2 курс / Анализ данных / СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Специальные законы распределений дискретных случайных величин

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Мы уже рассматривали ситуацию, когда осуществляется серия из п независимых испытаний с неизменной, равной р = Р( А) ,

вероятностью наступления события А в каждом испытании,

и говорили, что в таком случае испытания проходят по схеме Бернулли.

Вероятность наступления события А в k испытаниях

из n осуществлённых вычисляют по формуле Бернулли:

Pn (k) = Cnk pk qn−k

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Число наступлений события А в серии из п независимых испытаний определяет дискретную случайную величину Х.

Закон распределения этой величины задаётся таблицей,

в первой строке которой указываются все возможные значения величины,

а во второй - соответствующие этим значениям вероятности.

В качестве возможных значений предлагаем все целые числа от 0 до п включительно.

Соответствующие вероятности надо вычислять по формуле Бернулли.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Для того, чтобы таблица рассматривалась как закон распределения,

n

необходимо выполнение условия рi =1. Проверим его выполнимость:

i =1

n

рi = Cn0 p0qn + Cn1 p1qn −1 + Cn2 p2qn −2 + ... + Cnn −1 pn −1q1 + Cnn pn q0 =

i =1

= (p + q)n = 1n = 1.

Для преобразований была использована формула, которую называют биномом Ньютона:

(a + b)n = Cn0a0bn + Cn1a1bn −1 + Cn2a2bn −2 + ... + Cnn −1an −1b1 + Cnn anb0

поэтому распределение назвали биномиальным.

ДЕПАРТАМЕНТ МАТЕМАТИКИ

Решение.

Для составления закона распределения необходимо указать все возможные значения величины

и вычислить соответствующие этим значениям вероятности.

Отметим, что условия опыта используют схему Бернулли:

испытания независимы

(в задаче не сказано, что вопросы теста связаны между собой),

и в каждом из них с неизменной вероятностью р = 13

наступает событие А: «Выбран правильный ответ»,

поэтому величина Х – число правильных ответов на вопросы теста

имеет биномиальное распределение с параметрами п = 5 и р = 13 :