ДИУ иванова билеты

+ 2

1

−

−общее решение системы, которое задает. инт. кривыев пр-

(4) = 1 1

1

−1

или = − УПД ;

ве перем. ( , , ). Эту систему можно свести к ОДУ

=

2 − 2

= (5)

10. Функциональная зависимость/независимость первых интегралов.

Рассмотрим системудифф. вΩ функций 1

( ) … ( ) (

≤ )

Опр.Система функций 1( )

… ( ) называется функционально зависимой (ФЗ), если диф.

фун-ия (k-1) переменногоФ( 1, … , −1 ): одна из функций, например, 1( )может быть

представлена ввиде 1( ) = Ф 2( ) … ( ) в Ω.

представить таким образом, то

Если никакуюфункциюиз 1( ) … ( ) невозможнов Ω

система 1( ) … ( ) называетсяфункционально независимой (ФНЗ) в Ω

Замеч. Из линейной зависимости функцийследует ихфункциональная зависимость. Обратное

неверно.

… ( ) ( ≤ )

В мат. анализе доказано, что если для системы функций 1( )

1

1

1

= в Ω

, то при = эта система является ФНЗ, а при < она ФЗ

1

≠ 0), тогда в нек. ( ) Ω

Теор. Пусть = не является т.покоя авт. систем(1) (т.е. ( )

( − 1)

ФНЗ I-инт. сист. (1) (примембез док-ва)

↓

↓

Почему условие = не является т.покоя существенно?

= .

Рассмотрим ̇=

которую можно свести к = =

̇=

Покажем, что соотношение

= неявляетсяI-инт. в 0

≠ 0 −в окр-ти этой точки существуетодинI-инт.

Если бы ( , ) =

явл.бы I-инт в 0, то ( , ) созр. бы пост. значение вдоль любого луча

= , т.о. ( , ) = (0,0) ≡ , но I-инт. не явл.тождественной константой.Кроме того,

= 0 , т.е. нет ни одной ФНЗ функции.

Теор. Если 1( ) … ( ) −система I-инт. сист. (1) в Ω то для диф. ф-ции const k переменных

Ф( 1, … , )

следует что ( ) = Ф 1( ) … ( ) также являетсяI-инт. (1)

в Ω

= 0

Док-во:Пусть ( )

−произв. решение (1), тогда

=

∑ =1

( )

Ф

(

)

( ) сохраняет постоянное значениена любом решении.

=0,т.к. ( )−I−инт. =1,

Теор. Пусть не является точкой покоя сист.(1) . Если 1

( ) … −1( ) −произв. ФНЗ сист.I-инт.

(1) в

( ), а ( )

−тоже явл I-инт. (1) в ( ), то сист. 1( ) … −1( ), ( ) −ФЗ в

( )

Док-во: Поскольку 1

( ) … −1( ), ( ) −I-инт. в ( ), то верно следующее:

(6)

11

1

( ) + +

1

( ) = 0

1

1

( ) + +

( ) = 0

−1

1

…

−1

1

( ) + +

( ) = 0

(6) можнорассм. при =

как ОСЛАУ относительно 1( ), … , ( ). Поскольку не явл. т.

покоя системы, то

0

(6)имеетнетривиальное решение.Этовозможнотолькоесли

↓( ) ≠

↓

1

…

1

1

= < при = 1( ) … −1( ), ( )

−ФЗ в ( )

1

…

−1

−1

…

…

1

= Ф 1( ) … −1( )

в ( )

Сл. Ф( 1, … , −1)

( )

( )

беск. многоI-инт., при этом,

Теор. Если = не является точкой покоя сист.(1) , то в

если 1

( ) … −1( )

−сист. ФНЗ в ( ) I-инт., то I-инт. ( ) сист (1) в ( )

имеетвид ( )

=

Ф 1

( ) … −1

( ), где Ф – произвольная диф. фун-ия своих аргументов.

Док-во: следуетиз предыдущих теорем.

Теорема о получении решения задачи Коши для неавтономной системы с помощью ФНЗ

системы первых интегралов.

(1)

1̇= 1

( 1, … , , )

1 1( )

…

̇= ( 1, … , , )

1̇= 1

( 1

, … , , +1)

(2) ̇= 1

( 1

…

, … , , +1)

̇

= 1

+1

Опр.I-инт. неавтономной системы (1) в области Ω ( ) будем называть I-инт. соот. ей авт.

сист. (2), т.е. это функция ( , ), которая

в Ω,

но сохр. пост. значениеналюбом

решении системы (1)

Теор. (Геометрический смысл I-интнеавт.системы)

Если С −одноиз возможных значенийкоторое можетпринимать I-инт. сист (1), то соотн.

( , ) = Сзадаетв пр-ве перем.

( , ) поверхность целиком сост.из интегральных кривых.

Док-во: ДОКАЗАТЬСАМОСТОЯТЕЛЬНО (аналогично авт. сист.)

Из связи неавт. и авт. системы следует утв.:

штук ФНЗ I-инт. сист. (1)

Теор1. Пусть ( 0, 0) ( ) +1 В окрестности ( 0, 0)

1

0

=

…

Док-во:Замеч. ↓

↓

1

Док-во: из связи с авт.

Теор2. У неавт. системы n-го порядка ( + 1) I-инт. явл. ФЗ

Теор3. Всякий I-инт.неавт.системы (1)можетбыть представлен в виде : ( , ) =

Ф 1( , ), … , ( , ), где 1( , ), … , ( , )

−ФНЗ сист. I-инт. неавт системы (1),Ф– произв.

дифф. функция своих аргументов, не явл. тожд. const.

Док-во: изсвязи с авт. системой.

Замеч. о решени нелин. системы.Знание всякого I-инт. сист. авт или неавт позволяет понизить

порядок системы (кол-во неизвестных) на1, не повышая при этом порядок уравнений

Рассмотрим, например, авт. систему(3)

1̇= 1( 1

, … , )

Пусть (4) 1( 1, … , ) = 1 −ее I-

…

, … , )

инт. в некоторой ( 0), причем

1 |= 0

̇= ( 1

≠ 0. Тогда по ТСЕ о неявной функции ,задаваемое

соотношением (4) :

= 1

( 1, … , −1, 1). Тогда система (3) перейдет в (5)

(5)

1̇= 1 1, … , −1, 1

( 1

, … , −1

, 1)

т.е. система стала (n-1) порядка.Тогда,еслинам

̇

=

, … ,

…

, (

, … ,

,

)

−1

−1

1

−1

1

−1

1

1( )

= 1 … −1( ) = −1, то

известны внекоторой

( 0)

(n-1) ФНЗ I-инт. сист (3)

( 2,.., )

≠

0 в ( 0), и соот. по ТСЕ длясист. функций, задаваемых соотн (6)

( 1,..,

−1 )

= 2( 1, 1

, … , −1)

(7)

2

и соотв. сист. (3) сводится к одному ОДУ сразд перем. 1̇=

…

, … , −1)

−1

= −1( 1, 1

1 1, 2( 1

, 1, … , −1), … , −1( 1, 1, … , −1) кот. всегда инт.в квадратурах.Соотв.получим:

1 = 1

( , 1

, … , −1, ),

а ост. функции определяются подстановкой 1( ) в систему (7) .

Рассмотрим теперь неавт. систему (1) и ЗКдля нее:

̇=

, … ,

,

)

(0) =

1

1(

1

н.у. (8)

1

…

10

(1)

( …1

,

)

0

̇=

, … ,

00, 0

(0) =

1( ) ≡ 1

( );

−внутренняя точка области.

Теор. (О решении ЗКдля неавтсист.)

00, 0

1 00

, 0 = 1

Пусть для неавт. сист. поставлена ЗК (7) ив некоторой

(9)

1( , ), … , ( , ) −система ФНЗ I-инт. неавт. системы (1). Пусть далее

0

0

…

Тогда решениеЗК(8) неявно определяется из соот. (10)

1

( , )

= 1

, 0 =

…

=

(т.е. сист. (10) задает

решениеЗК (8)в неявном виде)

( , )

Замеч. (10)можнотакже записатьслед.образом (11)

1( , ) = 1 00, 0

…

0

, 0

Док-во:Поскольку 1( , ), … , ( , ) −ФНЗ в 0

( , ) = 0

0

, 0, то ( 1

,.., )

≠

0 по ТСЕ для

0

1

= 1

( 1

, … , , )

системы неавт. функций (10) можно разрешить в 0

, 0 в виде (11)

…

, … , , )

причем в силу выбора 1, … , , получим, что 1 (0) = 10, … , (0)

= 0

= ( 1

Рассмотрим теперь решениеЗК(8). Обозначим его = ( 0, ). При t=0 оно удов. сист. (10) т.к.

вып. (9). Но при t>0

1( , ), … , ( , ) сохр. свои значения(т.е. 1, … , ) на решении, т.е. =

( 0, ) будет удовл. сист. (10) и при t>0. Т.е. решение ЗК уд.сист. (10) ≥ 0. А реш. (11)тоже

удовл. сист. (10) ≥ 0. По ТСЕ эти решения совпадают. т.о. решениеЗКопред. соотн. (11) (кот.

пол. путём разрешения (10)), т.е. (10)задаетрешениеЗКв неявном виде.

Замеч. Если придавать компонентам 1, … , произвольные значения, то получим общее

решение сист (1), т.о. общее решение сист (1) имеетвид (неявный)

1( , ) = 1

, где

…

1( , ), … , ( , ) −система ФНЗ I-инт. неавт. системы (1), а 1, … ,

( , ) =

−произвольные

константы.

Поиск инт. комбинаций упрощается при записи в т. наз. симметрич. форме :

Для авт. сист.

1̇= 1

( 1

, … , )

симм. форма получается путем исключенияt (какпарметра из

…

, … , )

1

̇= ( 1

=

11

сист ), т.е.

= 1

перпис. в виде (при условии, что

, … не обращ. в 0 одновр.)

…

…

1

или 11

=

=

= =

(пропорции) это и есть симм. форма записи

1̇= 1( , )

1̇= 1( , +1)

1

Для неавт.сист.

→

…

= =

=

−симм.форма записи для

…

̇= ( , +1) →

1

1

неавт.системы

̇= ( , )

̇+1 = 1

При подборе инт. комбинацийобычно используют след. св-вопропорций

Если

= = =

≠ 0,

≠ 0 −истинная пропорция с общим значением, то

1

2

=

, … ,

≠

0

1

2

1

1

1

+ +

1

1

+ +

Док-во: =

= 1 1 + + = 1 1 + + = ( 1 1 + + )

(1) 1( ) 1 + 2

( ) 2 + + ( ) = 0

, ( ) −непр. диф. в G, ( ) −неизв.

функциянезависимых переменных ( 1, … , ) ивыполненоусловие (2) 12

( )

+ +

2( ) ≠ 0

Опр. Уравнение (1)наз линейно-однородным уравнениемв частных производных 1-го

порядка, т.к. ( ) входитлинейно только через свои производные.

Опр. Непр. диф. ф-ия ( ) опр. в G называется частным решениеммУЧП (1), если при

подстановке в (1) она обращает его в тождество.

Опр.Совокупность всевозм. частных решений образует общее решение УЧП(1)

Опр. Если = ( ) к-либо ч. решениеур (1), то пов-ть = ( ) в пр-ве переменных

( , ) ( + 1) − мерным наз. интегр. поверхностью УЧП (1).

Сопоставим ур-ию(1) систему ОДУ (автономную)

1

= 1( )

1

…

или в симм. форме(4)

1( )

= =

( )

(3)

= ( )

Поскольку ( ) в G явл решением УЧП (1) ( ) − первый интеграл системы (3)

(или(4))

Поскольку вып. усл. (2) (из которого следует, что ни одна точкаобластиG не явл. т. покоя

системы(3))

( − 1)

шт. ФНЗ I-инт. сист (3) (или (4)). Пусть это будут

1

( )

= 1

.

−1

…

= −1

( )

Тогда произв.интеграл (всевозм. I-инт )системы (3) (или(4)) имеет вид: ( ) =

Ф 1( ), … −

( ), где Ф – произвольная непр. диф. функция своих аргументов общее

решение УЧП (1) будет (5) = Ф 1( ), … −1( )

Опр.Сист (4) (или(3)), связ. с УЧП (1) , наз.характеристической системой, а ее решение

характеристиками.

1

Можно заметить, что система уравнений (4) задает вект. линии поля

= { , … , } (Поскольк

вект. линии поля − это линии, касательныйвектор которых в каждой точке коллиниарен

вектору поля) . Т.о. решение УЧП(1) сохр. пост. значение на характеристиках, т.е. вдоль вект.

линий поля.

Геометрический смысл характеристик.

Пусть = ( ) −решение (1).Тогда это соотношениезадает инт. пов-ть в ( , ). Рассмотрим

уравнение ( ) = С, которое задает линии уровнения поверхности = ( ). На линии

уровнениясохр. пост. значение,т.е. линииэтой пов-ти и есть характеристики. Т. о.

характеристики лин. однор. УЧП (1) являются линиями уровнения инт. пов-ти = ( ).

Пример. Пусть x,t – незав.прем. − ( , ) уд. уравнению + = 0 ( = ). Хар. сист. :

= 1 ; − = задаетхарактеристику = Ф( − ) −бег. волна. Ф- произв. непр. тдиф.

функция. Вид Ф( − ) можно конкретизировать, если, например, задано ( , 0)

= ( ).

(1)

1

1

( , )

= ( , )

( , )

+1

( , ) непр. диф. в D,

( , )

+ +

= 1,

( , ) −непр. диф. в D, а также выпусл 2( , ) + + 2

( , )

≠ 0

(2)

Опр. УЧП (6)и наз квазилинейным ( зависит отu ) неоднородным(

( , 0) 0) УЧП 1-го

порядка.

наG, если

Опр. Непр. диф. функция ( ) называетсячастным решением (1)

( , ( ) )

и при подст. ( ) в (1) оно обращ в тождество.

Опр.Совокупность всевозможных ч. решений называется общим решением.

Опр. Если = ( ) −решение (1), то пов-ть = ( )

в пр-ве

( , )

назовем интегральнойпов-

тью.

Допустим, что решение УЧП(1)можно задать в неявном виде след. образом : (3) ( , ) = 0, где

( , ) −непр. диф. в D, причем ≠ 0. Тогда по теореме

о неявнойфункции, получим, что

(4)

Подставим (4) в (1),получим −1( , )

( , )

= ( , ) или

= −

.

1

− −

(5)

1( , )

1

+ +

( , )

+ ( , ) = 0 это линейное однородное уравнения для

неизв. функции ( 1, … , ) ( + 1)переменного

1

=

(

,

)

Этому уравнени. сопост. сист. ОДУ (авт) ((n+1) порядка) (6)

…

( , )

или всимм. форме

=

1

= ( , )

(7)

1( , )

= =

( , )

=

( , )

которая обладает системой изn ФНЗ I-инт.

Пусть это

1

( , ) = 1

…

( , ) =

Всевозможные решенияУЧП (5)получим из всевозможных I-инт. системы (6) (или (7))

( , ) = Ф 1

( , ), … , ( , ), где Ф – произв. непр.диф. функция. Тогдаобщее решение

квазилинейного неоднородного уравнения(6) задается соотношением ( , ) = 0, ≠ 0

(8)Ф 1( , ), … , ( , ) =

0, причем ∑ =1

≠ 0 это нужно, чтобы (8) задавалоu как

неявнуюфункциюот

Ф

Замеч. Вообще говоря, у уравнения (1) существуют решения, которые неописываются ур-ием

(8) (особые решения), но мы ихрассм не будем.

Опр.Системы (6),(7)наз характеристическими системами ур-я(1), а их решения

характеристиками.

Замеч. Этим же способом (черезнеяв. фун-ию) можно решать и линейныеоднор. (неод) ур-ия

(14) 1

( ) 1 + + ( ) = ( ) + ( )

В этом случае хар. сист. будет.(15) 1( ) = = ( ) = ( )+ ( ) (или в случ.однор. 1( ) = =

1

, ( , )

1

( ) =

0

)

(15) имеет n ФНЗ I-инт.

1( ) = 1 ,… −1( ) = −1

= (всегда можно

добиться, чтобы u не входиловпервые (n-1) I-инт. )

Тогда неявное решение задаетсякак (16) Ф 1( ), … , −1( ), ( , ) = 0 , где Ф – произв.

непр. диф. функция

Ф

≠ 0, тогда (16) по ТСЕ неявн. функций ( , ) = Ψ1

( ), … , −1

( )

еще раз поТСЕ = Ψ(

( ), … ,

( ), )

1

1

−1

( …) = 1

Ф(

( ), … , ( ), ) = 0

= Ф ( ), … , ( )

(для неоднородного случая −1

( )

= −1

=

1

1

1( , ), … ( , ), ( , ) −непр. дифф.

(20) 1( , ) 1 + + ( , ) = ( , ),

14. Геометрическая интерпретация интегральной поверхности квазилинейного

уравнения.

+ + ( , ) = ( , )

(1) 1( , ) 1

Теор. (О геом. смыслехарактеристик квазилин. ур-ия)

Интегр. пов-ть квазилинейногонеоднородного УЧП (1) целиком состоит из характеристик

(т.е. черезкаждуюточку прох. хар-ка целиком принадл. инт. пов-ти)

Док-во: Пусть( ) = ( ) −решение () (т.е. задает в( , ) инт. пов-ть). Рассмотрим систему

1

(2)

1̇= 1 , ( )

(**)

1 , ( )

= =

, ( )

или отвеч. ей авт систему

…

Решение (2) =

( ) задает траекториюв фаз. пр-ве(в парам.форме) ,

̇= , ( )

задаетв парам

тогда(3)

= ( )

форме кривуюлежащаюна инт пов-ти:

= ( )

Покажем, что всякая кривая,задаваемаясистемой(3)явл.

характеристикой :

= ∑ =1

=

∑ =1

, ( ) = ( ) − решение (2) = , ( ) =

( , )

( , )

= ( )

=

1

(3) определяет характеристику. Совестно с(**) это даёт, что(4)

1( , )

= =

( , )

=

( , )

, т.е.

Замеч. Система ур-ий(4) она задает векторные линии поля { 1, ..,

, }. Т.о. интегральная пов-

ть квазилин. УЧП формируется вектор. линиями поля

{ 1, .., , }. Такие пов-ти

(сформированные вект. линиями поля) называются векторными трубками, т.о. инт. пов-ть

квазилинейного УЧП явл. вект. трубкой поля { , .., , }.

1

15. Задача Коши для квазилинейного уравнения. ТСЕ (обсуждение на качественном

уровне)

Задача Кошидля квазилинейногоуранения.

Будем рассм. случай для = 2

(1) ( , , ) + ( , , ) = ( , , )

( , ) −неизв. непр. диф. функция незав. перем. и

≠ 0

( , , ), ( , , ), ( , , ) −заданныенепр. диф. функции 2 + 2

= ( )

Пусть в пр-ве( , , ) задана крива Г : (2) = ( ) < 1, 2 >

= ( )

Задача Коши: найти инт. пов-ть уравнения(1), проход. через кривуюГ (2).

мы получим

Поскольку инт. пов-ть УЧП (1) состоит их хар-к, то

Теор. (ТСЕреш. ЗК)

Если Г – гладкаяякривая ни в одной точке не касается характеристик УЧП (1), то ! инт. пов-ть

этого ур-ия, проход. через Г.(без док-ва)

Замеч. Ур-ия характеристик ( = 2) имеют вид ( , , ) = ( , , ) =

( , , ). Т.о. кас. вектор к хар-ки

имеют компоненты { ( , , ), ( , , ),

( , , )} и условия не касаниякривой Г

характеристики приобретают вид

( ( ), ( ), ( ))

( ( ), ( ), ( ))

( ( ), ( ), ( ))

= 2

< 1, 2 > усл. отражает

̇( )

̇( )

̇( )

не коллинеарнгость кас. век-ров характеристик и кривой Г

16. Алгоритмы решения Задачи Коши в случае неявного или параметрического задания

поверхности.

1) Пишем хар. систему =

= инаходим 2ФНЗ I-инт. этой системы. Пустьэто будут

1

( , , ) = 1,

2( , , ) = 2.Тогда Ф 1

( , , ), 2

( , , ) = 0 где Ф – произв. непр.

диф. фун-ия : Ф

≠ 0 задаетв неявномвиде обшее решение(1)т.е.в неявном виде задает

всевозможные инт.пов-ти. Нас интересует только та, которая проходит через Г.

обозначимф-ию, кот. она задается неявнобуквойФ.

2) Поскольку искомая инт. пов-ть проходит через Г, то

, >.

Ф ( ( ), ( ), ( )), ( ( ), ( ), ( )) ≡

0 <

1

2

1

2

Фактич.Ф задаетсвязьмежду 1 и 2. Нам ихвсевоз. связей нужнонайти ту, которая

1

( ), ( ), ( ) = С1

задает искомуюинт. пов-ть. Эту связь мы получим, если из сист. 2

( ( ), ( ), ( )) = С2

1

2

) = 0.

исключим параметрt.В результате этого исключения получим связь видаФ(С , С

1

2

3) ТогдаФ ( , , ), ( , , ) = 0 задаетискомую инт. пов-ть (в неявном виде)

Замеч. Не всегда кривая Г задается параметрически. Если Г задана как пересеч. гладких пов-

тей : Г

1( , , )

= 0

2( , , )

= 0 В этом случаеалгоритм решения ЗК след:

1)

Нашли ч. ФНЗ I-инт.

= 1

1

( , , )

2)

Из системы

2

( , , )

= 2

исключаемx,y,z иполучаем связь между 1 и 2 в виде

1( , , )

= 0

1

2

2( , , )

= 0

Ф(С , С

) = 0

2

3)

1

= 0 задаетискомуюпов-ть (в неявном виде)

Ф

( , , ), ( , , )

17. Сжимающие операторыГЛАВА.

.ИНТЕГРАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ.

сжимающих отображе ий.

Принцип сжимающих отображений. Обобщенный принцип

Банаховыпр-ва. Принцип сжимающих отображений.

Пусть М – метрическое ЛП, т.е.каждой паре эл-тах , пост. в соот. число ( , )

1)

,

( , )

≥ 0, причем ( , ) = 0 =

2)

,

( , )

= ( , )

3)

, ,

( , ) ≤

( , ) + ( , )

Если ЛП нормировано, то можно ввести метрину так ( , ) = | − |. На основеметрики

вводятся понятия сходимости, непрерывности, фундаментальности и т.д.

Опр.Фунд.пос-ть { }

> 0 ( )

> >

( , ) <

Опр.Послед. { } сходится в М, если

> 0 ( ) > ( , ) <

Можно доказать (используя 3),что из сходимости всегда вытекает фундаментальность{ }.

Обратное-неверно.

lim = , т.е. эта пос-ть не явл.

Если рассм. в ЛП рац.чисел пос-ть = 1 +

1

→∞

сходящ. в , хотя она фундам. (ДОКАЗАТЬ)

Опр. Метр. ЛП называется полным, если любая фунд. пос-ть в этой ЛП сходится.

Опр.Полное нормир. ЛП назыв.банаховым(об. )

Пусть −банахово.Рассмотрим ЛОА : →

( ), ( ) ≤ ( , ), где 0 < < 1 (или

Опр.ЛОАназыв.сжимающим,если ,

| ( ) − ( )| ≤ | − | )

Теор. (Принципсжим. отображений)

( ) = )

сжим. А : →

! неподвижная точка (т.е.

Док-во: Пусть 1 −произв. элемент. Строим пос-ть { } = ( −1) ≥ 2. Докажем,

что { }

−фундаментальная. Пусть ради опр. > . ( , ) = ( −1), ( −1) ≤

( −1

, −1)

≤

≤ −1

( − 1, 1) ≤ −1

{ ( − +1, −) + ( − , −−1) + +

( 2, 1)} ≤ −1

{ − −1 ( 2, 1) +

− −2 ( 2

, 1)

+ + ( 2, 1) + ( 2, 1)} =

−1 ( 2, 1){ − −1 + − −2 +

+ + 1}

≤

−1

( 2, 1){1 + + + − −1 + − + } ≤