Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

ДИУ иванова билеты

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.06.2025

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

ортог ядром. Есть и другие случаи, когда реш ! не толькодлямалых .Напримерв слячае

ИУФ2 с выр ядром едреш не сущтолько для конечного набора −хар значений ИУФ2 с выр

ядром.

Уравнениедлярезольвенты.

( + ∑=1∞

) =

( + ) = +

(5).

∑=0∞

+1 =

∑=0∞

Для ИУФ2 это означает, что

↔

( , , )

Аф

↔ ( , )

(

)

(

)

(

)

(

, ,

)

(

)

( , )

(

, ,

)

(

, ,

)

−

∫

или

∫

, ,

Приложение к ИУВ2.

(1) φ(x)

− λ

K(x, t)φ(t)dt = f(x)

K(x, t)

)

{a ≤ t ≤ x ≤ b},

φ(x), f(x) C([a, b]) ≡

∫

C(∆ , ∆=

Ищем решение ( )

([ , ]). Рассмотрим ЛОВольтерра :Ав

(

→ ) (

([ ,

]))

в(

)

(

)

( )

Тогда

в(

)

( )

∫

(

)

= А

в(

)

= ∫

(

)

∫

(

)

в2

=измен порядок инт =

(

( )

(

)

( )

в2(

)

т.о.

в(

)

;

∫

2( , )

(

ММИ … А

в(

)

= ∫

, где

)

(

≥

∫

…

= ∫

)

( )

)

(

)

( )

(

)

−1(

)

2).

| 1| ≤

(т.к. ( , )

(∆))

| 2

≤ 2

−

≤ 2

−

… | | ≤

( − ) −1

≤

( − ) −1

Оценим:

( −1)!

(−1)!

(Тогда ряд∑=0∞

+1( , ) ( )

мажорирует числовым∑=0∞

‖ ‖ =

‖ ‖∑=0

= ( − )

‖ ‖ −сход

+1( − )+1

). Ф. ряд сх. равномерно по пр.

∞

(− )

(−)

Вейерштасса и (I- АВ)

= (ИУВ2)

имеет при ед.реш.

= (I −

АВ)−1 ∞

= +

∞

+1( ) =

( )

∞

+1( , ) ( )

= ( ) +

∞=0

( , )

( )

Т.о. ! реш.

( , , )−разреш.ядроИУВ2

∫

, ,

25 Краевая(задача) (

для)

2 порядка) ( )

ОДУ(

. Основные понятия. Краевая задача

Штурма—Лиувилля. Оператор Штурма—Лиувилля, его свойства. Теорема

Стеклова (б\д)

ГЛАВА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИИЗАДАЧИНА СОБСТ ЗНАЧДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОДУ 1ГО ПОРЯДКА.

Рассмотрим диф опер 2го порядка 0

Основныепонятия.

+ 1( ) ′

+ 2( )

2([ , ])

0( ) = 0( ) ′′

( 0( ), 1( ), 2( )

([ , ]),

0( )

≠

0 на

[ , ])

атакже такназыв ограничоперат Г1

и Г2

Г1( )

= 1 ( )

+ 2 ′( ) + 3

( )

+ 4

′

( )

Г2( ) = 1 ( ) + 2 ′( ) + 3 ( )								+ 4 ′( )
причем			1		2	3	4
						3	4 = 2 (т.е. Г1 и Г2 ЛНЗна [ , ])
			1	2
Опр.Задача нахождения y(x) 2([ , ]) такий , что :
(1) 0( )			= ( ) ,			( )	([ , ])
(2) Г1		( ) =
(3) Г2( ) =
называется неоднородной краевой задачей (КЗ) длялинейногоОДУ 2го порядка с неоднор
граничными (краевыми) укловиями (КУ). Если = = 0, КУ (2), (3) назыв однородным,а
если ( ) ≡ 0 на [ , ] то КЗ нызыв однор.
Замеч. Линейной заменой неизвест ф-ии можно добиться, чтобы КУ стали однородными (при
этом изм коэф ур-ия (1) и ф-ия f(x) ).
Далее считаем, что КУоднород.
Замеч. КУвида (2), (3) назыв неразделенными. В простейшемслучае КУимеют вид:
(2′)	Га( ) = 0			где Га( )			= 1 ( ) + 2 ′( ),		Г ( ) = 1 ( ) + 2 ′( )
(3′)	Г ( ) = 0 ,
	1	2	0	0
0		0	3	4 = 2
Такие КУназыв разделенными.
Если КУ задает значф-ии на границе отрезка, то оно назыв КУ 1го рода. Если заданознач
производной, то это КУ 2го рода. Если задана ЛКзнач функций и ее производная , тоэто КУ 3го
рода.
Т.о. существует 9 вариантов разделенныйКУ. В случае КУ 3го рода их принято записывать в
видеГа( ) = ′( )					− ( ) = 0			Г ( ) = ′( ) + ( ) = 0		, где , ≠ 0
								Задача Штурма-Лиувилля.		( ) = −( ) ′( ) ′ + ( ) ( )
Основнымдиф оператором будем далее считать оператор
где ( )		1([ , ]),				( ) > 0 на [ , ], ( ) ([ , ]), ( )				≥ 0 на [ , ]
Опр.Задача нахождениянетривиальныхрешенийКЗ
(1) ( ) =								[ , ]	2([ , ])
(2) Га		( ) = 0						−числовой параметр
(3) Г ( ) = 0

назыв задачейШтурма-Лиувилля (ЗШЛ). При этом значения, при которых нетрив реш назыв СЗ ЗШЛ, а саминетрив решения, отвечающие им, собственными функциями.

Далее рассмотрим = { ( ) 2([ , ]) Г ( ) = 0 Г ( ) = 0}

Опр. назыв классической областью опр ЗШЛ. Оператор ( )																																																								рассм на																			назыв классическим
оператором Ш-Л.Будем далее рассм классичоперШ-Л и обозначать его ( ).
Лемма1.		Если 1( ), 2																					( )														, то 1 2																			( )							≡ 1′									( )				2′			( ) удовл условиям 1 2( ) = 0,
1 2( )		= 0													( )								= 1( ) 2′( )																										− 2																			1				( )				2			( )									= 0							−КУ 1го рода, то 1																					( )		= 0 и
	Док-во: 1 2														( )								= 1( ) 2′( )																										− 2									( ) 1′( )																	Если Г ( )													= 0							−КУ 1го рода, то 1																					( )		= 0 и
2( ) = 0 ( )													= 0.Если Г ( )																														= 0 −КУ 2го рода, то 1′																																						( )							= 0 и 2′											( )				= 0 ( )													= 0. Если
Г ( ) = 0 −КУ 3го рода,																											то 1′								( )							= 1( )																				и 2′( )													= 2					( )					,					≠ 0										1( ) 2′( )											= 2					( ) 1′( )
( ) = 0. На правом конце аналогично.
Упр. Доказать, что																				образует ЛП.																																																																										1(				)			2(					)					=		1		(		) 2(			)	.
																																																																																														1(				)			2(					)							1		(		) 2(			)
В этом ЛП можно ввести скалярное произведение по формуле																																																												,							∫
После введения СП это ЛП становится нормированным : \| \| =																																																							( , )
Докажем след св-ва оператора Ш-Л:																																																																							( ( 1), 2) = 1, ( 2) )
	1. L – самосопр ЛО (ССО) (т.е. 1, 2																																																																						( ( 1), 2) = 1, ( 2) )																																			)
	Док-во:Рассмотрим																											(					(			1)								2)																									(					)	1′(		)				+						(			)				1(				)				2	(						=
	Док-во:Рассмотрим																																						,											= ∫											−																			′	+																												=
				2(					)						(					)				1			(		)																		(					)										)			2(						)									′					)				(					)	1(					)\|
				2(					)						(					)				1			(		)																		(					)			1(							)			2(						)									2(					)				(					)	1(					)\|			+
	−∫																														+ ∫																																										= −																														+
																									′																																																																							′
			(		)		1(					)		2(								)						+											(					)					1(							)					2(					)										2(					)			(					)			1(				)\|								(				)	1	(	)		2		(		)\|	−
	∫																											+				∫																																										= −																										+																		−
								′							′																																																																														′																					′
	∫																				′												+ ∫																																							=																									−																+
		1(				)					(		)			2′			(					)			′																			(					)				1		(					)		2(						)								(			)			1 2(											)					(			)				1 2(					)
		1(				)					(		)			2′			(					)						(				)												(					)				1		(			)		)		2(						)								(			)		(	1 2(											)					(			)				1 2(					)
						(				)		2′(						)							+					(				)			2			(					)									1(						)																		1					(			2)								#
	∫	−																							+																																									= Л1 =														,														#
	2. Все СЗ ЗШЛ действительные (это следствие самосопр ОШЛ)
	Док-во:Пусть ( ) 0 СФ ОШЛ, отвеч СЗ = + . Покажем,что = 0. ( ) = +
	( , ,											,								−				действ фун)																													(					+ )											=					( + )(										+ )											( )										= − ,												( ) =
	+ тогда																( ( ), )																		=			( − , )																											= ( , )												− ( , );																		, ( ) = ( , + )																								=
	( , )					+ ( , )																				( , )														+					( , )																= 0,													\| ( )\|					2		= 0														= 0 #

																																																																											≠0
	3. CЗ ОШЛ простые т.е. каждомуСЗотвеч только одна ЛНЗ собств фуе-ия
	Док-во: Если 1																		( ), 2( )																		−СФ отвеч СЗ, то поскольку 1																																																							( ), 2( )												являются реш лин ур-
	ия с непрер коэфф ( ( ), ( )																																															непр													( ) ≠ 0), то 1 2																									( ) ≠ 0 на [a,b].С другой стороны
	1, 2										1 2															( )					= 0 −противоречие. Т.о. невозможно,чтобы 2 ЛНЗ СФ отвеч
	одному СЗ #															−операторы КУ 1 или 2 рода,либо 3го рода, где ,																																																												> 0 и ( )															, то
Лемма2. Если Г , Г																−операторы КУ 1 или 2 рода,либо 3го рода, где ,																																																												> 0 и ( )															, то
	( ) ( )\|			≤			0
′																																							′		( ) ( )																		≥				0
	Док-во:докажем, что (4)																																						′		( ) ( )																		≥				0
	Док-во:докажем, что (4)																																						′( ) ( )																				≤				0
Если Г – усл 1го рода, то																												′( ) ( )																	= 0																верно(4)
Если Г – усл 1го рода, то																												′( ) ( )																= 0																	верно(4)
Если Г – усл 2го рода, то																												′( ) ( )																	= 0																верно(4)
Если Г – усл 2го рода, то																												′( ) ( )																= 0																	верно(4)															=						2( )								> 0
Если Г – усл 3го рода, то																												′					( )					= ( )																											′( ) ( )											=						2( )								> 0									верно(4). При любой
Если Г – усл 3го рода, то																												′( )							= −( )																														′( ) ( )											= −2( )																		< 0					верно(4). При любой
комбинации КУ выполняется (4) верно утверждение леммы#

Если ( )

≥ на [ , ], то СЗ ЗШЛ ≥

( , )

= | | 2

Док-во:Пусть ( ) −СФ отвеч СЗ

( ( ), )

( )

−

( )

( ) +

( )

( ) = − ( )

( ) ( ) | +

∫

′

∫

′

2>0

′

≤0

′

≥0

( ( ) −

)

( )

( ) ≥

( ) = | |

≥ #

∫

≥0

< <

lim

= +∞

# б/д#

СЗ ЗШЛ образуютпос-ть

Замеч. Если ( ) 0, то 1 > 0

→∞

Замеч. = 0 может иметьтолько ЗШЛ с ( ) 0 и КУ 2го рода на обоиз концах.

6. СФ отвеч различнымСЗ ортогон.

= СС

= 1, ( 2)

= ( 1, 2 2) = 2( 1, 2),

Док-во: 1( 1, 2) =

( 1

1, 2) =

( ( 1), 2)

( 1 − 2) ( 1, 2)

= 0

( 1

, 2)

= 0 #

≠0

След из 5 и6. СФ ЗШЛобразуют бесконечную ортогональную систему.

Теор. (Стеклова) (о полноте системыСФ ЗШЛ) Если ( )

, а {

( )}=1∞ −сист всехЛНЗ СФ

( ) =

то ( ) = ∑=1∞

( ), где

( , )

и ряд сход абс и равн-нона [a,b] к

ЗШЛ Г ( )

= 0

= ( , )

Г ( )

= 0

# б/д #

функции ( )

26 Функция Грина однородной краевой задачи для уравнения 2 порядка. ТСЕ.

Решение неоднородной КЗ с помощью функции Грина. Симметричность функции Грина

самосопряженного уравнения.Функция Грина (ФГ) краевой задачи.

Пусть ( ) = −( ) ′( ) ′ + ( ) −диф оператор 2го порядка ( ) 1([ , ]),

( ) > 0 на

[ ,

min[

( ) =

> 0

( )

([ , ])

, ]

Г ( ) = 1 ( ) + 2

′

( ),

Г ( ) = 1

( ) + 2

′( )

02 = 2

+ ( )

( ) = −( ) ′′

− ′( ) ′

Неоднородной КЗ (1)

( )

= ( )

( )

([ , ])

сопоставим однородную КЗ ( ( ) ≡ 0)

Г ( )

= 0

(2)

( ) = 0

Г ( )

= 0

( ) = 0

Опр .Функцией Грина (ФГ) краевой задачи (2_ (или (1)) назывфункция ( , ) , опред на П
(П = [ , ] [ , ]), облад след св-вами:
1)	( , ) (П) (в частности ( + 0, ) = ( − 0, ) )
2)	фикс ( , )	( , ) уд на [ , ) ( , ] уравнению ( , ) = 0 (по перемннойх)

фикс ( , )

′( , )

имеет разрыв 1го рода при = , причем ′( + 0, ) −

′(

− 0, )

= −

(1 )

Г ( ( , ))

= 0

фикс

( , )

уд кравеым условиям по переменной

Г ( ( , ))

= 0

Теор1. Если однородная КЗ имеет только трив реш, то ! ФГ краев зад (2) (или(1))

Док-во:Рассмотрим однор ур-ие ( ) = 0. Построим

ФСР этого ур-ия 1( ), 2( )

Г ( 1)

= 0

Г ( 2)

= 0 Для этого рассмотрим след задачиКоши (ЗК)

ЗК1

(3)

( )

= 0

ЗК2 (4)

( ) = 0

По ТСЕ решения ЗК длялин ур-ия с

( )

= 2

( ) = 2

′( ) = −1

( ) = −1

непрер коэфф, решение каждойиз задач (3) и(4) !. Решение КЗ1 (3) очев удГ , а реш КЗ2

(4) удГ .Обозначих далее 1

( ) и 2

( )

соот. Проверим ЛНЗ (от противного). Док, что

1, 2

ЛЗ на [ , ].Тогда

2( ) = 1

( ) на

[ , ]

( 2) = 0

Г ( 2)

= 0

(по условию) 2

≡

0, но 2( )

Г ( 2)

= 0

≡ 0 не может быть решениемЗК2 (4). Противоречие. Оно

означает, что 1( ), 2( ) −ЛНЗ и т.о образуют ФСР.

(

)

≤

(тогда длянее выпсв-ва 2и 4).

Ищем ( , ) в виде : ( , ) = 2( ) 2( )

≤ ≤

Св-во 1(непр). ( + 0. )

− ( − 0, )

= 0

(5) 2

( ) 2( ) − 1( ) 1( )

= 0.

1( ) 1′

( ) =

Св-во 3(скачок произв) ′( + 0, ) − ′

( −

0, ) = − (1 ) (6) 2

( ) 2′( ) −

1( )

2( )

− 1( )

− ( ). Из (5) и (6) получаем СЛАУ относительно 1( ), 2( ): 1′( )

2′( )

2( )

−

∆= 1 2

( ) ≠ 0 на

[ , ]

! реш ∆1=

2(( ))

, ∆2= −

1(( ))

( ) = −

∆∆1

( )

, 2( )

Таким образом, ( , ) =

−

1( ) 2( )

≤

2( )

∆2

( )

( ) 1 2( )

−

( ) 1 2( )

∆ = −

( ) 1

2( )

−

2( ) 1( )

≤ ≤

( ) 1 2( )

3. Единственность. Пусть ( , )и ( , ) −для ФГрассматриваемой КЗ.Их разность ( , ) =

( , )

− ( , ) облад след св-вами:

( , ) (П)

[ , ) ( , ]

( , )

= 0 поперем x

( , )

( , ) ′( + 0, )

− ′

(

−

0, )

0 (т.к. обл ф-ия ′ и ′ имеютодин скачок)

Г ( ( , ))

= 0

поперем х

( , ) Г ( ( , ))

= 0

Из 2 ′′ ( , ) =

( )

но тогда из 3 получим, что прав часть непрер в П

−′( ) ′( , )+ ( ) ( , )

( ( , ))

( , ) уд ур-ию ( , )

= 0

[

, ] и однор условиямГ

= 0

т.е. по условию

≡ 0

( ) = 0

( , ) ≡

( , ) в П

( ( , ))

= 0

( ) = 0

(

)

(

)

(

)

( ) = 0

(

)

([

])

, где

Теор2. В услов Т1.

! реш КЗ(1) , причем (7)

= ∫

( , )

−ФГ КЗ (2)

		Док-во:																											( , ) = −																						1											1( ) 2( ),																							≤ ≤
1.	Существование.																												( , ) = −																		( ) ( )														2				( ) 1( ),																							≤									≤				Пусть ф-ия ( ) оп-ся соотн (7),
	тогда (8)																							= −																	∫				1( ) ( )																−					( )								∫					2( ) ( )																				Покажем, что ( ) дейс реш КЗ (1).
																		(			)												2(							)					1( ) ( )																			1															2( ) ( )
	(9)																	(			)												2(							)					( ) ( )																			1															( ) ( )																								+
	(9)														= −																	∫																	−									2( ) 1( ) ( )																				−														∫						2( ) ( )					+					2( ) 1( ) ( )
									′(				)											2′		(			)							1( ) ( )																						2( ) 1( ) ( )																									1′(						)									2( ) ( )										2( ) 1( ) ( )
	−								′(				)											2′		(			)									( ) ( )																						( ) ( )																							1′(						)									( ) ( )								=			( ) ( )
	−																				′			=																							∫				1( )									( )					+																								∫			2( ) ( )													′	=
						′( ) ( )														∫											(						)			2′	(		)								( ) ( )																					(						)			1′(						)								( ) ( )												−																	=
																			′	∫					1( ) ( )																	+				( ) 2′( ) 1( ) ( )																						+																														′	∫	2( ) ( )							−				( ) 1′( ) 2( ) ( )													=
			(				)				2′(				)										( ) ( )														+																(	) ( )																							(				)				1′(							)						( ) ( )								,					( ) ( )										=
																∫				1( ) ( )																			+																				∫																				+																= −							∫						,									+						=
		(		)					2		( )									1( ) ( )																							(					)		1		(					)			2( ) ( )																										(				)										( )							(			) ( )										( )
		(		)					2		( )									( ) ( )																							(					)		1		(					)				( ) ( )																									(				)										( )							(			) ( )					=					( )
	−( ) ( )																+ ( ) . Т.е.−′( ) ( ) ′																																												+				( )										( ) ≡ ( ) на [. ]. Из (8)																																			( )					=		+								=
	−				( )							∫			2( ) ( )																				. Из (9)																								= −														∫						2( ) ( )															.Тогда Г															=								+								=
			1												2( ) ( )																																			′(						)								1′(						)									2( ) ( )																									(			)				1		(			)					2		′( )
			1													( ) ( )																			∫															′(						)								1′(						)									( ) ( )																									(			)				1		(			)					2		′( )
	−																+																		∫						2( )								( )				= −Г																						∫																				= 0. АналогичноГ																								= 0. Т.о.
					1					1		(		)									2				′(					)									2( )								( )															(					1)									2( ) ( )																																				(				)								(	)
					1					1		(		)									2				′(					)									( ) ( )																							(					1)											( ) ( )																																		(				)								(	)
2.	явл решением КЗ (1).																																																и ( ) −решение КЗ(1). Рассм ( ) = ( ) −																																																														( ).Тогда ( ) уд
2.	Единственность. Пусть ( )																																																и ( ) −решение КЗ(1). Рассм ( ) = ( ) −																																																														( ).Тогда ( ) уд
	КЗ							( )							= ( − )																						= ( )											− ( )												= ( )									− ( )																= 0								Но одн КЗ по усл имеет только трив
	КЗ														Г					( )						= Г										( − )												= Г ( )													− Г					( )									= 0																		Но одн КЗ по усл имеет только трив
																Г				( )						= Г										(				− )								= Г								( )					− Г ( )														= 0
	реш ( ) ≡ 0 ( ) ≡ ( )																																																					#																	( )															([ , ])														ФГ КЗ(2) однор КЗ (2) имеет
Сл.Поскольку ( )																										≥				0							> 0						( )														1([ , ])														( )															([ , ])														ФГ КЗ(2) однор КЗ (2) имеет
только трив реш и реш неоднор.КЗ ! и опр формулой (7) однор КЗ имеет только трив реш.
Замеч. Линейное ур-ие																																		(10)												( )							′′				+					( )						′		+										(′		′)							= ( ) с непр на[a,b]																							коэфф,										( ) ≠ 0, и
																																											0										′′								1							′										2																																											0
																																																				= ( ) −( ( )																														)			+								( ) = ( ) путем умнож на −( )																																=
непр ( ) приводится к виду ( )																																																				= ( ) −( ( )																														)			+								( ) = ( ) путем умнож на −( )																																=
	( ) ∫							( )										при этом можно взять ( )																																													= −( )																					( )							,				( )					= −( ) ( ) . Однако ФГ можно
01					1																																																																													2
строить и непосред для ЛЗ дляур (10). При этом условие 3 имеет вид ′( + 0, ) −
′( − 0, )													=			01( ) В ост построение аналогично.																																																												2 ′								( ) + 3 ( ) + 4																						′( ) = 0,
Замеч. Если КУ не раздел и имеют вид 1 ( )																																																													+															2 ′								( ) + 3 ( ) + 4																						′( ) = 0,
1 ( ) + 2														′		( ) + 3													( )											+ 4								′	( )							=				0.								1										2							3										4				= 2, то ( , ) в виде
1 ( ) + 2																( ) + 3													( )											+ 4									( )							=				0.											1										2						3									4			= 2, то ( , ) в виде
(11) ( , )																			1			( ) 1								( )									+ 2					( ) 2( ),																	≤							≤
(11) ( , )													=						1( ) 1											( )									+ 2( ) 2( ),																						≤ ≤																				Где 1												( ), 2( ) −произв ФСР однор. ур-ие
(10). Из св-в 1 и 3 ФГимеем СЛАУ.																																																					′						( )							′	( )																	( )					−										( ) =						1					котимеетед реш
																														2( )																												1	( )						2		( )														1			( )					−								1		( )						0
(12)		1( )										= 1( ) −																		2( )																									1				( )					2			( )												2					( )					−						2				( )					0( )
		1( )										= 1( ) −																0( ) ( )
		2( )										= 2							( )					+						1( )
		2( )										= 2							( )					+				0( ) ( )																													и 2( )										из КУ. Послеэтого получим 1( )																																														и 2( )										ФГ.
Подставив(12) в (11),найдем 1( )																																																									и 2( )										из КУ. Послеэтого получим 1( )																																														и 2( )										ФГ.
Замеч. Аналог образом можно строить ФГ если КЗ рассм на																																																												[ , +∞),						(−∞, ], (−∞, +∞). А также в
случае,когда ( )																										обращ в ноль на одном из концов. при этом КУ могут иметь спец вид.
Обычно это условиеограниченности на соотв конце.																																																															[ , ]
Теор3. ФГКЗ (2)																						симметрична : ( , ) = ( , )																																																							,

	Док-во: Рассм ( , )	=		1	1	( ) 2( ),		≤		≤		1( )	2( )
	Док-во: Рассм ( , )	=	′− ( ) ( ) 2			( ) 1( ),		≤		≤	( ) = 1′( )		2′	( ) =фор-ла
Остр-Лиув= (0) exp −∫		( )		=	(0) (0)					= (0) (0)		=				,		= ( , )
#	0		( )		( )		( )		( )						(		)
#

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете Интегральные уравнения и вариационное исчисление

#
28.01.2025274.74 Кб0Билеты ряды Горячев.docx
#
28.01.2025808.56 Кб2Билеты экзамен Иванова.docx
#
28.01.2025207.02 Кб0Вопросы по рядам горячева 4 сем.pdf
#
14.06.202588.7 Mб0Вышмат 4 сем Ф.pdf
#
29.03.2025410.54 Кб1Демидович_Фурье.pdf
#
04.06.20251.07 Mб0ДИУ иванова билеты.pdf
#
04.06.202588.7 Mб0Интегральные уравнения сем 4 билеты.pdf
#
04.06.202586.91 Mб0Интуры 4 семестр.pdf
#
04.06.2025271.12 Кб0таблица фазовых портретов.pdf
#
04.06.20253.89 Mб0Хорошие_Интегральные уравнения 4 семестр.pdf