Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

ДИУ иванова билеты

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.06.2025

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

1−−1

( 2, 1) <

> 0

= log ((12−, 1)) + 1

( , )

< { } −фунд

lim

. Покажем,что

явл. неподв. точкой А.

Покажем, чтоА-непр. lim (

) =

(

→∞

), (

) ≤

(

) →

(

), (

) → 0. Тогда

→∞

) : 0 ≤ (

= lim

→∞

lim

(

) = (

) т.е. (

) =

. Докажемединственность: Пусть

(

: (

) =

→∞

−1

0.Тогда ( 1, 2) = А( 1), А( 2) < ( 1, 2). Но0 < < 1

2. Предположим ( 1, 2) ≠

( 1, 2)

< ( 1, 2) −противоречие 1

= 2

Опр.Пусть А – непрер.ЛО : → и > 1 = … ≡ , −сжимающий.

Тогда А назыв.обобщенным сжим.

Теор. Всякий обобщ. сжим. опер. А : → имеетед. непожвиж. точку в

Док-во: Пусть ≡

−сжим. и x – непр. т С,

т.е. ( ) =

вып., что ( )

( ) =

( ) = комм.=

( )

( ) =

( )

( ) = . Докажем

→∞

единственность. Всякая неп. точка А явл.неп. точкой С. Но С – сжим. имеет ед. неп. т. А

имеетед. неп. точку.

18.Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. ТСЕ решения интегрального

Интегральные уравненияФрунгольна II рода (ИУФII).

уравнения Фредгольма 2-го рода.

(

)

(

)

Рассмотрим уравнение (1)

(

)

= ( )

− ∫

П =

{ ≤ , ≤ } , −числовой параметруравнения,

( , ) С(П), ( )

([ , ]) −заданныефункции

( ) −неизв. функция, кот. будем считать ([ , ])

Опр. (1) назывюИУФII, ( , ) −ядро ИУФII

Опр. Если ( ) ≡ 0 на

[ , ], ИУФII назыв.однородным,в противном случае – неоднородным.

Опр. ( ) ([ , ]) назыв.частнымрешениемИУФII, если при подстановке внего ( )

получаем тождество.

Теор. ( ТСЕрешенияИУФII)

Пусть ( , ) С(П), ( )

([ , ]).Тогда придомт.малыхзначениях | | ! реш. ИУФII ( )

([ , ]). (:| | < ( 1−) , где

= sup | ( , )| )

Док-во: Если = 0, то ( )

≡ ( ) −ед. решение. Пусть ≠ 0. Поскольку ( , ) С(П)

sup| ( , )| ≡ . Рассм. ЛОА : ([ , ])

→ ([ , ])(напомним, что ([ , ]) −банахово)опред.

(

)

([

])

( )

(

)

(

)

(

)

. Покажем, что А сжим. при

след образом:

+ ∫

дост.малых | |. Рассм. 1( ) , 2( ) , где 1( ), 2( ) ([ , ]).

( , ) 1( ) −

1( ) , 2( ) = | ( 1)

− ( 2)| = sup| ( 1)

− ( 2)|

= sup

( , ) 2( ) =

| | sup

[ , ]

≤

[ , ]

∫

1( ) −

( , ) 1( ) − 2( )

| | sup | ( , )|

∫

[ , ] ∫

2( ) ≤ | |

1( )

− 2( ) ≤ | |

sup| 1

≤

= | |

( ) − 2( )|

∫

[ , ]

∫

| 1( ) − 2( )| ( − ) = | | ( − ) ( 1, 2), то А – сжим. опер. т.к. ( 1), ( 2) <( 1, 2), где 0 < = | | если( −этавел) <.<11, т.е при | | < ( 1 ). Т.о. А сжим. ЛО.Онимеетед. непод. точку : ( ) = ( ), т.е. ( ) + ∫ ( , ) ( ) =− ( ) и т.о. ( ) явл.един.решением ИУФII(1) .

Замеч. Т.о.стартуя с непр. ф-ии можно найти решение ИУФII методом посл. приближ.

19.Интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода. ТСЕ решения интегрального уравнения ВольтерраТСЕ решения2-го родаинт. . уравнения Вольтера 2 рода (ИУВII).

Рассмотрим плоскость

											∆= { ≤								≤			≤	}				( , )											(∆)				( ) ([ , ])														−числовой
											параметр.									)							(					)		(			)
Рассмотрим уравнение (1)																		(		)		−					(					)		(			)	= ( )
Рассмотрим уравнение (1)																						−	∫					,										= ( )
Опр. (1) назыв. ИУВII
Опр. Если ( ) ≡ 0, то уравнение однородно, в противном случае– неоднородно.
Теор. Если ( , )										(∆), ( )									([ , ]), то																			! непр. решение ИУВII																				+
		(Док)-во(:				) ([ , ]) = , рассмотрим оператор А : →																																					.		(2)					( , ) = ( )								+
∫		,					. Докажем,что А – обобщ. сжим.оператор. Сначала докажем,чтоА – непрер. :
Рассмотрим {								( )} −пос-ть непрер. функций, ( )																																→ 0( ) ([ , ])																							t
0≤ρA(φ			n	),A(φ				) = \|A(φ )-A(φ														)\| = max\|A(φ											n		)-A(φ					)\| = подставим											(2) =max λ K(t,s)φ (s)-
			n				0						n								0				[a,b]								n					0																[a,b]								a			n
0											t	≤M							≤ρ(φn,φ0)																																			n		0			t			a
0											t	n 0																																										n		0			t		ds =
φ (s) ds ≤\|λ\|max a												\|K(t,s)\| \|φ								(s)-φ					(s)\|					ds ≤ max\|K(t,s)\|=M≤\|λ\| M ρ(φ ,φ ) a																															ds =
\|λ\| M ρ(φ				,φ		[a,b]											),A(φ )≤\|λ\|																				∆		,φ ) ≤						\| \| ( − ) (												,			)		0
\|λ\| M ρ(φ				,φ	)(t-a)≤ρA(φ												),A(φ )≤\|λ\|												M (t-a)ρ(φ										,φ ) ≤						\| \| ( − ) (												,			)		0
			n	0											n							0																n			0																					n→∞
			n	0											n							0																n			0									огр.									0			n→∞
( ), (						) 0 −непрер. оператор. Док, что																																												огр.					→0
( ), (						) 0 −непрер. оператор. Док, что																																													−сжим. оператор.
					0			→∞
Рассмотрим непр. 1												( ), 2( ) и ( 1), ( 2) ≤ \| \| ( 1, 2)( − )																																									−											≤
			,		(				=												−								2)				= max								∫			(	,				)				−											≤
\| \|	2(	1)		2	(		2)			)		2	(	(				1)								(			2)			(			1		[ , ]				(			(		)			)		1(	)		(		1			2(				)
\| \|						1(				)		2	(		)					≤			\| \|2								2	(			1			2)			(		−			)				\| \|2			2	(		1			2)					2!
	∫										,									≤																,			∫				−				=											,					(− )2
																																																															(− )2
3( 1), 3( 2) ≤ ≤													\| \|3					3 ( 1						, 2)						(−3! )3					и т.д.				( 1				, 2)							!
( 1), ( 2) ≤ \| \|																( 1, 2)										!					≤ \| \|								( 1				, 2)							!
																									(− )																							(− )

lim

= 0

→∞

( 1), ( 2) ≤

( 1, 2)

0 ≤

( 1), (

| | ( −)

( 1, 2) , 0 < =

< 1

2) ≤

− сжим.опер.

| | ( − )

А −обобщ. сжим. !непрер.точка ( ) ( ) = , т.е. ( ) +

(

А − непр.

)

(

)

(

)

−решение ИУВII. #

∫

20.Интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Его

эквивалентность СЛАУ.

)

ИУФII с вырожденным ядром.

Рассмотрим уравнение (1)

(

−

(

)

(

)

= ( )

∫

где ( , ) =

∑ =1

( ) ( )

(2);

([ , ])

Опр. (1), (2) – ИУФII с вырожденным ядром.

получим

−

−ЛНЗ на ,

. Подставим (2) в (1),

∫

[

]

( )

∑ =1

( )

(

)

(

)

Если

( ) −решение,имеемтождество Если ( ) −решение,тооноимеетвид: ( ) =

∑ =1

( )

= ∫

∫

;

= ∫

( )

(

)

( )

∑ =1

( )

+ ∑

= 1,

…

↓

+ ↓

( − )

↓

(4)

det( − )

наз.

Фредгольма = ( ). Если ( ) ≠ 0, то (4) ед. реш. Тогда

определителем

функция ( ) будет реш.ИУФII с выр. ядром (1) (2)

Т.о. (1) ~ (4)

Опр. Корни уравнения ( ) = 0 наз хар.знач.вырожд.ядра.

Рассмотрим 4 кв. СЛАУ порядка n

Некоторые сведенияиз ЛА.

(2)

(1) ↓

= ↓

↓

(3)

↓

= ↓

(4)

↓

= ↓

Опр.Система (3) назсопряженной к системе (1) (и наоборот)

Опр.Система (4) назсопряженной к системе (2) (и наоборот)

( ).( ) +

Теор1.(Альтернатива Фредгольма)

Либо (1) имеет ед решение ↓, либо система (2) имеет нетривиальное решение. (док. вЛА)

Теор2. Ели1 случай альтернативы имеетместо для(1),(2), то он также имеет место для сопр.

систем (3),(4). Аналогично и для 2 случая альтернативы.

Док-во:det = det

Теор3.Сист (2) и (4) имеют одно и то же количество ЛНЗ решений

Док-во: ихn-1 сист, где = =

Теор4. В 1случае альт (1) имеетреш ортагональна любому решению однородной

↓

∑

сопряженной системы (4) (т.е. ↓

↓ =

↓

вып , ↓ ≡ ( , ) = 0

= 0)

Док-во:. Пусть (1) совм , т.е.

, тогда

= (

)

= асс =

↓

↓ =

↓

= 0 орт реш однор сопр системы.

↓ = 0

. Пусть ↓

↓

−она несовм.

= ↓ вып, что , ↓ = 0. Тогда рассмотрим систему

↓ = 1

| 0

…

( ) =

…

| 0

↓

| 1

(1) совм #

21.Сопряженные↓

СЛАУ. Теоремы Фредгольма для СЛАУ (Т1-Т4)

(

)

Теоремы Фредгольма дляИУФ2свырожденным ядром.

ИУФ2

−

(

)

( )

(

)

(0)

∫

(

)

−

(

)

( )

′(

)

называется сопряженным к ур-ию(0).

уравнение

∫

Рассмотрим :

(

)

(

)

( )

(

)

(1)

−

∫

= ( )

(

)

(

)

( )

(

)

(2)

−

∫

= 0

′

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(3)

−

∫

(

)

( )

(

)

(

)

(4)

−

∫

= 0

′

([ , ])

− ЛНЗ

, , ,

= 1,

− ЛНЗ

Теоремы Фредгольма:

Теор1.Либо ур-ие (1) имеетед непр решение при любой непрерывной правой части, либо (2) имеетнетривиальноерешение.

Теор2. Если 1-ыйслучайальтернативы имеетместодляур-ий (1),(2), то он же имеетместодля

ур-ий (3),(4). Аналогично во втором случае альтернативы.

Теор3. Ур-ия (2) и (4) имеют равное числоЛНЗ решений.

Теор4.Вовтором случае альтернативы (1)имеетрешение ( ) ортог любому решению ур

(4) ∫

(

)

(

)

= 0

Доказательствовсехтеорем :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

′)(

−

)

~ 1

↓

↓,

где =

∫

= ∫

( ) = ( ) +

∑ =1 ( ) ≡ ( ) + ( )

( ) = 1( ) … ( )

(2)~(2

′

)

(

↓

− )↓

↓

(3)~(3

, где =

= ∫

, т.е

при этом

′

−

↓

′

)

(

′

)

′

(

)

(

)

′

( ) =

( ) + ∑

( ) =

( )

( ) …

( )

′

+ ( )

( ) =

′

(4)~(4

′

)

(

′

)

′

↓

−

↓

Теор1. 1 случай альтернативы:(1) имеет ед решениепри непрерывной правой части

С =

имеетед решение

(1′)

det( − ) ≠ 0 сист

(2′)

имеет только тривиальное решение

≡ 0

↓

↓ (2) имеет только решение ( )

= 0 + ( )↓

2 случайальтернативы: (2)имеетнетриврешение (2′) имеетнетррешение

det( − ) = 0 ( − ) <

′

)

(1′)

несовм

т.е (1′) не имеетед решения (1)

не имеетед решения.

беск много реш

= .

Теор2. Пусть 1-ыйслучайальтернативы реальзуетсядляур-ий (1) (2). Тогда ( − )

Но при этом (

− ′) = ( −

)

= ( −

)

( − )

1 случайальтер

′

реализуется для(3 ) (4 ) и соотв. для (3), (4). Ед решение (3) : =

, где

−ед

( ) + ( )

↓

реш (3

′

). Ед реш (4) :

−ед реш(4

′

= 0 + ( )↓ = 0, где

↓

= <

Пусть 2-ой случай альтернативыреальзуется для (1) (2).Тогда ( − )

(

− ′)

= < . Соот(4′) имеет нетр реш (4) имеет нетр реш, а

(3′)

несовместна

(3)не имеет решений

(3′) имеет беск много реш

соот (3)имеет беск много реш. Т.о. 2 случай альт имеетместо и

для (3) (4).

Теор3. Если ( − ) = , то (2) и (4) имеет только трив реш (кол-во ЛНЗ реш в обоих

случаях =0). Если ( − ) < , то

имеет

( − ) ЛНЗ решений(ФСР). Пусть

( − )↓

↓

это

1, … ,

− . Тогда

Со.о = α1

1 + + − −

(

−произвольные постоянные) =

↓

−

↓

1 ↓

↓

…

↓

= ( ) ↓

= ( ( ) )↓

= ( )↓, где

↓

= −. Тогда решение (2) ( ) = ( )↓

( )

= 1

( ) … −( )

−строка решений :

( 1

… −) = ( 1

… −) ↓1

… ↓−. Т.о. любое

решение

( )

явл линейной комбинацией функций 1( ) … −( ). Покажем, что

( ) … −( )

−ЛНЗ. От противного. Пусть нетрив набор 1

… − 1 1( )

+ +

= ( )

− −( ) ≡ 0 на [ , ]. Это равносильно ( )↓

= 0.Тогда ( )↓ =

( ( ) )↓

↓ =

( )↓

≡ 0, где ↓

−ненулевой столбец (т.к. ↓ ≠

↓, а столбцы D – ЛНЗ ). Это обозначает, что

нетривиальный набор 1

…

1 1( ) + + ( ) ≡ 0. Но 1( )

… ( ) −ЛНЗ.

Противоречие. Оно возникло изпредположения, что 1( ) … −( ) −ЛЗ. След ониЛНЗ. Т.е

любое решур(1)можетбыть представленов виде ( ) = 1 1( ) + + − −( ), т.о ур-ие

(2) имеет ( − ) ЛНЗ реш.

( Опр.любой набор из (n-r) ЛНЗреш будемназыватьФСР ур (2)). Аналогично для (4) имеем,

что ( − ′) = ( − )

= < и т.о реш (4) м быть предст в виде ( ) = 1 1

( ) +

+ − −( ). Получим,что (2) и (4) имеют одно и то же ЛНЗ кол-во решений, именно (n-r).

Теор4. Пусть имеет место 2 случай альтер,ур-ие (1) имеет реш (1′) совм ортог реш

′)

1′

′

= 0 (

′

−любое реш(4

′

))

∑ =1

(

)↓ (

)

т.е выполнено, что

+ +

∫

(

) ∑ =1

(

)

= ∫

(

)

= 0,т.е. ( ) ортог произ решению(4)#

′

(

↓

Видим, что 1 и 2 случаи альтернативы реализ в зав-ти от того, явл ли число корнем ур-ия

det( − ) = 0

(или ( ) = 0), наз хар. Если явл корнем ур-ия ( ) = 0, то реализ2 случай

альт, а если не корень, то реализ 1 случай.

22.Сопряженное уравнение. Теоремы Фредгольма для интегрального уравнения
Замеч. Рассмотримтеперь ИУФ2 с непр ядром
Фр дголь							2-го рода с вырожденным ядром (Т1-Т4)
(5)	( )							(	) ( )						(	)
(5)	( )			− ∫				( , )			( ) =							)
(6)	( )			− ∫				( , )			( ) = 0				′(			)
(7)			)	− ∫				, =
(8)	(		)	−				(	)	( )		= 0
(8)				−	∫				,			= 0
( , ) (П),							( ), ′( ) ([ , ])
Для ур-ий (5) – (8)имеютместотеоремы1 – 4 с некмодификацией
Теор1. Либо (5) имеет ед реш непр f(x), либо (6) имеет нетривреш.
Теор2. Если 1 случ альт выполняется для (5) (6) , то он же выпол для (7) (8). Аналогично и во 2
случае альтернативы.
Теор3. Ур-ия (6) и (8) имеют одно и то же конечное число ЛНЗ решений.
Теор4. Во 2случ альтер (5) имеет реш ( ) ортог любому решениюур-я (8)
∫						= 0.
	(	)		(	)
#принимаем бездок-ва# (Эта теорема Фредгольма для ИУФ2 с непрер. ядром)																														(		)
Рассмотрим ЛОА ,действ в													([	,			])		(	)	([	,	])	(	)		(	)	( )	(	,	)
Рассмотрим ЛОА ,действ в														,								,				= ∫		,		, где	,
(П)

Опр.А назыв оператором( ) Фредгольма( )

Опр.Значение = ( − ≡ 0) назывхарактеристическимизначениями оператора Фредгольма (илихарзначур-ия (6))

Опр. Если( )−хар знач( ., то в)соотв с теор Фредгольма имеет место 2й случай альтернативы, т.е ур-ие = ( − ≡ 0) имеетнетриврешение.Этинетррешенияназ собственнымифункциями,отвечданномухарзнач Замеч. Можно заметить, что хар знач обратно ненулевомуСЗ оператора Фредгольма.

23.Линейные операторы (ЛО) в ЛНП. Ограниченные ЛО. Норма ЛО. Непрерывные ЛО. Свойства ограниченных ЛО и нормы ЛО. Пространство Теорема о банаховости пространства B→B.

Линейныеоператоры в нормированном ЛП.

Пусть X,Y – ЛНП и A – ЛО : →

Опр.А называетсяограниченным,если > 0 ( || || = 1) | ( )| ≤ . В

противном случае А назыв неограниченным.

sup | ( )|.

Опр. Нормой огранич ЛО А назовем число | | =

Если А – неогр ЛО, то | | +∞

| |=1

, если ( { } →

( ) →

Опр.А назовем непрерывным вт 0

( 0) т.е.| − 0| → 0 | ( ) − ( 0)| → 0

Теор. ЕслиЛО А непрер в т 0

, то он непрер навсемX

→ , то − + 0 → 0. А

Док-во: Пусть x – произвольный элемент X. Тогда если

непрернаэл-те 0

| ( − + 0)

− ( 0)| → 0 | ( ) − ( ) + ( 0)

− ( 0)| → 0

| ( ) − ( )| → 0, т.е. ( ) → ( )

({ } −произв пос-ть сход к x) #

Свойства ограниченного ЛО.

1. А огр > 0 | ( )| ≤ | | (фактич это будет эквивопр огранич ЛО)

Док-во:. Пусть А – огр | | = 1 | ( )| ≤ . Пусть теперь | | = ≠ 0.

Тогда =

1 | | = 1,т.о. | ( )| = = =

≤ = | |.

При = |

| = 0 очев выполнено | ( )| = | ( )| = | | т.е.выполнено.

. Пусть | ( )| ≤ | |.Тогда | |

= 1 | ( )| ≤

| | =

− огр. #

Сл. ЕслиА– огр , то | ( )| ≤ |А| | |

2. А – огр А – непрер.

Док-во:. А – огр | ( )| ≤ | | | ( ) − ( )| = | ( − )| ≤ | − | →

0 (при → ) Т.о (из →

( ) → ( )) А – непрер

| | = 1, но | ( )| > .

. А – непрер. Предположим, что А – неогр.Тогда { }

Тогда

| ( )| >

= 1. С другой стороны

− =

0. В силу

| |

→∞

непрерывности А − ( ) → 0 но − ( ) = − = > 1

противоречие. Оно возникло изпредположения, что А неогр А – ограничен#

Напомним,что совокупность всех ЛО действующих изЛПX в ЛПY с обычными операциями

сложенияи умножения на числа также образкет ЛП.Мы его называли раньше ( , ).

→

Совокупность всех ограниченных ЛО,действ из X в Y с нормой , опред выше, обозначим(

). Это будет линейноенормированное пр-во.

Замеч. В общем случае вычисление нормыЛО затруднительно,но ее можно оценить.

Пример. = ([ , ])

П =

[ , ]

([ , ]) | | = max[

| ( )|.

(

)

(

)

ф(

)

, ]

(

)

(

)

(

)

Рассмотрим интегр. опер Фредгольма А:

∫

(П)

Утв.Аф −ограничен

[ , ]

(

)

(

)

[ , ]

(

| (

≤

( − ), т.е.

Док-во:

= max ∫

max ∫

| ( )| ≤ | |, где = 0( − ), т.о. | |

≤0=max| ( , )|

≤ 0( − )

, ( → ), то|| + || ≤

|| || + | |

[ , ]

sup | ( ) + ( )|

≤

sup | ( )|

+ | ( )| ≤

Док-во: |

+ | =

sup |( + )( )|

sup | ( )| +

| | =1

| |=1

sup | ( )| = | |

+ | |

| |=1

(

| |=1

( )( )

( )

Имеет место

Пусть A,B

→ ), то можно рассмотреть

неравенство | | ≤ | | | |

sup ( ) ≤

sup | | | ( )| = | |

Док-во: |

| =

sup |( )( )| =

| | =1

| |=1

sup | ( )| = | | | | #

| |=1

Сл. Для … имеет место | | ≤ | |

{ }, { }

раз

→ )

→ ,

→

(

→ ), тогда

→

(

| +

Док-во:0 ≤ | − |

= |

−

| ≤ |

−

| − | = |

(

− )| + |(

−

)

| ≤

| − |

− |

| | → 0 #

огр

→0

огр

( → ) ( −банахово)

Рассмотрим теперь

Теор.ЛНП всевозможогрЛО,действ из в также явлбанаховымЛП (т.е. оно полное).

Коротко ( → ) − полное.

> >

Док-во: Пусть

{ }

( → ) −фундамент,т.е > 0 ( )

− | < . Покажем,что

пос-ть { ( )}

тоже является фундаментальной. В самом

деле: | ( ) − ( )| = |(

− )( )| ≤ | − | | | ≤ | | = ̃.Но { ( )} ,

которое полное в силу фундам оно сходится к эл-ту , т.е. lim

( ) = . Тогда пос-

ти {

} сопоставим оператор А :

( ) = = lim

( )

→∞

очевидно, А- линейный.

Покажем, что ( → ), т.е. lim

= А.

→∞

( ) − ( )| =

− | =

sup |

→∞

| |=1

sup |

( ) − | 0 т.к. lim

( )

= #

| |=1

→∞

Опр.Такая сходимость линейных операторов (по норме) назывравномерной сходимостью в

отличие от поточечной

( ) → ( ) (рассм в каждой точке

)

24.Ряды в B→B. Обратный оператор. Резольвента. Приложение к ИУФ2, ИУВ2.

Итерированные ядра. Резольвента

ра.

Пусть { } ( → )

Рядыв

( → )

+ 2

+ + +

= ∑=1∞

Опр.Рядомлинейныхопреаторов назовемформальносумму 1

Опр. =

∑ =1

назовем частичнойсуммойЛО.

то полагают∑

∞

Опр. Если lim

(

→ ) |

− | → 0,

→∞

Резольвента.

Пусть

( →

). Напомним, чтоС назыв обратным кА,если = = Об. С = −1

ВЛА док-ся, что −1 явллин оператором и опред ед образом.

Рассмотрим теперь ЛО ( − )

Опр.Значение такие, что ( − )−1 существует и ограничен назовем регулярным.

Замеч. Пусть = ([ , ]) ,

( → ). Тогда всякое ур-ие ( −

) = имеетед

решениеесли −регклярное значение. = ( − )−1

∑=0∞

≡ +

∑=1∞ (1)

Теор. Пусть

( → )

и | | =

< 1.Тогда !

( − )−1 =

Док-во: Рассмотрим

= ∑ =0

. Докажем, что (1) сход. (т.е. что −фунд) | − | =

|∑ =+1

| ≤ ∑ =+1 | | ≤ ∑ =+1 | |

= ∑ =+1

< т.к. ∑=0

−сход, т.к. 0 < < 1

∞

( → ) т.к. оно полное.

{ } −фунд.

0 ( )

> > |

− | <

→

Покажем теперь, что

−1

= −. Рассмотрим ( − )

= lim

(

− ) = lim (

+ + +

) ( − ) = lim ( − + −

+ − +

−

→∞

( −

)

→∞

Θ −

) = lim

= т.к.

→∞

− Θ| = |

нулевой оператор, потому что0 ≤ |

| ≤ | |

0. Аналогично

→∞

(САМОСТОЯТЕЛЬНО) доказать, что ( − ) = .Такимобразом

( − )

обратный дляS и

наоборот. Обр опер также явлЛО. Покажем, что он ограничен : | | = |∑=0∞

| ≤

∑=0∞ | | ≤

∑=0∞

| |

= ∑=0∞

1−1

= > 0

−огр. Единственность:Пусть и ′ − обратные к

( − ), тогда ′

= ′

= ′ ( −

)

= ′

(

− )

= =

Сл. Если																				( → )																		\| \|								= < 1, то ! лин огр оператор																																													( −						)−1							=					∑=0∞ ( )																	=			∑=0∞
Т.о. поскольку \| \|																																					= \| \|								\| \|								=							< 1 ,										то в этом случае																( − )−1															существует при																											\| \| =			\|1\|
																															(				)												(								)				(		Приложение к ИУФ2.																															(			)					(		)						(				)								([								])
Рассмотрим (1)																															(				)												(			,					)				(			)								+			(			)			(	,				)								(			)		,			(		)	,					(				)								([			,					])
Рассмотрим (1)																																						= ∫												,																				+										,														П			,						,																				,
Введем ЛО Аф																															([ , ])																						=																			)																																		ф(							)
А	ф( )									=											(		,						)					(				)					очев,														(															)													ввиде														= А							ф(							)		+ или
А										=			∫										,																				очев,																				→ . Запишем (1)																						ввиде														= А																+ или
			−					Аф ( )													= . При Аф																												< 1 (нап, что мы оценивали Аф																																																= (								−					), где =
																																					\| \|									1																																				ф			−1			( ) = + ∑																	∞															( ) = ( ) +
	П																																											( −)																																						ф																							=1												ф
	П																																								<												)		получим																			= −					А
max\| ( , )\|, т.е. при																																									<												)		получим																			= −					А
∑=1∞															( )						=											+						∑=0∞						+1											( )					=										+						( )

= + ( ) (2)																																								−линопер
Изучим
	(				)													(		,						)						(		)							=							1(				,					)			(				)
	(				)													(								)						(		)														1(									)			(				)
								= ∫																																			∫
	2		(				)												(					)																														(		,				)					(				)				=										(	,				)					(		,			)									(				)
	2		(				)												(					)																														(						)					(				)														(					)					(					)									(				)
										=																		= ∫										( , ) ∫																																						∫	∫

																																																																																					2( , )
	2		(				)												2(					,						)				(				)	, причем																\|			1(			,							)\|				≤								1						(			)													\|				2(					,					)\|		≤							2		( −			)
	2		(				)												2(											)				(				)																	\|			1(										)\|												1						(			)													\|				2(										)\|									2
										= ∫																																																																		т.к.													П				, тогда
Рассмотрим далее																																				3(					)			4	(			)										−1(											)															(		)				=									(		,				)					(			)	,					где(3)										(		,			)	=
																																				3(					)			4	(			)										−1(											)															(		)													(						)					(			)																(					)
																																										,									, … ,											\|									, дойдемдо																							∫
						(			,			)				−1						(			,						)								( ≥ 2)																							\|								(		,		)\|		≤		(			−						)−								. Таким образом,																									из (2)									получаем
∫									,																,														( ≥ 2)										причем																							,				≤					−														. Таким образом,																									из (2)									получаем
	(				)				=				(				)		+								∑=0∞																		+1						(	,					)			(				)																											∑=0∞										+1(									,					)			(			)
	(				)								(				)										∑=0∞																		+1						(						)			(				)																											∑=0∞										+1(														)			(			)
																																									∫																									= (!) = ( ) + ∫

		(									)																																																																																					(			( , , )										)															(						)		(	)
		(		, ,							)			−резольвента или разрешающееядро ИУФ2,																																																									т.е.			(4)										)		=						(					+										, ,																	(						)		(	)
				, ,										−резольвента или разрешающееядро ИУФ2,																																																									т.е.			(4)												=											+										, ,								∫
!. Ряд∑=0∞																+1														( , ) ( ) сходравномерно поt, т.к.																																																	\| +1											( , ) ( )\|												≤					\| \|							+1								(				− ) \| \|.
Ряд						∑=0∞							\| \|											+1(											− )								\| \|						=								\|					\| ∑=0∞ \| \| (																		− )								сход при													\| \|				<						( 1−)									т.о. функц ряд
можорируется сход. числ рядом функц ряд сх равнпо Вейерштрассе можно изменить
порядок суммирования и интегрирования.
Опр. ( , )																				опред в (3)называютинтерированнымиядрами.
Вывод: при																			\| \|						<										1						заведомо																	разрешающее ядро ИУФ2																																					( , , ) = ∑=0∞																							+1( , ) и
Вывод: при																			\| \|						<					( −)											заведомо																	разрешающее ядро ИУФ2																																					( , , ) = ∑=0∞																							+1( , ) и
ИУФ2 имеетед решение в виде (4).																																																																			(					)			(		)
Замеч. Если																						(			,							)	обладает св-ом :																																				,			)			(	,	)				= 0,					то такое ядро назыв ортогональным.
Замеч. Если																									,								обладает св-ом :																										∫										,							,					= 0,					то такое ядро назыв ортогональным.
В этом случае ряд для резольвенты состоит из 1 слаг., т.е. сход . Ит.о ! реш ИУФ2 с

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Интегральные уравнения и вариационное исчисление

#
28.01.2025274.74 Кб0Билеты ряды Горячев.docx
#
28.01.2025808.56 Кб2Билеты экзамен Иванова.docx
#
28.01.2025207.02 Кб0Вопросы по рядам горячева 4 сем.pdf
#
14.06.202588.7 Mб0Вышмат 4 сем Ф.pdf
#
29.03.2025410.54 Кб1Демидович_Фурье.pdf
#
04.06.20251.07 Mб0ДИУ иванова билеты.pdf
#
04.06.202588.7 Mб0Интегральные уравнения сем 4 билеты.pdf
#
04.06.202586.91 Mб0Интуры 4 семестр.pdf
#
04.06.2025271.12 Кб0таблица фазовых портретов.pdf
#
04.06.20253.89 Mб0Хорошие_Интегральные уравнения 4 семестр.pdf