2 курс / Анализ данных / СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Оставаясь в рамках схемы Бернулли, можно наблюдать ещё за одной интересной величиной Х – числом испытаний,
осуществлённых до первого наступления события А,
вероятность которого по-прежнему остаётся постоянной.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Такая величина имеет следующий закон распределения:
Значение величины Х |
1 |
2 |
3 |
… |
k |
… |
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность рi |
p |
qp |
q2 p |
… |
qk −1 p |
… |
P( X =1) = p – если величина Х приняла значение, равное 1, то было осуществлено
всего одно испытание, в результате которого событие А наступило с известной вероятностью р = Р( А) , и опыт закончился.
P( X = 2) = qp – если величина Х приняла значение, равное 2, то было осуществлено 2
испытания: |
в результате первого |
– А не наступило |
|
(с вероятностью q =1 − p ), |
|
|
|
|
|
||
в результате |
второго – А наступило с |
известной вероятностью |
|
р = Р( А) , и опыт закончился.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
P( X = 3) = q2 p – если величина Х приняла значение, равное 3, то было осуще-
ствлено 3 испытания: |
|
|
в результате |
первого – |
А не наступило (с вероятностью |
q =1 − p ), |
|
|
в результате |
второго – |
А не наступило (с вероятностью |
q =1 − p ), |
|
|
врезультате третьего А наступило с известной вероятностью
р= Р( А) , и опыт закончился.
Понятно, что множество возможных значений величины Х определяется множеством натуральных чисел,
которое является бесконечным, но счётным.
Поэтому Х является дискретной случайной величиной.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Проверим выполнимость необходимого для закона распределения
n
условия рi =1:
i =1
n |
|
p |
|
p |
|
|
рi = p + qp + q2 p + ... + qk −1 p + ... = |
|
= |
=1. |
|||
1 − q |
p |
|||||
i =1 |
|
|
||||
Ряд p + qp + q2 p + ... является геометрическим со знаменателем q 1.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Такой ряд является сходящимся, и его сумма
определяется по формуле: S = |
|
a1 |
|
, |
|
|
|
|
1 − |
a2 |
|
|
|
|
|||
|
a1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая в нашем случае принимает вид S = |
|
p |
, |
|||||
|
− q |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|||
а поскольку q =1 − p ,
то равенство единице становится очевидным.
n
Таким образом, условие рi =1 для распределения выполнено.
i=1
Впроцессе доказательства появляется геометрический ряд,
Поэтому распределение называется геометрическим.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Для геометрического распределения
числовые характеристики находят по формулам:
E( X ) = 1p ,
D( X ) = q , p2
( X ) = pq .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример .
Вероятность выигрыша в лотерею составляет 0,01.
Петя решил покупать по одному билету в неделю этой лотереи до тех пор, пока ему не попадётся выигрышный билет.
Как долго Пете придётся ждать выигрыша?
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение.
Для ответа на вопрос задачи необходимо понять,
что число купленных Петей билетов до первого выигрышного является случайной величиной,
имеющей геометрическое распределение,
и вычислить математическое ожидание этой величины:
E( X ) = 1p = 0,101 =100 .
Ответ: ожидание для Пети может продлиться 100 недель.