Лекция 4
.pdf
•В соответствии с правилом (1) по методу минимального риска принимается следующее решение о состоянии объекта, имеющего данное значение параметра х:
(5.1)
(5.2)
Условие (5.1) соответствует х < х0, условие (5.2) х > х0.
Величина 
представляет собой пороговое значение для отношения правдоподобия.
Диагноз D1 —исправное состояние, D2 — дефектное состояние объекта; С21 — цена ложной тревоги, С12 — цена пропуска цели (первый индекс — принятое состояние, второй — действительное);
С11 < О, С22 <0 — цены правильных решений (условные выигрыши).
11
•В большинстве практических задач условные выигрыши (поощрения) для правильных решений не вводятся, тогда
• И правило решения по методу минимального риска имеет вид:
•Правило решения (1) выражается теперь с помощью отношения правдоподобия и для принятия решения даже не требуется определение критического значения параметра х0.
•Это справедливо при некоторых ограничениях, например, для достаточно плавных («одногорбых») распределений.
12
Пример
•Рассмотрим случай, когда параметр х имеет нормальное распределение
при исправном D1 и неисправном D2 состояниях. Рассеяние параметра (величина среднеквадратичного отклонения) принимается одинаковым.
•В рассматриваемом случае плотности распределений
•Внося эти соотношения в равенство (3), получаем после логарифмирования
•Из этого уравнения
13
2.Метод минимального числа ошибочных решений
•Частным случаем рассмотренного метода является метод минимального числа ошибочных решений. Эти методы эквивалентны, если стоимости решений одинаковы.
•При данном методе для одномодальных
распределений решение k D1 принимается при условии, что
•а решение k D2 принимается при условии, что
14
3.Метод наибольшего правдоподобия
•Метод наибольшего правдоподобия также является частным случаем метода минимального риска. Правило решения имеет следующий вид:
где х - значение диагностического параметра.
•Граничное значение находится из условия
(6)
•Сопоставляя условия (3) и (6), легко установить, что они совпадают, если предположить
15
• В большинстве практических случаев используется условие
(7)
•Для задач надежности вероятность неисправного состояния обычно представляет собой малую величину, но цена пропуска
дефекта значительно больше цены ложной тревоги (С12 >> С21). Тогда условие (7) дает решение, не требующее знания точных значений стоимости ошибок и качественно отражающее указанные обстоятельства (Р2 << Р1, C12 >> С21).
16
Задание:
Дано: При диагностировании электромагнитного измерительного устройства установлено, что в 30% случаев выход из строя подобных устройств связан с неисправностью измерительной катушки. При этом для исправного состояния среднее значение сопротивления катушки составляет RИ = 35 Ом. В случае наличия недопустимых изменений в измерительном сигнале среднее значение сопротивления составляет RИ = 65 Ом. Среднеквадратичное отклонение для обоих случаев равно σ =
10 Ом.
Выполнено измерение сопротивлений измерительных катушек (N = 10) чувствительных элементов:
RИ,1 = 45 Ом, |
RИ,6 = 38,5 Ом, |
RИ,2 = 44 Ом, |
RИ,7 = 52 Ом, |
RИ,3 = 35 Ом, |
RИ,8 = 41,9 Ом, |
RИ,4 = 46 Ом, |
RИ,9 = 51 Ом, |
RИ,5 = 44,3 Ом, |
RИ,10 = 49,1 Ом. |
Найти:
1.Построить функции плотности вероятностей диагностического признака для исправного и неисправного состояний (не обязательно).
2.На основе данных о сопротивлении измерительных катушек методом минимального риска отсортировать измерительные устройства на два состояния:
D1 – исправное состояние, D2 – неисправное состояние.
При этом стоимость ложной тревоги C21 = 50, а цена пропуска дефекта С12 = 100.
3.Как изменится величина х0, если цену пропуска дефекта увеличить в 2 раза?
4.Как изменится величина х0, если рассчитывать ее по методу минимального числа ошибочных решений?
17