Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекция 4

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
26.06.2025
Размер:
1.22 Mб
Скачать

Методы и средства диагностирования

Лекция 4

3.3Методы статистических решений

3.3.1Метод минимального риска

3.3.2Метод минимального числа ошибочных решений

3.3.3Метод наибольшего правдоподобия

3.3.4Метод минимакса

3.3.5Метод Неймана-Пирсона

Методы статистических решений

Рассматриваемые в этой лекции методы также относятся к статистическим. Однако они отличаются от методов, изложенных в прошлой лекции, правилами принятия решения.

Здесь решающее правило выбирается исходя из некоторых условий оптимальности, например из условия минимума риска.

Возникшие в математической статистике как методы проверки статистических гипотез (работы Неймана и Пирсона), рассматриваемые методы нашли широкое применение в радиолокации (обнаружение сигналов на фоне помех), радиотехнике, общей теории связи и других областях.

2

Рассмотрим сначала процесс распознавания при наличии одного диагностического параметра.

х — диагностический параметр

D1 — исправное состояние

D2 — наличие дефекта

3

Правило решения

Пусть производится диагностика состояния газотурбинного двигателя по содержанию железа в масле (параметр х). Задача

состоит в выборе значения х0 параметра х таким образом, что при х > х0 следует принимать решение о снятии двигателя с эксплуатации, а при х < х0 допускать дальнейшую работу.

Так как состояние системы характеризуется одним параметром, то система имеет одномерное пространство признаков.

Разделение производится на два класса (дифференциальная

диагностика или дихотомия). Условимся считать: D1 — исправное состояние и D2 — наличие дефекта.

Тогда указанное правило решения состоит в следующем:

4

Ложная тревога и пропуск цели (дефекта)

Ложной тревогой называется случай, когда принимается решение о наличии дефекта, но в действительности система находится в исправном состоянии (вместо D1 принимается D2).

Пропуск цели (дефекта) — принятие решения об справном

состоянии, тогда как система содержит дефект (вместо D2 принимается D1).

5

Очевидно, что эти двоякого рода ошибки могут иметь различные последствия или различные цены.

Обозначим Hi,j (i, j = 1, 2) возможные решения по правилу

(1)

(первый нижний индекс соответствует индексу принятого диагноза, второй — индексу действительного состояния).

Тогда Н12 — пропуск дефекта и Н21 — ложная тревога (D1 — исправное состояние, D2 — дефектное состояние); Н11 и Н22 — правильные решения.

6

Вероятность ложной тревоги равна вероятности произведения двух событий: наличие исправного состояния и значения х > х0:

где Р1 = Р (D1) —априорная вероятность диагноза D1 (считается известной на основании предварительных статистических данных).

Подобным образом находится вероятность пропуска дефекта:

7

Средний риск

Вероятность принятия ошибочного решения слагается из вероятностей ложной тревоги и пропуска дефекта. Если приписать «цены» этим ошибкам, то получим выражение для среднего риска

Разумеется, цена ошибки имеет условное значение, но она должна учесть предполагаемые последствия ложной тревоги и пропуска дефекта. В задачах надежности стоимость пропуска дефекта обычно существенно

больше стоимости ложной тревоги (C12 >> С21). Иногда вводится цена правильных решений Н11 и Н22, которая для сравнения со стоимостью потерь (ошибок) принимается отрицательной.

В общем случае средний риск (ожидаемая величина потери) выражается равенством

(2)

8

1. Метод минимального риска

Найдем граничное значение х0 из условия минимума среднего риска. Дифференцируя (2) по х0 и приравнивая производную нулю, получим сначала условие экстремума

или

(3)

Это условие часто определяет два значения x0, из которых одно соответствует минимуму, второе — максимуму риска

9

Соотношение (3) является необходимым, но недостаточным условием минимума.

Для существования минимума R в точке х = х0 вторая производная должна быть положительной т.е. d2R/dx02 > 0, что приводит к следующему условию относительно производных плотностей распределений:

(4)

Если распределения f(x/D1) и f(x/D2) содержат не более одной точки максимума, то при

условие (4) выполняется.

10