений при .

Для образца 1, , получили

Аналогичным образом определяются границы доверительного интервала для среднего арифметического для образца 2.

Таблица 14. Границы доверительного интервала для среднего арифметического

, мм	, мм
0,15	0,09

Граница доверительного интервала для однократного измерения равна половине цены деления шкалы прибора:

Общие границы доверительного интервала прямых измерений:

где − границы доверительного интервала для среднего арифметического; − границы доверительного интервала для однократного измерения.

Для образца №1, , получили

Аналогичным образом определяются общие границы доверительного интервала прямых измерений для образца 2.

Таблица 15. Общие границы доверительного интервала прямых измерений

, мм	, мм
0,18	0,13

Рассчитали погрешность косвенных измерений при определении расстояния до объекта. Границы доверительного интервала:

где m ‒ число переменных;

‒ среднее арифметическое искомой величины;

‒ погрешность прямых измерений измеренной величины x_i ;

‒ границы доверительного интервала искомой величины (погрешность косвенных измерений).

Прологарифмировав выражение (4), получим:

Нашли частные производные:

Таким образом, границы доверительного интервала (погрешность косвенных измерений) искомой величины (радиус кривизны R) равны:

Такая погрешность косвенных измерений для образца №1 будет равна:

Аналогичным образом определяются границы доверительного интервала косвенных измерений для образца 2.

Таблица 16. Границы доверительного интервала косвенных измерений

, мм	, мм
26656,57	4986,38

Определили относительную погрешность результата измерений

Для образца 1, , получили

Аналогичным образом определяется относительная погрешность результата измерений для образца 2.

, %	, %
22,0	7,5

Записали окончательный результат измерений:

Измерения с доверительной вероятностью a = 0,95

ВЫВОД: В ходе выполнения лабораторной работы ознакомились и овладели навыками измерения на примере автоколлимационной трубы, входящей в комплект оптической скамьи ОСК ‒ 2. Найденное расстояние до удалённого объекта составило . Углы клиновидности двух пластинок равны . Радиусы кривизны двух линз составили и . Полученная величина погрешности характеризуется допущенными случайными ошибками при измерении, а также неточностью прибора. Метод для определения угла клиновидности можно использовать при . Метод для обработки радиуса не достаточно точен, его можно использовать в рамках лабораторной работы, но возникает достаточная погрешность и полученные значения отличаются от паспортных.