5. Общее определение вероятности (аксиоматика Колмогорова). Свойства вероятностей.

Определение вероятности по Колмогорову. Отныне мы будем считать, что нам дано не только пространство элементарных исходов , но и выделенная на неё σ-алгебра подмножеств (сигма алгебра событий). Событиями мы будем называть только элементы σ-алгебры , а саму

σ-алгебру будем называть σ-алгеброй событий

P.s. σ – читается как сигма

Определение 1. Функцию Pr: ℝ, определённую на событиях из σ-алгебры , будем называть вероятностью, если она удовлетворяет следующим условиям свойств вероятности:

• Неотрицательность: для любого события

• Нормированность:

• Счётная аддитивность: Для любых попарно несовместимых событий А₁, А₂,… таких, что справедливо равенство

Определение 2. Тройка ( ) называется вероятностным пространством.

P.s. Соболезную, что попался этот вопрос

6. Условная вероятность и ее свойства.

Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятности одновременного наступления событий А и В к вероятности события В, т.е. величина

Свойства:

• Неотрицательность:

• Нормированность:

• Аддитивность: Если события А и С несовместимы, т.е. АС = , тогда

7. Независимость событий. Свойства независимых событий.

Два события А и В называются независимыми если вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей, т.е. Pr(AB) = Pr(A)Pr(B), либо такая запись ( )

Свойства:

• Если события А и В – независимые, то и независимы любые пары событий: А и В, , В

• Для независимых событий A и B формула сложения вероятностей имеет вид: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) * P(B)

• Если события A и B не пересекаются и их вероятности не равны нулю, то события A и B зависимы.

8. Пример Бернштейна. Независимость n событий.

События А₁, А₂,… А_n называются независимыми в совокупности, если

Квантор всеобщности

∏ - это, типо, факториал

Есть утверждение «Попарно независимые события не обязательно независимы в совокупности», которое доказывается на контрпримере (пример Бернштейна).

Доказательство или же сам пример Бернштейна: покрасим грани тетраэдра в 3 цвета: одну во все 3 цвета (красный, зелёный, жёлтый) и 3 других в различные

Рассмотрим следующие события:

• A_R = “На грани тетраэдра есть красный цвет”

• A_G = “На грани тетраэдра есть зелёный цвет”

• A_B = “На грани тетраэдра есть синий цвет”

Тогда:

Приведённые события попарно независимы, но не независимы в совокупности.

9. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наиболее вероятное число успехов.

Последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможно только два исхода (Успех, неудача), с одной и той же вероятностью успеха в каждом испытании, называется схемой Бернулли

Формула Бернулли

Пусть событие А состоит в том, что в n испытаниях Бернулли наступит ровно k успехов, тогда имеет место быть равенство:

Наиболее вероятное число успехов.

Обозначим k₀ такое число успехов в n испытаниях Бернулли, вероятность которого максимальна, т.е.: (k)