3 Расчет температурных напряжений для деталей 1, 2, 3 в сечениях их контакта

Перейдем непосредственно к решению задачи. Выпишем из таблицы 1 материалы деталей 1, 2, 3 и найдем значения модуля Юнга, коэффициента Пуассона, температурный коэффициент линейного расширения. Для всех деталей возьмем изменение температуры.

• Деталь 1 – втулка, материал - латунь: E₁ = 0,9∙10⁵ МПа, ν₁ = 0,4, α₁ = 18∙10^-6 К^-1;

• Деталь 2 – втулка, материал - никель: E₂ = 2,1∙10⁵ МПа, ν₂ = 0,3, α₂ = 13∙10^-6 К^-1;

• Деталь 3 – кристаллодержатель, материал - керамика 22хс: E₃ = 2,2∙10⁵ МПа, ν₂ = 0,25, α₂ = 6,1∙10^-6 К^-1;

• Изменение температуры ∆T = -80°C = -80 К

Для каждой детали из таблицы 2 определяем R_вн:

• Деталь 2 – d_вн = 1,2 мм, R_вн = 0,6∙10^-3 м = r₀;

• Деталь 1 – d_вн = 1,5 мм, R_вн = 0,75∙10^-3 м = r₁;

• Деталь 3 – d_вн = 3 мм, R_вн = 1,5∙10^-3 м = r₂;

• Деталь 3 – d_нар = 5 мм, R_нар = 2,5∙10^-3 м = r₃;

Расчетная схема задачи представлена на рисунке 3:

Рисунок 3 – Расчетная схема задачи

Как видно из рисунка 3, деталь 2 будем считать деталью №1, деталь 1 будем считать деталью №2, деталь 3 так и будем считать деталью №3.

С учетом изменившихся номеров деталей:

• Деталь №1 – втулка, материал - никель: E₁ = 2,1∙10⁵ МПа, ν₁ = 0,3, α₁ = 13∙10^-6 К^-1;

• Деталь №2 – втулка, материал - латунь: E₂ = 0,9∙10⁵ МПа, ν₂ = 0,4, α₂ = 18∙10^-6 К^-1;

• Деталь №3 – кристаллодержатель, материал - керамика 22хс: E₃ = 2,2∙10⁵ МПа, ν₂ = 0,25, α₂ = 6,1∙10^-6 К^-1;

Запишем граничные условия. Для детали №1: при r = r₀ σ_r = 0; при r = r₁ σ_r = p₁. Для детали №2: при r = r₁ σ_r = p₁; при r = r₂ σ_r = p₂. Для детали №3: при r = r₂ σ_r = p₂; при r = r₃ σ_r = 0.

Запишем условия совместности для деталей №1-№2 и деталей №2-№3 согласно формулам (5) и (6):

Перенесем все значения в левую часть и подставим известные величины:

Упростим уравнения и решим их относительно p₁ и p₂:

p₁ = 21342046 [Па] ≈ 21,34 [МПа]; p₂ = 44636520 [Па] ≈ 44,64 [МПа].

Найдем постоянные С_I, С_II, С_III, D_I, D_II, D_III по формулам (3) и (4):

Найдем значения радиальных σ_r и окружных напряжений σ_θ в нескольких точках по формулам (7) и (8). Выберем значения r для точек таким образом, чтобы между границами двух деталей было ровно 4 части. Всего, помимо граничных, получится девять точек.

Для точки 1:

Для точки 2:

Для точки 3:

Для точки 4:

Для точки 5:

Для точки 6:

Для точки 7:

Для точки 8:

Для точки 9:

Рассмотрим граничные условия:

При r = r₀:

При r = r_1:

Для детали №1:

Для детали №2:

При r = r_2:

Для детали №2:

Для детали №3:

При r = r_3:

Запишем результаты расчетов в таблицу 3:

Таблица 3

	Деталь 1					Деталь 2
r, мм	0,6	0,6375	0,675	0,7125	0,75		0,75		0,9375		1,125		1,3125		1,5
σr, МПа	0	6,76	12,44	17,24	21,34		21,34		32,52		38,6		42,6		44,64
σθ, МПа	118,57	111,8	106,12	101,33	97,22		83,46		72,28		66,21		62,54		60,17
	Деталь 3
r, мм	1,5	1,75	2	2,25	2,5
σr, МПа	44,64	26,13	14,12	5,8	0
σθ, МПа	-94,85	-76,35	-64,33	-56,11	-50,22