2 курс / Анализ данных / СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
.pdf
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Закон распределения величины Х принимает вид:
Значение величины Х |
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вероятность рi |
|
32 |
|
|
80 |
|
|
80 |
|
|
40 |
|
|
10 |
|
|
1 |
|
|
243 |
243 |
243 |
243 |
243 |
243 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
Необходимое условие рi =1 выполнено.
i =1
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Числовые характеристики величины Х,
имеющей биномиальный закон распределения,
находят по формулам:
E( X ) = np ,
D( X ) = npq ,
( X ) = 
npq .
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример 2.
Банк выдал 700 кредитов определённого вида, оценив вероятность возврата каждого в 84%.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа возвращённых банку кредитов.
Решение.
Величина Х – число возвращённых банку кредитов формируется в условиях серии испытаний,
проходящих по схеме Бернулли,
поэтому будет иметь биномиальное распределение с параметрами п = 700 и р = 0,84.
Зная эти параметры, числовые характеристики легко найти:
E( X ) = np = 700 0,84 = 588
D( X ) = npq = 700 0,84 (1 – 0,84) = 94,08
Ответ: E( X ) = 588; D( X ) = 94,08.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
Если испытания проходят по схеме Бернулли,
но количество испытаний велико ( п → ),
а вероятность наступления события А очень мала ( р → 0 ),
то величина Х – число наступлений события А в серии из п испытаний будет иметь распределение Пуассона:
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Значение величины Х |
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
… |
|
k |
… |
|||
Вероятность |
р |
Р |
п |
(0) |
Р |
п |
(1) |
Р |
п |
(2) |
Р |
п |
(3) |
… |
Р |
п |
(k ) |
… |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для величины, распределённой по закону Пуассона, |
|
|
|||||
вероятности, отвечающие определённым значениям, |
|
|
|||||
вычисляются по формуле Пуассона: |
|
|
|
|
|||
|
k |
|
|
|
|
|
|
P (k) = |
|
e |
− |
|
= np |
|
|
|
|
|
|||||
|
, |
где |
. |
|
|||
n |
k! |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Проверим выполнимость необходимого условия рi =1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
для закона распределения величины: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
рi |
= |
|
e |
− |
+ |
|
e |
− |
+ |
|
e |
− |
+ ... + |
|
e |
− |
+ ... = |
||||||||
0! |
|
|
1! |
|
|
2! |
|
|
k! |
|
|||||||||||||||
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= e |
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
+ ... |
= |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0! |
|
1! |
|
|
2! |
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= |
e |
− |
e |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Для преобразований была использовано известное разложение функции у = е х в степенной ряд:
ех =1 + |
|
х |
|
+ |
х2 |
+ ... + |
хk |
+ ... |
|
1! |
2! |
k! |
|||||||
|
|
|
|
||||||
которое при х = принимает вид:
e = |
0 |
+ |
1 |
+ |
2 |
+ ... + |
k |
+ ... |
|
0! |
|
1! |
|
2! |
|
k! |
|
n
Поэтому условие рi =1
i =1
для распределения Пуассона выполнено.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Числовые характеристики величины Х,
распределённой по закону Пуассона,
находят по формулам:
E( X ) = np = ,
D( X ) = np = ,
( X ) = 
np = 
.
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Пример.
Для величины Х, распределённой по закону Пуассона, известно:
Р( Х = 8) = 0,03 . Найти дисперсию величины Х.
Р( Х = 7)
ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ
Решение:
Если величина распределена по закону Пуассона,
то D( X ) = np = .
Мы найдём неизвестное значение из условий:
P (8) = 8 |
e− , P (7) = 7 |
e− и |
|
Р( Х = 8) |
= 0,03 |
||||||
|
|
||||||||||
n |
|
8! |
|
n |
7! |
|
|
|
Р( Х = 7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
8 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8! |
|
= 0,03 |
= 0,03 |
|
= 0,24 . |
|||||
7 |
|
||||||||||
|
− |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, и |
D( X ) = = 0,24. |
|
|||||||||
Ответ: |
|
D( X ) = 0,24 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|