МУ КР ОЭИ
.pdf
2 Крутое восхождение по поверхности отклика (метод Бокса-Уилсона)
Градиентом называется вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки про-
странства к другой. Градиент ( ) непрерывной однозначной функции есть век-
тор:
где
|
|
x |
i |
|
|
= |
|
i + |
|
j + ... + |
|
k , |
||
x |
x |
|
x |
|
||||
|
|
2 |
|
k |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
||
– частная производная функции по i-му фактору;
i , |
j, k |
– единичные вектора в направлении осей факторов. |
Согласно теореме Тейлора о разложении аналитической функции в ряд, част-
ные производные по факторам равны по величине и знаку соответствующим коэф-
фициентам регрессии. |
|
Следовательно, градиент y |
функции у есть вектор: |
y = b |
i + b |
j + ... + b |
k . |
1 |
2 |
k |
|
Движение по градиенту – кратчайший путь к оптимуму, так как направление
градиента – это направление самого крутого склона, ведущего от данной точки к вершине. Если изменять факторы пропорционально их коэффициентам с учетом знака, то движение к оптимуму называется крутым восхождением. Технику расчета крутого восхождения рассмотрим на примере задачи с одним фактором x1 (рис. 2.1).
у |
у |
|
|
Д |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
B |
|
|
|
|
A |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
x |
1 |
|
|
|
-1 |
0 |
+1 |
|
Рис. 2.1. Схема расчета координат |
||
|
|
точек в направлении градиента |
|
1 – график неизвестной функции отклика; |
|||
2 – прямая |
y = b |
+ b x |
– направление градиента адекватно описывающее |
|
0 |
1 |
|
функцию отклика в области х, от - до +1.
b 1
=
tg
, шаг движения х, тогда коорди-
наты точки А:
x, b |
x |
1 |
|
(лежит на градиенте), В:
(
2 x, 2 b 1
x
),
С:
(
3 x, 3 b 1
x
) и т.д.
Затем проводят опыты с условиями, отвечающими точкам на градиенте. По ре-
зультатам этих опытов определяют область оптимума. Обычно проводят часть опы-
тов, чтобы оптимум получить в «вилке» (между точками СД).
В случае k факторов расчет крутого восхождения по оси каждого фактора про-
водят аналогично, так как коэффициенты b определяются независимо друг от друга. i
Движение осуществляют одновременно.
Шаг движения по градиенту выбирают для одного фактора, так, чтобы
xmin , где – ошибка, с которой фиксируют фактор. Для остальных факторов
шаг определяют по выражению:
i = l |
bi |
i |
, |
|
bl |
l |
|||
|
|
где l – выбранный шаг движения для фактора l;
i – шаг движения для i-го фактора;
bi , bl |
– коэффициенты регрессии i-го и l-го факторов; |
|
|
|||
|
i |
, |
l |
– интервалы варьирования i-го и l-го факторов. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Движение по градиенту начинается с нулевой точки (уровня). Если |
b |
значи- |
||||
|
|
|
|
|
i |
|
тельно различны (на порядок), то следует изменить интервалы варьирования факто-
ров и повторить опыты.
Проведение расчетного эксперимента
Построение матрицы ПФЭ
Порядок построения матрицы ПФЭ.
1.Необходимо выбрать нулевой уровень значений варьируемых факто-
ров (x10, x20, x30). Как правило, за нулевой уровень
фактора принимается значение, которое имеет лучший аналог. Если такая информация отсутствует, то обычно выбирается величина из середины диапазона допустимых значений данногофактора. В данной работы возьмем данные из зада-
ния на КР
2.Выбор шагов варьирования факторов ( x1, x2, x3).
Шаги варьирования выбираются таким образом, чтобы верхний и нижний уровень фактора не выходили за область определения, имели возможность для изменения значений в ходе крутого восхождения, различались в пределах ошибки установки и вычисления.
Выбранные значения нулевых уровней и шагов варьирования занести как константы в таблицу 2.1. (Столбцы 2–4 и 5–7).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1 |
||
|
|
|
|
|
Матрица ПФЭ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
X 10, |
X 20, |
X 30, |
X 1,Тл |
X 2, |
X 3, |
x1 |
x2 |
x3 |
X1, |
X2, |
X3, |
y, кг |
|
опыта |
Тл |
м |
А/мм2 |
м |
А/мм2 |
Тл |
м |
А/мм2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
- |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
+ |
- |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
- |
- |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
- |
+ |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
+ |
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
- |
- |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Пример построения матрицы ПФЭ для трех факторов в относительных единицах приведен в Таблице 2.1. Верхнему уровнюсоответствует значение (+1), нижнему – (-1). (Столбцы 8–10).
4.Абсолютные значения факторов рассчитываются по следующим выражениям:
X 1 = X 10 + X 1 ∙ X 1 ; |
|
X 2 = X 20 + X 2 ∙ X 2 ; |
(2.1) |
X 3 = X 30 + X 3 ∙ X 3 .
где i – номер опыта (строки матрицы).
Значения X ji , вычисленные по пункту 4 занести в столбцы11-13
таблицы 1.
5.Значения параметра оптимизации y в столбце 14 таблицы 2.1
вычислять для каждой строки матрицы ПФЭ по соответствую-
щим значениям факторов xji по формуле ММ,заданной в задании на КР.
Вычисление коэффициентов регрессии и шаговкрутого восхождения
Линейная модель поверхности отклика имеет вид уравнения
~ |
(2.2) |
y =b0+b1(X1-X10)/ X1+b2(X2-X20)/ X2+b3(X3-X30)/ X3 |
Здесь X1, X2, X3 – значения факторов из таблицы 4.
Значения коэффициентов вычисляются по результатам проведения полного
факторного эксперимента (столбец 14 таблицы 1). |
|
|||
0 |
= ( 1 |
+ 2 |
+ + 8)/8; |
|
1 = ( 1 |
− 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8)/8; |
|
||
2 |
= ( 1 |
+ 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8)/8; |
(2.3) |
|
3 |
= ( 1 |
+ 2 + 3 + 4 − 5 − 6 − 7 − 8)/8. |
|
|
Знаки перед значениями y определяются соответствующими значениями ко-
дированных факторов из столбцов 8–10 таблицы 2.1.
Значения коэффициентов линейной ММ занести в таблицу 2.2.
Таблица 2.2
Коэффициенты линейной ММ и шаги крутого восхождения.
b0 |
b1 |
b2 |
b3 |
m |
J1=b1∙ m |
J2=b2∙ m |
J3=b3∙ m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записать уравнение (2.2) с получившимися значениями коэффициентов.
Оценить влияние каждого фактора на параметр оптимизации.
Выбрать, исходя из значения наиболее значимого коэффициента масштаб m
шагов крутого восхождения = ∙ и внести их значения в таблицу 2.2.
1
Крутое восхождение по поверхности уровня
Для расчета шагов крутого восхождения воспользуемся выраже-
нием (2.4)
= ,−1 − , |
(2.4) |
где для первого шага = 1, − 1 = 0 . (Движение по поверхности начинается с точки нулевого уровня X10, X20, X30). Так как в данной задаче требуется отыскать минимум параметра оптимизации, то знак перед шагом приращения отрицательный, что соответствует движению по линии ската в направлении антиградиента.
Вычислить значение параметра оптимизации по линейной ММ (y~ ) и по модели, заданной преподавателем (y).
Повторять вычисления до тех пор, пока крутое восхождение (спуск) будет эффективно. Занести результаты вычислений в табл. 2.3.
~
В таблицу внести значения y, рассчитанные по линейной модели (2.3).
Таблица 2.3 – Движение по линии наикратчайшего спуска
№ |
X1 |
X2 |
X3 |
~ |
y |
шага |
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выписать минимальное значение параметра оптимизации ymin исоответствующие ему значения факторов.
~
Построить графики движения по поверхности отклика y и y в функции от № шага.
Принять обоснованное решение об эффективности процесса крутого спуска.
Литература
1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных решений - М.: «Наука», 1975.
2. Химченко, А. В. Планирование эксперимента : учебное пособие / А. В.
Химченко, Н. И. Мищенко, В. В. Быков. Саратов : Вузовское образование,
2021. 127 c.
3. Казаков, В. Г. Планирование экспериментальных исследований и стати-
стическая обработка данных. Основы научных исследований в промышлен-
ной теплоэнергетике : учебное пособие / В. Г. Казаков, Е. Н. Громова. Санкт-
Петербург : Санкт-Петербургский государственный университет промыш-
ленных технологий и дизайна, 2020. 85 c.
4. Юдин, Ю. В. Организация и математическое планирование эксперимента :
учебное пособие / Ю. В. Юдин, М. В. Майсурадзе, Ф. В. Водолазский ; под редакцией А. А. Попова. Екатеринбург : Издательство Уральского универси-
тета, 2018. 124 c.
5. Киценко, Т. П. Методология, планирование и обработка результатов экс-
перимента в научных исследованиях : учебно-методическое пособие / Т. П.
Киценко, С. В. Лахтарина, Е. В. Егорова. Макеевка : Донбасская националь-
ная академия строительства и архитектуры, ЭБС АСВ, 2020. 70 c.
6. ГОСТ Р ИСО 16269-4-2017. Национальный стандарт Российской Федера-
ции. Статистические методы. Статистическое представление данных. Часть
4. Выявление и обработка выбросов. М.: Стандартинформ, 2017.
7. ГОСТ Р ИСО 5479-2002. Государственный стандарт Российской Федера-
ции. Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятно-
стей от нормального распределения. М.: ИПК Издательство стандартов, 2002.
8. ГОСТ Р ИСО 5725-2-2002. Государственный стандарт Российской Федера-
ции. Точность (правильность и прецизионность) методов и результатов изме-
рений. Часть 2. Основной метод определения повторяемости и воспроизво-
димости стандартного метода измерений. М.: ИПК Издательство стандартов,
2002.