Добавил:

Ruslan_NCFU Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Кавказский федеральный университет

Предмет:

Основы экспериментальных исследований

Файл:

МУ КР ОЭИ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2025

Размер:

647 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

- интервал варьирования

x	i

выбран малым.

Проверка адекватности математического описания

Гипотеза об адекватности математического описания опытным данным проверяется по оценке отклонения предсказаний по полученному уравнению

регрессии величины отклика	yˆ	g	от результатов наблюдений	y	g	в одних и
		g			g

тех же точках g-факторного пространства.

Рассеяние результатов проводится с помощью дисперсии адекватности:

m ( y

− yˆ

)

m ( y

− yˆ

)

j=1

i=1

(1.20)

ад

−

(k + 1)

где

– среднее значение параметра оптимизации в j-м опыте;

yˆ j – значение параметра оптимизации, вычисленное по модели для

условий j-го опыта;

f – число степеней свободы: f=N-(k+1); k – число факторов;

(k+1)=d – число членов аппроксимируемого полинома.

Проверку гипотезы проводят по критерию Фишера:

		S		2
		S	ад
F	=		ад		,	(1.21)
F	=			2	,	(1.21)
p		S		2
		S		y
				y

где

	2		1	N	2
S		=		S

	y		N		j
				j=1

(1.22)

Если при заданном , 1ад = N − d = f = N − (k + 1) , 2ад = N (m −1)

критическое значение Fкр (по таблицам): Fр Fкр , то модель считают адек-

ватной. При Fр Fкр – гипотеза об адекватности отвергается, т.е. гипотеза о

соотношении между	S	2	и S	2	– оценкой дисперсии воспроизводимости от-
соотношении между	S	ад	и S	y	– оценкой дисперсии воспроизводимости от-
		ад		y
клика. Проверка адекватности возможна при						1ад	0,	что требует выполне-
						1ад

ния соотношения N>d.

Обработка результатов эксперимента при

неравномерном дублировании опытов

По разного рода причинам не всегда удается провести одинаковое чис-

ло параллельных опытов. При этом нарушается ортогональность матрицы

планирования и, как следствие, изменяются формулы для расчета b , b	ij	и их
i	ij

ошибок. Обработка результатов экспериментов при неравномерном дублиро-

вании опытов производится по следующему алгоритму.

1. Для каждой строки матрицы планирования находят среднее значение параметра оптимизации по выражению:

j=1

где n

– число параллельных опытов в j-й строке матрицы.

2. Для каждой строки матрицы вычисляют дисперсию S

опыта:

( y

− y

)

−

3. Проверяют с помощью критерия Бартлета гипотезу однородности

дисперсий опытов. Для этого подсчитывают дисперсию S y2 воспроизводимо-

сти эксперимента по формуле:

		1		N
S 2	=	1		( S 2		f		),
							j
		N
y		N		j=1	j
		f		j=1
		f	j
		j=1	j
		j=1

S2 j

где

опыта.

f	j

– число степеней свободы, с которым определялась дисперсия

Определяют критерий Бартлета по выражению:

где

Q =

{ f lg S

− f

lg S

c = 0,4343 [1 +

(

−

)]; f

3(N

−1)

j=1

Критерий Бартлета Q приближенно подчиняется 2 распределению

Пирсона с (N-1) степенями свободы, где N – число сравниваемых дисперсий.

Если	Q	2	(	2		– критическое значение		2-Пирсона для данного
		кр		кр

числа (N-1)	степеней свободы и принятого уровня значимости =0,05), то
дисперсии однородны (					2		берется из таблиц).
					кр

Критерий Бартлета основан на нормальном законе распределения N:

0,1. Если распределение случайной величины не подчиняется N: 0,1, то про-

верка однородности дисперсий может привести к ошибочным результатам.

Пример.

Матрица планирования предусматривает постановку 4-х опытов. Для

1го опыта n1=5 (повторен пять раз); n2=6; n3=4; n4=4. При этом дисперсии по

опытам равны:

= 3,5; S

4, 22; S

= 5,88; S

=11,36.

Требуется проверить ги-

потезу об однородности выборок Н0:

2 .

кр

Определяем дисперсию S 2 параметра оптимизации:

3,5 4

+ 4,22 5 + 5,88 3 + 11,36 3

S 2 =

(

S 2

) =

= 5,79,

j=1

где где

f	j

– число степеней свободы, с которым определялась диспер-

сия

2	j-го опыта:	f		= n		−1
j			j		i

f	1	= 5 −1 = 4;	f	2	=
	1			2

Вычисляем величину с:

;

6 −1 = 5;	f	3	= 4 −1 = 3;	f	4	= 4 −1 = 3.
		3			4

c = 0,4343 [1 +

(

−

)] = 0,485.

3(4 −1)

Определяем критерий Бартлета:

Q =

{15 lg 5,79

− 4 lg 3,5

− 5

lg 4,22

− 3

lg 5,88 − 3 lg11,36} =1,37.

0,485

Критическое значение	2	-Пирсона при
	кр

ды: = N-1 = 4-1 = 3, равно: кр2 = 7,82.

Так как Q	2	(1,37<7,82), то Н0: Q
	кр

=0,05 для 3х степеней свобо-

	2	– отвергается, что означает,
	кр	– отвергается, что означает,
	кр

что однородность дисперсий обеспечивается.

4. Вычисляют коэффициенты bi уравнения регрессии, дисперсии

S	2	{b }
S		{b }
		i

коэффициентов регрессии и ошибки – стандарт

S{b } i

в определении

коэффициентов, ковариация коэффициентов регрессии.

5. Для каждого коэффициента регрессии находят расчетное значение t-

критерия Стьюдента по выражению:

				tp	=	bi
				tp	=	S{bi }
						S{bi }
Сравнивают tp			с критическим tкр ( , ) , где число степеней свободы
=f, которое		в рассматриваемом случае определяют по выраже-
N		N
нию: f = f	j	= (n	j	−1) =15.
j=1	j	j=1	j
j=1		j=1

Проверяют гипотезу Н0:

эффициент незначим). При	t	p
		p

t	p	t

t		кр

кр	(коэффициент значим) и	t	p	t	кр	(ко-
кр			p		кр

незначимые коэффициенты могут быть

исключены из уравнения регрессии. Оставшиеся коэффициенты пересчиты-

вают с использованием МНК.

6. Определяют дисперсию адекватности:

( y

− yˆ

)

( y

− yˆ

)

j=1

i=1

ад

− (k + 1)

n j – число параллельных опытов в j-ой строке матрицы; k – число фак-

торов.

7. Проверяют гипотезу адекватности модели по F-критерию Фишера:

					S		2
					S	ад
			F	=		ад		,
			F	=			2	,
			p		S		2
					S		y
							y
Если Н0:	F	F	( , ) , то модель адекватна. Если						F	F	– то ги-
	р	кр							р	кр

потеза Н0 отвергается.

Обработка результатов экспериментов при

отсутствии дублирования опытов

Алгоритм расчета.

1. Для вычисления дисперсии

S2 y

воспроизводимости эксперимента

выполняют несколько параллельных опытов в нулевой точке (центре плана).

При этом все факторы находятся на нулевых уровнях. По результатам опы-

тов в центре плана вычисляют дисперсию S y2 воспроизводимости экспери-

ментов:

			1		n
	2		1		0			2
S	2	=			[ ( y		− y)	2	],
S	y	=			[ ( y	u	− y)		],
	y	n	0	−1	u=1	u
			0		u=1

где n0 – число параллельных опытов в нулевой точке;

– значение параметра оптимизации в u-м опыте;

– среднее значение в

параллельных опытах.

2. Определяют коэффициенты модели.

Свободный член: b

N j=1

Линейные эффекты:

j=1

Эффекты взаимодействия: b

j=1

(1.23)

где i, l – номера факторов; j – номер строки или опыта в матрице пла-

нирования; y	j	– значение параметра оптимизации в j-м опыте;	x	,	x	– ко-
	j		ij		lj
дированные значения ( 1) факторов i и l в j-м опыте.
3. Статистическая значимость b :
		i

а) сравнение абсолютной величины

b i

с доверительным интервалом,

для построения которого определяют дисперсию					S	2	(b ) :
для построения которого определяют дисперсию					S		(b ) :
							i
		S 2 (b ) =	1	S 2 ,			(1.24)
		S 2 (b ) =		S 2 ,			(1.24)
		i	N	y
где	S 2 (b )	– дисперсия i-го коэффициента регрессии; N – число строк
	i

или опытов в матрице планирования.

Из (24) следует, что S 2 (b1 ) = S 2 (b2 ) = ... = S 2 (bn ).

Доверительный интервал bi равен: bi = tкр S{bi },

где

кр

( , )

– табличное значение критерия Стьюдента при заданной

= n

−1.

Проверяется гипотеза Н0:

– коэффициент регрессии значим,

при

b b

– незначим и исключается из уравнения регрессии;

б) с помощью t-критерия Стьюдента.

Расчетное значение:

. Гипотеза Н0: t

( , )

– {b } зна-

кр

S{b }

чимы, если t

кр

( , ) – то коэффициенты {b }

незначимы. В табл. 7 зано-

сится ЗН или НЗМ.

4. Определяют дисперсию адекватности S

по формуле:

ад

( y

− yˆ

)

( y

− yˆ

)

j=1

i=1

(1.25)

ад

N − (k

+ 1)

где y j

– наблюдаемое значение параметра в j-м опыте;

– значение параметра, вычисленное по модели для условий j-го

опыта;

f– число степеней свободы.

5.Проверяют гипотезу адекватности модели по F-критерию Фишера

(1.14). Если подтверждается гипотеза Н0:				F	F	( , ) , то модель адекват-
				р	кр
на. Если	F	F	( , ) , то гипотеза Н0 отвергается. В этом случае:
	р	кр

а) переходят к планированию 2го и более высокого порядка экспери-

мента;

б) уменьшают интервалы варьирования xi и повторяют эксперимент.

Если линейная модель адекватна, то переходят к методу крутого вос-

хождения для оптимизации параметров. При этом все {b } должны быть зна-
		i
чимыми. В случае если все {b } кроме b		незначимы, то следует:
i	0

1)рассмотреть интервалы варьирования;

2)повысить точность эксперимента путем улучшения методики и уве-

личения числа параллельных опытов.

6. После проверки на адекватность, выполняют переход от кодирован-

ных значений факторов к натуральным по уже известной зависимости (1.1)

Результаты расчетов внести в таблицу 1.7.

В отчете по работе должны быть представлены все расчеты, результаты которых записаны в таблицу. Порядок расчетной записи: формула, формула с подставленными числами, ответ.

Таблица 1.7 – Таблица планирования и обработки результатов активного эксперимента

														Матрица планирования
№ опыта						Основные												Эффекты взаимодействия
							факторы											Эффекты взаимодействия


				x	0		x	x	2	x		x	4	x x	x x					…	x	x	4	x x		x	…	x x x	4	x x x x
					0		1		2	3			4	1 2		1		3		…	3		4	1	2	3	…	2 3	4	1	2	3	4
	1			+			+	+		+	+			+	+					+	+				+		…	+			+
	2			+			-	+		+	+			-		-					+				-		…	+			-
	.			.			.	.		.	.			.		.				.	.				.		…	.			.
	.			.			.	.		.	.			.		.				.	.				.		…	.			.
	.			.			.	.		.	.			.		.				.	.				.		…	.			.
16
N
x		y	j
j=1	ij		j
j=1
bi , bil

	f																S		2
	f																S		y
																			y
																2
															S				b
																				i
tкрит															S bi
t	расч
	расч
Вывод

Уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия

Результаты эксперимента

	y		S	2
	y		S	j
				j
	.		.
	.		.
	.		.
N		2
S		2
S		j
j=1		j
j=1
S	2
S	max
	max
G
	расч

	f1
	f2

Gкрит

Вывод Gрасч Gкрит

Проверка адекватности

Линейная Лин. с эффектами взаимодействия

yˆ

( yˆ

− y

)

yˆ

( yˆ

− y

)

2. j

1. j

( yˆ

− y

)

( yˆ

− y

)

2. j

1. j

j=1

j =1

ад.1

ад.2

расч.1

расч.2

крит.1

крит.2

Вывод

расч.1

крит.1

расч.2

крит.2

Линейное уравнение регрессии

Выполнение проверки принадлежности нормальному распределению

Рекомендуется для выполнения данного задания использовать методику из ГОСТ Р ИСО 5479-2002 [7].

Проверить гипотезу нормального распределения для данных опытов (для каж-

дой серии параллельных опытов), при этом рекомендуется использовать один из многосторонних критериев [7]: Шапиро-Уилка или Эппса-Палли.

Построить графики серий наблюдений (для каждой серии параллельных опы-

тов) на бумаге для нормальных вероятностных графиков (допускается построение без использования вероятностной бумаги при построении графиков с помощью ком-

пьютерных программ) и сделать выводы. Шаблон вероятностной бумаги приведен в

[7].

Построить гистограммы серий наблюдений совмещенные с кривыми плотно-

сти распределения. При построении гистограммы использовать правило Стёрджеса.

Для построения кривой плотности распределения использовать оценки математиче-

ского ожидания и дисперсии.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Основы экспериментальных исследований

#
22.04.2025717 Кб8Курсовая работа ОЭИ.docx
#
22.04.2025647 Кб5МУ КР ОЭИ.pdf