Добавил:

Ruslan_NCFU Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Северо-Кавказский федеральный университет

Предмет:

Основы экспериментальных исследований

Файл:

МУ КР ОЭИ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2025

Размер:

646.79 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Методические рекомендации

по выполнению курсовой работы

по дисциплине «Основы экспериментальных исследований»

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Курсовая работа выполняется по индивидуальным заданиям, содержит текстовую и графическую часть.

Структура работы: титульный лист, содержание, введение, исследова-

ние трансформатора-аналога, проведение параметрической оптимизации раз-

рабатываемого трансформатора, заключение (содержит основные выводы по работе), список использованных источников.

1 Полный факторный эксперимент (ПФЭ)

Основной задачей планирования эксперимента является расположение экспериментальных точек в исследуемой области факторного пространства с целью получения наиболее точного математического описания объекта при минимальном числе экспериментов, что устанавливается заданным критери-

ем оптимальности плана. К оптимизации приступают после анализа априор-

ной информации. В области эксперимента устанавливают основные уровни и интервалы варьирования факторов. Основным или нулевым уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента, по воз-

можности более близкое к оптимальному значению.

Каждое сочетание уровней факторов является многомерной точкой в факторном пространстве. Сочетание основных уровней принимают за исход-

ную точку для построения плана эксперимента. Построение плана экспери-

мента состоит в выборе экспериментальных точек, симметричных относи-

тельно исходной точки или, что одно и то же, центра плана.

Интервалом варьирования фактора называют число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычи-

тание – нижний уровень фактора. Его выбирают так, чтобы приращение ве-

личины отклика (у) к базовому значению у0 при реализации Xi0 Xi можно

было

бы

выделить

на фоне

«шума». К шагу варьирования

i max

− X

i min

предъявляются следующие требования:

где –

ошибка,

с которой экспериментатор фиксирует

уровень фактора;

max,

min

, где X

max,

min

– границы области определения

фактора.

Для удобства записи условий эксперимента и обработки эксперимен-

тальных данных уровни факторов кодируют, преобразуют размерные факто-

ры Xi в безразмерные, нормированные факторы по выражению:

				x =	Xi − Xi0	,	(1.1)
				x =		,	(1.1)
				i	Xi
				i
X	i		– натуральное значение i-го фактора;
	i
X		i0		– натуральное значение основного уровня i-го фактора.
		i0

Кодирование позволяет значительно облегчить расчеты, так как в этом случае нижние и верхние уровни варьирования в относительных единицах принимают равными: xiн = +1; xiв = −1 независимо от природы факторов, ос-

новных уровней и интервалов варьирования xi . Для простоты обычно запи-

сывают + (вместо +1) и - вместо (-1).

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уров-

ней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). Если число уровней каждого фактора – m, а число факторов – k, то число всех со-

четаний уровней факторов N, а, следовательно, и число опытов в ПФЭ опре-

деляется выражением:
N = mk	(1.2)
Простейшим представлением планов факторных	экспериментов для

построения линейных моделей является ПФЭ при 2х уровневом варьирова-

нии типа 2k. Если в эксперименте с двумя переменными х1 и х2 каждая меня-

ется на двух уровнях, то все возможные комбинации варьируемых факторов будут равны N=22=4 – т.е. найдены перебором из 4х опытов. ПФЭ 22 может быть представлен матрицей (табл. 1.1), в которой число строк равно количе-

ству опытов.

Таблица 1.1

Номер	х0	Планирование		х1х2	х12	х22	yu
опыта, n	х0	х1	х2	х1х2	х12	х22	yu
опыта, n		х1	х2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	+	-	-	+	+	+	y1
2	+	+	-	-	+	+	y2
3	+	-	+	-	+	+	y3
4	+	+	+	+	+	+	y4
N=4		= 0	= 0	= 0	= N	= N
N=4		u	u	u	u	u
		u	u	u	u	u

В табл. 1.1 верхний уровень обозначен +1 (+), нижний -1 (-). Каждая строка матрицы относится к одному из экспериментов, гр.2 – фиктивная пе-

ременная х0=+1 (+), гр.3-4 – значения х1 и х2 – собственно планирование, гр. 8

– результаты каждого опыта (yi), гр. 5-7 – значения переменных х1 и х2 – для дальнейших расчетов, гр. 9 – кодовое обозначение строк: 1 – обе переменные на нижнем уровне, ab – обе переменные на верхнем уровне, a – соответству-

ющая переменная х1 на верхнем уровне, b – х2 на верхнем уровне.

Кодирование сокращает запись матриц. Так ПФЭ 22 записывается сле-

дующим образом: (1), a, b, ab.

При k=2 моделью будет уравнение регрессии вида:

где:

y = b	+ b x				+ b			x	2	,
0		1	1			2			2
b	=	1			N	y		,
b	=	N				y		,
0		N		j=1			j
				j=1

(1.3)

(1.4)

b	=	1	N	x		y		,
b	=	N		x	ij	y		,
i		N	j=1		ij		j
			j=1

(1.5)

Коэффициенты регрессии, характеризующие эффекты взаимодействия:

b	=	1	N	x		x		y		,
b	=	N		x	ij	x	lj	y		,
il		N	j=1		ij		lj		j
			j=1

(1.6)

где i, l – номера факторов; хij, xlj – кодированные значения факторов i и l в j-ом опыте.

Формулы (1.4), (1.5), (1.6) получены по МНК.

Матрица планирования для 3х переменных на 2х уровнях получается из матрицы 22 при повторении ее дважды: один раз при значении х3 – на нижнем уровне, второй раз – на верхнем. Это формально равносильно умножению кодовой записи матрицы один раз на единицу, второй – на с. ПФЭ 23 в кодо-

вом виде записывается: (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc.

Схема построения матрицы при увеличении числа факторов от 2 до 3

представлена в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Номер опыта	х0	х1	х2	х3
1	+	+	+	+
2	+	-	+	+
3	+	+	-	+
4	+	-	-	+
5	+	+	+	-
6	+	-	+	-
7	+	+	-	-
8	+	-	-	-

Графическая интерпретация – куб с 8 вершинами.

С ростом числа факторов число опытов растет по показательной функ-

ции N=2k и быстро наступает избыточность числа экспериментов по отноше-

нию к числу коэффициентов линейной модели. Если можно ограничиться линейным приближением модели, т.е. получить адекватную модель в виде полинома: y = b0 + b1x1 + b2 x2 + ... + bk xk , то число опытов можно резко со-

кратить в результате ДФЭ – дробного факторного эксперимента.

Проведение эксперимента и обработка результатов опыта

После выбора плана эксперимента, основных уровней и интервалов ва-

рьирования факторов переходят к эксперименту. Каждая строка матрицы – это условия опыта. Для исключения систематических ошибок опыты реко-

мендуется проводить в случайной последовательности (проводить рандоми-

зацию по таблицам случайных чисел). Например, при числе опытов N=8, их последовательность будет (предварительно возьмем из таблицы последова-

тельно 8 случайных чисел):

Таблица 1.3

Номер опыта в	1	2	3	4	5	6	7	8
матрице	1	2	3	4	5	6	7	8
матрице
Значения из таб-
лицы случайных	57422	632767	603928	661198	482691	189958	535216	130252
чисел

Расположим случайные числа в порядке возрастания: 57422, 130252, 189958, 482691, 535216, 603928, 632767, 661198. Порядок следования слу-

чайных чисел определит порядок проведения опытов.

Таблица 1.4 – Таблица проведения опытов

Номер опыта в матрице	1	2	3	4	5	6	7	8
Случайный порядок	1	8	6	5	7	3	2	4
реализаций опытов	1	8	6	5	7	3	2	4
реализаций опытов

Для компенсации влияния случайных погрешностей каждый опыт ре-

комендуется повторять n раз (параллельные или дублирующие опыты). Име-

ет место 3 варианта дублирования:

1)при равномерном дублировании опытов;

2)эксперимент проведен при неравномерном дублировании опытов;

3)эксперимент без дублирования опытов.

При (1) все строки матрицы планирования имеют одинаковое (неоди-

наковое – 2) число параллельных опытов, опыты не дублируются в (3). Луч-

ший вариант – (1) – более высокая точность, простая обработка результатов.

При этом рандомизации подлежат все опыты с учетом дублирования.

Если предполагается каждое значение параметра оптимизации (у) определить по двум параллельным опытам, то всего получается 16 опытов (8 2 = 16),

тогда для определения порядка проведения опытов воспользуемся таблицей случайных чисел. Тогда можно составить таблицу проведения опытов:

Таблица 1.5

Номер опыта в	1	2	3	4	5	6	7	8
матрице

Значения из таб-	57422	632767	603928	661198	482691	189958	535216	130252
лицы случайных
	352559	361748	664249	434093	20862	417703	271266	979242
чисел

Расположим случайные числа в порядке возрастания: 20862; 57422; 130252; 189958; 271266; 352559; 361748; 417703; 434093; 482691; 535216; 603928; 632767; 661198; 664249; 979242. Порядок следования случайных чи-

сел определит порядок проведения опытов.

Таблица 1.6 – Таблица проведения опытов

Номер опыта в матрице	1	2	3	4	5	6	7	8
Случайный порядок	2	13	12	14	10	4	11	3
реализаций опытов	6	7	15	9	1	8	5	16

1. Обработка результатов эксперимента при равномерном дублирова-

нии опытов.

1. Для каждой строки матрицы планирования по результатам n парал-

лельных опытов находят y j – среднее параметра оптимизации:

		1	n
y j	=		y ju ,	(1.8)

		n j=1

где n – номер параллельного опыта;

y	ju

– значение параметра оптими-

зации в u-м параллельном опыте j-ой строки матрицы.

2. Для каждой строки матрицы определяют для n опытов дисперсию

S	2	и стандарт S		=	S	2	:
	j		j			j

			1	n					2
S		=	1	( y		− y		)

	j		n −1		ju		j
	j		n −1	u=1	ju		j
				u=1

(1.9)

Исключаются грубые ошибки. Например, по Критерию Граббса (кри-

терий применим только для нормального распределения).

Критерий Граббса рассчитывается следующим образом:

Grр	=	max (z	− z )	.	(10)
Grр	=	i		.	(10)
		i
		S

Если расчетное значение Grр (экспериментальное) Grр<Grкр (Grкр – кри-

тическое значение при принятом уровне значимости и числе параллельных опытов).

3. Проверка воспроизводимости эксперимента – это проверка выполне-

ния предпосылки регрессионного анализа об однородности выборочных дис-

персий S

. Проверяется гипотеза Н0:

{y } =

} =

} – при опы-

тах, соответственно в точках x1

, x2

,..., xN

– равенства генеральных диспер-

сий. Так как все оценки дисперсий получены по выборкам одинакового объ-

ема n, то число степеней свободы для них одинаково и равно:

				m = n −1						(1.11)
Для проверки используется Gр – критерий Кохрена, представляющий
собой отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:
				S		2		S 2
G		=			max		=	max		(1.12)
G	p	=	S 2	+ S 2		+ ... + S 2	=	n	2	(1.12)
	p		S 2	+ S 2		+ ... + S 2		n	2
		1		2		N		S	j
								j=1	j
								j=1

Если расчетное значение Gр (экспериментальное) Gр<Gкр (Gкр – крити-

ческое значение при принятом уровне значимости и числе степеней свобо-

ды 1=m-1 2=N, m – число параллельных опытов, N – число строк матрицы планирования или число опытов), то дисперсии однородны. Если Gр>Gкр – то дисперсии неоднородны, что указывает на то, что исследуемая величина не подчиняется нормальному закону и следует увеличить число m. Если дис-

персии	S	2	опытов однородны, то дисперсию	S	2	воспроизводимости экспе-
		j			y

римента определяют по формуле:

	2		1	N	2
S		=		S

	y		N		j
				j=1

(1.13)

По результатам эксперимента вычисляют коэффициенты модели. Сво-

бодный член равен:

		1	N
b	=	1	y
b	=		y
0		N	j=1	j
			j=1

(1.14)

Коэффициенты регрессии,

деляются по выражению:

b	=
i

характеризующие линейные эффекты опре-

1	N
1	x		y		(1.15)
N	x	ij	y	j	(1.15)
N	j=1	ij		j
	j=1

Коэффициенты регрессии,

равны:

b	=	1
b	=
il		N

характеризующие эффекты взаимодействия

N
x	ij	x	lj	y	j	,	(1.16)
j=1	ij		lj		j
j=1

где i, l – номера факторов; xij , xlj – кодированные значения факторов i

и l в j-м опыте.

Коэффициенты b0, bi, bij – оценки теоретических коэффициентов 0, i,

ij регрессии. Оценки получены по МНК, они распределены нормально со

средними, равными теоретическими коэффициентами с S	2	→ min .
	j

Проверка значимости коэффициентов проводится по Н0: =0.

1)сравнением абсолютной величины коэффициента с доверительным интервалом;

2)с помощью t-критерия Стьюдента.

По первому способу:

а) вычисляется дисперсия коэффициентов регрессии S 2 bi i-го коэф-

фициента по формуле:

S	2	b	=	1	S	2	(1.17)
S		b	=		S		(1.17)
		i		m N		y
б) определяется доверительный интервал b							по выражению:
						i
	b		= t S{b		},		(1.18)
		i		i

где t – табличное значение t-критерия Стьюдента при принятом уровне зна-

чимости и числе степеней свободы , с которым определялась дисперсия

S	2	; f = (m-1)N;	S{b } =	S	2	{b }	– ошибка в определении i-го коэффициента
	y
			i			i

регрессии.

Расчетное значение t-критерия Стьюдента

			b
t		=	i
t	p	=	S{b }
	p		S{b }
			i

сравнивается с критическим tкр по таблицам при и .

(1.19)

Коэффициент значим, если

и t

t	кр

. Гипотеза Н0 отвергает-

ся и оценка коэффициентов

b i

значима. Статистически незначимые

b i

могут

быть исключены

Если	t	p	t
		p

из уравнения.

кр	, то гипотезу Н0

не отвергают и

b i

– незначимы. Стати-

стическая незначимость bi может объясняться следующим:

-данный i-й фактор не имеет функциональной связи с откликом, т.е.

i = 0;

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Основы экспериментальных исследований

#
22.04.2025717.33 Кб2Курсовая работа ОЭИ.docx
#
22.04.2025646.79 Кб0МУ КР ОЭИ.pdf