ФГБОУ ВО

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра технической кибернетики

100	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
90
80
70
60
50
40
30
20
10

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к расчётно-графической работе

по дисциплине «Методы оптимизации»

Тема: «Решение задач линейного программирования (ЛП)»

Вариант №10

1304.417003.000 ПЗ

(обозначение документа)

ИВТ-217 Группа	Фамилия, И., О.	Подпись	Дата	Оценка
Студент	Саляхов А.Ф.
Консультант	Хасанов А.Ю.
Принял	Хасанов А.Ю.

Уфа 2023 г.

Задача 1:

j=

А) Геометрический метод.

Область допустимых решений (ОДР) задана равенствами, задача не является стандартной.

Сократим количество переменных:

,

(1)

(2)

(3)

Теперь ОДР задана неравенствами, получилась стандартная задача и ее можно решить геометрическим методом.

Построим область допустимых решений, удовлетворяющих указанным выше условиям.

Построим линию уровня и перемещаем ее перпендикулярно вектору

Функция F достигает наибольшего значения в точке A.

Найдем координаты точки A.

Точка A одновременно принадлежит прямым (1) и (3).

Найдем базисные переменные:

Максимальное значение функции z = 23

Ответ:

б) Допустимое базисное решение.

Система представлена в каноническом виде:

j=

Так как в каждом уравнении есть переменные, которых нет в других, то система уравнений линейно-независимая. Ранг системы r=3. То есть базисных переменных 3. Пусть – базисные, а – свободные. Выразим базисные переменные через свободные:

Базисное решение:

Данное решение является допустимым

в) Симплекс-алгоритм.

Решение не оптимально - в ЦФ есть положительные коэффициенты.

Выразим базисные переменные через свободные:

При увеличении функция увеличивается быстрее, поэтому:

(до 3,5)

Выразим , с учетом этого пересчитаем и :

Найдем базисное решение:

Решение является допустимым базисным.

Проверим его на оптимальность:

Данное решение не является оптимальным.

При увеличении функция увеличивается быстрее, поэтому:

Выразим , с учетом этого пересчитаем и :

Найдем базисное решение:

Решение является допустимым базисным.

Проверим его на оптимальность:

Данное решение является оптимальным.

Следовательно,

Ответ:

Задача 2:

j=

А) Геометрический метод.

Область допустимых решений (ОДР) задана равенствами, задача не является стандартной.

Сократим количество переменных:

,

(1)

(2)

Теперь ОДР задана неравенствами, получилась стандартная задача и ее можно решить геометрическим методом.

Построим область допустимых решений, удовлетворяющих указанным выше условиям.

Из рисунка видно, что задача не имеет решение т.к функция z неограниченно убывает.

Б) Допустимое базисное решение.

Система представлена в каноническом виде:

j=

Так как в каждом уравнении есть переменные, которых нет в других, то система уравнений линейно-независимая. Ранг системы r=2. То есть базисных переменных 2. Пусть – базисные, а – свободные. Выразим базисные переменные через свободные:

Базисное решение:

Данное решение не является допустимым. Решим систему методом искусственных переменных.

j=

Пусть – базисные, а – свободные. Выразим базисные переменные через свободные

При увеличении функция увеличивается быстрее, поэтому:

Выразим , с учетом этого пересчитаем :

Найдем базисное решение:

Решение является допустимым базисным.

При увеличении функция увеличивается быстрее, поэтому:

Выразим , с учетом этого пересчитаем :

Найдем базисное решение:

Решение является допустимым базисным.

Так как w = 0, найденное решение является допустимым базисным для исходной системы.