Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Файл:

ДИУ иванова билеты

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.06.2025

Размер:

1.07 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

ГЛАВА.ТЕОРИЯУСТОЙЧИВОСТИ.

1. Определение устойчивости по Ляпунову решения системы ОДУ первого порядка.

Асимптотическая устойчивость.̇1 = 1( , 1

, … , )

[ 0, +∞) ≡ , ( 1, … , )

Рассмотрим норм. систему ОДУ

…

, … , )

̇= ( , 1

или кратко (1)

( , );

= ( 1

, … , );

;

= 1

( , )

… ( , )

↓

. Рассмотрим ЗК

Далее считаем, что функции

( , ) опр. и непр. В . Пусть

↓

= ( , )

Будем для простоты считать, что

решение ЗК существует

и оно не

↓

( ) =

↓

след.образом

( , 0).

выходит из областиD при . Обозначим решение ЗК сн.у.

↓

Рассмотрим вместе с ним решение ЗК, удов. другому н.у.

↓ . Т.е.

↓

( ) > 0

Опр.Решение ЗК

↓

↓( , 0) называется устойчивымпо Ляпунову,

если

> 0

реш.

( ,

) −

↓

−

↓

≥

Совокупность вектор столбцов(строк) функций с обычными операциями сложения и

умножения на числа,образ. ЛП,в котором можно ввести норму, например,

‖ ‖ = max

( )| или ‖ ‖

( ) + +

( )

=1,

( ,

) −

> 0, что какое бы малое мы бы ни взялипри том,

Если

что ↓

↓ ,

найдется

) −

≥

↓(

↓

то решениебудет неустойчивым.

Опр.Решение

↓( , 0) называется асимптотически устойчивым,

если :

1) Оно устойчиво по Ляпунову

lim

↓

( ,

) −

↓

= 0

> 0 реш. ↓

−

→∞

Замеч. Можно показать, то уст. и ас. уст. не зависит от выбора 0, поэтому в дальнейшем

считаем 0

= 0.

Исследование устойчивости нетривиального решения исходной системы можно свести к

исследованиюустойчивости тривиального решения модифицированной системы.

Пусть

( ) −решение

( , )

удовлетворяющее условию (0) =

. Рассмотрим ↓

↓

↓ =

( ) =

( )

( ).Тогда

′ = ↓ ′ + ′

( , )

( ,

+ ) ′

( , + ) −

′ =

↓

↓( ,

+ ) −

↓

( , ) (4) т.е. реш. системы (1)

↓

( ) переходитв решение ↓ = ↓

системы(4).

( , ) −

↓ ( )

При этом отклонение ↓

−

↓ = ↓

Т. о. вопрос об устойчивостирешения ЗК

= ( , )

сводится к вопросу об устойчивости

↓ (0)↓= 0

↓

( , )

тривиального решения системы ↓

↓( , ), где

↓

( , ) = ↓( ,

+ ) − ↓

Далее считаем, что система облад. трив. решением изапишем исслед. уст. иас.уст. именно

тривиального решения.

↓( , ),

обладающуютривиальным решением.

Рассмотрим систему ↓ =

> 0

Опр.Тривиальное решение называетсяустойчивымпоЛяпунову,если > 0 ( )

реш. = ( , 0) т.е.которое удовлетворяет условию (0) = 0

0 <

↓( , 0↓) <↓

> 0

( , 0)

↓

означает,

Опр. 0 > 0

> 0 реш. =

> 0 ( , 0) < , но

( , 0) ≥ 0

↓

что тривиальное решение неустойчиво

Опр.Тривиальное решение называется ас.уст., если :

1) оно устойчиво по Ляпунову

)

‖

) = 0

2) > 0 реш. ↓

= ↓( ,

‖ <

lim ↓( ,

→∞

2. Теорема о устойчивости и асимптотической устойчивости решения линейной системы с постоянными коэффициентам (доказательство для случая простых вещественных отрицательных корней). Фазовое пространство. Фазовые траектории. Фазовый портрет.

Точки покоя (положения равновесия).

Теор.

↓;

−постоянная матрица с действ. коэф.; 1, … , − корни хар. ур-ия

det(

↓− )

= 0. Тогда:

1) Если

< 0, то тривиальное решение ас. уст.

= 1,

2) Если

> 0, то тривиальное решение неустойчиво.

3) Если

≤ 0, причём

= 0

АК( ) = ГК( ) то тривиальное

= 1,

решение устойчиво но не асимпт.

4) Если

≤ 0 и

= 0

АК(

)

> ГК(

) трив.реш.неуст.

= 1,

1) Док-водля отрицательных вещественных корней: prav

Пусть общее решение системы(1) имеет вид: ↓ = ∑ =1 ↓

(0)

∑

= < 0

↓

(3), max

Выразим

=1,

… , =

через нач. условия (0). Строим биортогональную систему 1

↓

↓.

↓

…

↓ - базис ↓

↓

+ +

↓

1, ,

↓

↓1 ↓

↓1

+ 12

↓2 + + 1

↓

1 = 2

↓1

= 11 2

+ +

0 =

↓1

↓2

↓ - СЛАУ относительно

…

, которая

…

↓

↓ + + 1

0 =

↓

∆≠ 0 ! реш , т.е числа

…

опред ед.

совпадаетсматрицейГрама базиса

↓

…

↓

образом.

…

получим

Аналогично строим эл-ты

↓

. Умножая последовательно (3) на

…

(0)

, тогда ↓

= ∑

(0)

↓

(0)

( )

(0)

↓

= ∑

↓

≤

∑

↓

∑

↓

↓ ≤

∑=1

(0)

= (0)

∑=1

= (0)

↓

= >0−конечноечисло

> 0 ( )

2 > 0 реш

↓

< ↓ = (0) <

2 ( ) ≤

(↓0) < 2

< ≥ 0 − Устойчиво по Ляпунову..Докажем↓теперь асим

↓

устойчивость. 0 ≤

→+∞

( )

→+∞

(0)

= 0

→+∞

( )

= 0 уст асимпт. #

lim

↓

lim

↓

lim

↓

2) Док-во (Иванова):

Докажемдля случая

1), считая, что у каждого совпадгеом и алг кратности, т.е каждому k-

кратномукорню хар. ур-ия отвеч k ЛНЗ СВматрицы А.

…

−действ корни,

…

−комплек корни.

Пусть

…

Строим действ ФСРввиде

↓1 1

… ↓

↓+1

… ↓+ +

↓+1

…

↓+

↓+1 +1 , ↓+2 +1 …

Пусть это будут элементы

↓1

… ↓

< 0.

далее обозначим

.Тогда есть ФСР

↓1

… ↓ , причем все

Обозначим

max

= < 0

=1,

Выразим константы 1 … через начусловияЗК,

т.е через значения

о.о = ∑ =1

↓

(0)

т.е.

↓

. Для этого построим биортогональную систему ↓

… ↓

(0) … (0),

1 , = 1,

= ↓

↓. Разложим по

...

(это базис, поэтому возможно) :

↓ =

↓ +

↓2

+ + 1

↓

(1)

чтобы найти неизв. коэф.Разлож. (1) умножимпослед скалярно на

↓1

…

↓

тогда получим :

, 1 + + 1

, 1

1 =

= 11

0 =

↓1

↓2

= 11

↓1

↓2

+ + 1

↓ ,

↓2

…

↓

= 11

↓

+ + 1

↓

получили СЛАУ(неоднор) с матрицей

0 =

↓1

↓

↓1

↓

↓ ,

↓

котораясовпад сматрицГрамабазиса 1 …

∆≠ 0 ! реш , т.е числа 11

… 1 опред ед

образом. Аналогично стрим эл-ты

↓2 …

↓↓ . Т.о↓.

биортогональная система

↓1 … ↓

построена.

Теперь рассмотрим

(0):

(0)

∑ =1

(0)

(2). Умножим(2) пос-но скалярно на

(0) …

↓

(0)

, … ,

(0)

(0) = . Т.е.

(0). Получим : (0)

(0)

∑ =1

(0) = С1

↓

(↓0)

↓

(↓0)

↓

≤

(↓ ) = ∑ =1

↓(0) ↓( ) . Оценим (↓ ) = ∑ =1

↓(0)

↓( )

(0)

(

)

(0)

(

)

≤ (нер − во К − Б) ≤

∑=1

(0)

скаляр

↓

∑ =1

↓

число↓

( )

(0) (0) ( ) = (0)

∑ =1

(0)

↓

(0)

↓

Т.о.

( )

≤

(3).

обозначим

= >0−конечноечисло

↓

↓ .

Т.о. > 0 ( ) > 0 реш ↓ ,

↓

↓0 <

( ) < ≥ 0.Значение выберем след образом : =

.Тогда ↓0

(0)

↓( )

≤

(0)

< . Т.о решение

( )

уст по Ляпунову.

↓

<1, .к. <0

→+∞

( )

→+∞

(0)

→+∞

( )

Докажем теперь асим

устойчивость

.0 ≤

≤

lim

↓

lim

↓

= 0

lim

↓

0 уст асимпт. # Остальные пункты(и даже этот когда АК>ГК) бездок-ва.

Далее этислучаи будут рассм.на примересистемы 2-го порядка.

Рассмотрим систему

т.е.

не зависит отt. Такие системы называются

↓

= ( ) (1),

↓

( ) этой системы. При измененииt точка

автономными. Рассмотрим некоторое решение

↓

, 1

( ), … , ( ) описываютв +1

кривую, назыв. интегральной кривой.

Если в пр-ве перем.( , ) рассм. подпространство переменных

( ), то при изменении t, точка

1( ), … , ( ) также описываетв этом подпространстве некотору. кривую, которая

называетсяфазовойтраекторией,а самопр-во перем.

( ) называетсяфазовым

подпространством. Т.е. фазоваятраектория это проекция интегральной кривой на фазовое подпространство.

Движениеточки по фазовой траектории в фазовом подпространстве при увеличении t обозначаетсястрелками.

Опр.Точкафазового подпространства = а называется точкой покоя (полож. равновесия)автономной системы(1), если ↓(а) = 0↓ ( = апри этом явл. стац. реш.). Возникаетвопрос об устойчивости т. покоя.

Вопрос об устойчивости ненулевой точки покоя можно путем замены переменных ↓ → ↓ + а↓ свести к вопросу об уст. нулевойт.покоя поэтому далее считаем а = 0 Опр. Совокупность фазовых траекторий, дающих представлениео решениях системы, называется фазовымпортретом.

3. Автономные и неавтономные системы. Сведение неавтономной системы к автономной

и наоборот. Симметричная форма записи автономной и неавтономной систем

Рассмотрим

систему

↓

= ( )

(1), т.е.

↓

не зависит отt. Такие системы называются

( ) этой системы. При измененииt точка

автономными. Рассмотрим некоторое решение ↓

, 1( ), … , ( ) описываютв +1 кривую, назыв. интегральной кривой.

Если в пр-ве перем.( , ) рассм. подпространство переменных( ), то при изменении t, точка

1( ), … , ( ) также описываетв этом подпространстве некотору. кривую, которая

называетсяфазовойтраекторией,а самопр-воперем. ( ) называетсяфазовым

подпространством. Т.е. фазоваятраектория это проекция интегральной кривой на фазовое

подпространство.

Движениеточки по фазовой траектории в фазовом подпространстве

при увеличении t обозначаетсястрелками.

называется точкой покоя

Опр.Точкафазового подпространства = а

(полож. равновесия)автономной системы(1), если ↓

(а) = ↓ ( = апри

этом явл. стац. реш.). Возникаетвопрос об устойчивостит. покоя.

Вопрос об устойчивости ненулевой точкипокояможнопутем замены переменных ↓

→ ↓

↓

свести к вопросу об уст. нулевойт.покоя поэтому далее считаем а = 0

Опр. Совокупность фазовых траекторий,дающих представлениеорешениях системы,

называется фазовымпортретом.

Вернемсяк (1′)

1̇= 1( 1

, … , )

…

, … , )

̇= ( 1

Далее считаем,чтовсе ( ) непрерывны внекоторой и фазовая траектория не

выходитиз . Пусть, например, ( 0) ≠ 0 ( 0 ).Тогда ( 0) :

( 0) ≠ 0, тогда

автономнуюсистему (1′) можно привести к неавтономнойсистеме, уменьшив кол-во

неизвестных.в самом деле из (1′) получаем,что

= 1( 1

, … , )

Поскольку ( 0) ≠

0 в

…

, … , )

= ( 1

,…, ) = 1( 1, … , −1, )

(

) , то в ок-ти получаемэквивалентнуюсистему

1( 1

,…, )

)

= −1( 1, … , −1, )

(

,…,

( 1,…, )

−1

−1 1

…

которой выступаетвкачестве новогонезависимогопеременного.Числоуравненийна 1

уменьшилось, но система сталанеавтономной. Можно, наоборот, привести неавт. систему к

авт. увеличив на 1 кол-во функций.

1̇= 1( , 1

, … , )

Пусть имеетсянеавтономнаясистема

…

, … , )

1̇= 1

( +1

, 1

, … , )

̇= ( , 1

Положим ≡ +1, тогда получим эквивалентнуюсистему

̇= ( +1…

, … , ) эта система

уже автономная, но еепорядок на 1 выше.

= 1

Далеезаймемсяизучением автономных систем 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

(10)

̇= 11

+ 12

≠ 0 эквивалентна одному уравнению

̇= 21

+ 22 которая при 11

(11)

= 11 + 12

а при 21 + 22 ≠

0 эквив. одному ур-ию (12)

= 21 + 22 . Иобратно,

21 + 22

(11) или (12)сводится к автон. сис-ме (10).

11 + 12

всякое

ур-ие вида

Простейшие типы точек покоя автономной линейной системы 2-го порядка с

постоянными действительными коэффициентами (подробно, с переходом в базис, в

̇= 11 + 12

котором траектории имеют простейший вид): бяк бяк

(10) ̇= 21 + 22

Займемсяизучениемтривиальной точки покоя системы (10). Рассм. хар. ур-ие

−

Пусть 1, 2 −его корни.

22 − = 0.

Пусть 2 < 1 < 0 (корни действительные,различные, отрицательные)

= 1 1

1 + 2 2 2 1

= 11 − СВ, отв 1,

= 21

− СВ, отв 2. Рассмотрим

↓

поведениерешения на фазовойплоскости.

Пусть С2 = 0, С1

= 1

≠ 0, тогда

= 1

1 или 11

= 12 −прямая на пл-ти с напр. век-ом 1.

Поскольку 1 < 0, то по мере увеличения t,

1 затухает.

т.е. при увеличении t точки на этой фазовой траектории стремятся к точке

покоя (положению равновесия)

Аналогично, если С1 = 0, С2

≠ 0

= 2

−прямая на пл-ти с напр. век-ом 2.

= 2

2 или

< 0,

то по мере увеличения t движутся в направлении точки покоя

Пусть С1, С2

≠ 0.Поскольку

= 1

+ 2

→+∞

̇=

(движ.к т. покоя)

( ) 0

= 1

+ 2

22 2

→+∞

̇=

( ) 0

( 2

− 1)

то

+ 2

→

+ 2

( 2

− 1) . Пусть → +∞, тогда ( 2−1)

→ 0

1 1 12

фазовая траектория при → +∞ касаются прямых траекторий, отвечающих

1 1 11

|. Поскольку

направлениювектора

, т.е. СВ, отвечающий меньшему по модулюСЗ | | < |

→+∞

= 0 то эта точка покоя. асимптотич. уст.

lim

Опр.Такаяточка называетсяустойчивыйузел.

устойчива она, так как решенияблизкие влюбой момент времени

остаются близкими при > 0

Случай 1, 2

< 0

Перейдемиз ОНБ { , }

1 2

−(0,1).

к базису ,

. В этом базисе

имеет координаты (1,0), а

Следовательно,в этом базисе

+ 2

, т.е.

= 1

−1

̇−

−в новой системе координат,тогда

= А

↓

−1

Хар. ур-ие :

= det(

−

) = det(

( − ) ) = det(

− )

0 = det −

система

имеет те жекорни хар ур-ия.

↓

−1

↓1

−1

= 0

= 1

+ 2

= 1

↓

↓1

↓

= | |

> 0 −параболы

= 2

С увеличением t движение идётк т. покоя

В новой системе координат При возвращении в исх. базис происходит деформация

Случай 1, 2 > 0														1	1		+ 2		2		2
									= 1					↓			+ 2	↓
									Этотслучайполучаетсяиз предыдущего(замена → −)
Случай 1 < 0 < 2									Такая точка покоянеустойчива и называется неустойчивым узлом
Случай 1 < 0 < 2								(действительныекорни разных знаков)
	= 1 1 1 + 2							2		2			1
		↓						↓			1		1
2	= 0, 1		≠ 0						= 1 ↓
= 0			= 1		11
			= 1		12		1
> 0			= 1	11			1														движениев направлении точки покоя по прямой
> 0			= 1	12			1				↓										движениев направлении точки покоя по прямой
1	= 0, 2		≠ 0						= 2		↓		2
= 0											2		2
= 0			= 2		21
			= 2		22
> 0			= 2	21			2													точки разбегаются по прямой от т.покоя
> 0			= 2	22			2													точки разбегаются по прямой от т.покоя
			= 2	22
Перейдёмв базисизСВ												2				= 1				1					2
				1								2				= 1				1					2
= 1 1						+ 2				0				, т.е.				2		2		= \| \|	,	=	1	< 0 гиперболы
			0							1						=
										Как бы близко при = 0 т.( , )=(С1, С2) ни находилась к т. покоя, при
										↑ она по гиперболич. траектории уйдет от т. покоя (исключение–
										точка на прямой = 0)
										Такая точка покояназывается седлом, онаявляется неустойчивой.

В старой системе: У этих гипербол асимптоты - 1, 2

Случай 1

= 0, 2

≠ 0, 2

det = 1121

1222

0 строки матрицы А пропорциональны, т.е.

2111

2212

= ̇̇= =

фазовые траектории – прямые

= 1 ↓ + 2

↓

= 1

т. покоится (вся прямая состоит из т.покоя)

Если С2

= 0, то

= 1

= 2

2 + 1

−1 11

−1 12

Если 1

≠

0, 2 ≠

= 2

2 + 1

12 −т. на прямой

2 > 0 движ.от т.покоя с возр.

− 1

= 2

2 ↑

− 1

= 2

2 ↑

< 0

( − 2 22)

↓;

( − 2 12) ↓

> 0 неустойчивые точкипокоя

< 0 устойчивые точки покоя (но не асимптотически, т.к. находясь на произвольной

прямой необязательно попадем в (0,0) (но будет к ней приближаться))

Случай различных комплексно-сопряжённых корней

1,2 = ±

Матрица действительная различные СВдляраз.СЗ

Пусть это

1↓,2

= ↓ ±

↓

+ 2 ↓ + ↓

= 1 ↓

+ ↓

( + )

Переходвбазис ( , −)

( + )

cos

sin

= 1 1

( + )

+ 2

= 1

+ 2

sin

−cos

−

cos cos 0

cos + 2 sin

+ sin sin 0

1 sin − 2 cos

= 1

+ 2

sin cos 0

−

cos sin 0

cos( − 0)

+ 2

sin( − 0)

2 = sin 0 ;

+ 22

2 1

= cos 0 ;

2 2

+ 2

−

+ 2

= cos(

= sin(

− 0)

= 0, > 0

точка покоя называется центром устойчивым, но неасиптотически

> 0, > 0

Точка называется неустойчивым фокусом

> 0, < 0

Точка называется неустойчивым фокусом

< 0

Устойчивый фокус(причем асимптотически)

В исходной системекоординат– соосные эллипсы

2 = 2 + 2 −квадрат расстояния от т. (x,y) до т. покоя (0,0) достигаетмаксимумана однойосииминимумана другой

̇= 11 + 12 ̇= 21 + 22

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Интегральные уравнения и вариационное исчисление

#
28.01.2025274.74 Кб0Билеты ряды Горячев.docx
#
28.01.2025808.56 Кб2Билеты экзамен Иванова.docx
#
28.01.2025207.02 Кб0Вопросы по рядам горячева 4 сем.pdf
#
14.06.202588.7 Mб0Вышмат 4 сем Ф.pdf
#
29.03.2025410.54 Кб1Демидович_Фурье.pdf
#
04.06.20251.07 Mб0ДИУ иванова билеты.pdf
#
04.06.202588.7 Mб0Интегральные уравнения сем 4 билеты.pdf
#
04.06.202586.91 Mб0Интуры 4 семестр.pdf
#
04.06.2025271.12 Кб0таблица фазовых портретов.pdf
#
04.06.20253.89 Mб0Хорошие_Интегральные уравнения 4 семестр.pdf