10. Теорема Бернулли.

Обозначим символом µ_n число успехов в n испытаниях Бернулли. Вероятность успеха в одном испытании равна 0 < p <1

Введём следующее обозначение: , где В – произвольное множество вещественных чисел.

Сама теорема Бернулли: Для любого Ɛ > 0 имеет место следующее утверждение:

11. Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра - Лапласа.

Рассматривая последовательность n испытаний Бернулли с вероятностью успеха P в одном испытании и с вероятностью неудачи в одном испытании q = 1-p. Символом P_n(k) обозначим вероятность того, что в n испытаниях наступит ровно k успехов. Введём дополнительное обозначение.

Положим

Имеет место Локальная предельная теорема Муавра – Лапласа, которая предполагает, что k=k(n) зависит от n так, что , т.е. .

Тогда имеет место равенство , где числовая последовательность, сходящаяся к нулю равномерно по всем ,

Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа:

Справедливо следующее соотношение При этом сходимость имеет место равномерно по всем a и b в ограниченной области изменения

12. Теорема Пуассона.

Предположим, что нам нужна вероятность получить не менее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успех 0,003. Высчитать эту вероятность довольно сложно, поэтому появилась теорема Пуассона, где так, что . Тогда для любого вероятность получить k успехов в n испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха p_n стремится к величине

:

13. Случайные величины. Функции распределения случайных величин. Характеризационные свойства функций распределения.

Случайной величиной называется функция элементарного исхода такая, что любого вещественного x множество

Функцией распределения называется функция определённая на всей числовой прямой равенством

Пусть – функция распределения некоторой случайной величины , тогда имеют место быть следующие свойства:

• Функция неотрицательна т.е. для любого ℝ

• Функция распределения монотонно не убывает по , т.е. для любых имеет место неравенство

• Функция распределения непрерывна слева, т.е.

• Для функции распределения справедливы соотношения

,

14. Функции распределения дискретного типа. Примеры.

Функция распределения дискретного типа является кусочно-постоянной функцией с разрывами в точках, соответствующим возможным значениям z₁, z₂ , … случайные величины ξ и величиной разрыва равной вероятности p_k в точке , т.е.

P.s. - я без понятия почему в скобке стоит +, но в учебнике написано так

Примеры:

• Распределение Бернулли

• Распределение Радемахера

• Биноминальное распределение

• Геометрическое распределение

• Распределение Пуассона

15. Функции распределения абсолютно непрерывного типа. Плотность распределения. Примеры.

16. Математическое ожидание. Примеры вычисления математического ожидания.

Пусть ξ – случайная величина абсолютно-непрерывного типа с плотностью распределения p(x). Математическим ожиданием случайной величины ξ называется следующая величина

(т.е. интеграл сходится)

Если , то говорят, что математического ожидания не существует

Вместо термина «математическое ожидание» часто используют термины «среднее значение» или «ожидаемое значение»

Существуют примеры через:

• Распределение Бернулли.

• Биноминальное распределение.

• Равномерное распределение