ГУАП

КАФЕДРА №

ОТЧЕТ ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

доц., канд. техн. наук				Д.Ю.Волков
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

ОТЧЕТ О ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЯХ

по курсу: МАТЕМАТИКА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ

СТУДЕНТ ГР. №	4116
			подпись, дата		инициалы, фамилия

Санкт-Петербург 202

1.Решить функцию подставив вместо x матрицу A.

A= f(x)=-1-20x-6x²+x³; f(A)=?

Варианты ответа:

1. 3) 4) нет правильного ответа

Решение:

Найдем f(A) :

f(A)=-1⨯ℰ-20A-6A²+A³,

где ℰ-это единичная матрица;

-1⨯ℰ=-1⨯ =

чтобы перемножить матрицы, нужно умножить элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы и сложить полученные значения.

A²= ⨯ =

=

=

A³=

=

=

20A=20 =

6A²= 6 =

Подставляем матрицы в f(A)=-1⨯ℰ-20A-6A²+A³

- - +

=

2. Возведите комплексное число в степень:

Варианты ответов:

1. 2) 3) 4) нет правильного варианта ответа

Решение:

Чтобы возвести комплексное число в степень нужно представить его в тригонометрической форме

где = arctg(

И возвести его в степень n: =

Представим в тригонометрической форме:

Найдём его модуль

=| = =

Поскольку действительная часть больше нуля (1>0) и мнимая часть больше нуля (1>0), значит :

= arctg( arctg =arctg 1=

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа

Далее возводим его в степень

= =

=

3. Даны две матрицы A и B, найдите значение параметра а при котором определитель произведения матриц A и B равен 1.

A= , B= .

Варианты ответов:

1)0 2)1 3)-1 4) нет правильного варианта ответа

Решение:

Перемножим матрицы построчно:

1. строка

   1. , так как , то

   2. 

   3. 

2. Строка:

   1. 

   2. 

   3. 

3. Строка:

3.1.

3.2.

3.3.

Таким образом мы получили матрицу:

Найдём её определитель:

Поскольку нам нужно, чтобы определитель равнялся 1, значит a=1.

4. Решить систему уравнений методом Крамера

6x+24y= -18

9x+37y= -28

Варианты ответов:

1. (1;-1) 2) (1;1) 3(-1;1) 4) нет правильного ответа

Решение:

Чтобы решить систему, нужно вычислить определитель матрицы системы:

По теореме Крамера, если определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит система совместна и у неё есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера.

(Δ - определитель матрицы системы)

Δ=

Т.к. Δ≠0, значит из теоремы Крамера система имеет одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ₁ получаем из определителя Δ, заменяя первый столбец столбцом свободных коэффициентов:

Δ₁

Также получаем определитель Δ₂ из определителя матрицы системы, заменяем второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Δ₂=

Получаем:

x_{= =} y₌

ответ: (1;-1).

Проверка:

5. Решить систему уравнений с помощью метода подстановки и метода Крамера.

x+5y+5z= -9

4x+21y+19z= -36

x+9y+2z= -10

Варианты ответов:

1)(1;0;1) 2)(1;-1;1) 3)(1;-1;-1) 4) Нет правильного варианта ответа.

Чтобы решить систему, нужно вычислить определитель матрицы системы:

По теореме Крамера, если определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит система совместна и у неё есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера.

(Δ - определитель матрицы системы)

Δ= = = .

Т.к. Δ≠0, значит из теоремы Крамера система имеет одно решение. Вычисляем дополнительные определители. Определитель Δ₁ получаем из определителя Δ, заменяя первый столбец столбцом свободных коэффициентов:

Δ₁= .

Также получаем определитель Δ₂ из определителя матрицы системы, заменяем второй столбец столбцом свободных коэффициентов:

Δ₂= = .

И находим Δ₃ из определителя матрицы системы, заменяя третий столбец столбцом свободных коэффициентов:

Δ₃= =

Получаем:

x_{= =} y₌ z₌

ответ:(1; -1; -1).

выполним проверку:

1-5-5=-9

4-21-19=-36

1-9-2=-10.

6. Дана пирамида ABCD.

1. Найти площадь граней с помощью векторного произведения.

2. Найти объём с помощью смешанного произведения.

3. Найти длины высот с помощью объёма и площади грани.

4. найти уравнения плоскостей граней, сделать проверку полученных уравнений.

A(1, -2, 1) , B(2, 0, 3) C(4, 1, 1), D(-2, -8,4).

Решение:

1. найдём площади граней пирамиды:

чтобы найти площадь граней пирамиды, для начала, найдём координаты векторов:

Затем находим векторное произведение:

= _.

= _.

= _.

= _.

Далее вычисляем длину векторного произведения и находим площадь граней:

найдём объём пирамиды с помощью смешанного произведения: _{, ,}

Таким образом,

3. с помощью объёма и площади найдём длины высот пирамиды ABCD.

Так, как значит

Найдём высоту на грань BAC:

Найдём высоту на грань CBD:

Найдём высоту на грань DBA:

Найдём высоту на грань DAC:

4.) найдём уравнения плоскостей граней:

Возьмём произвольную точку М(x;y;z), эта точка принадлежит плоскости тогда, когда вектор перпендикулярен вектору (вектору нормали), для этого необходимо, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю:

Грань ABC:

_.

Значит, имеет координаты (-6;6;-3), пусть , тогда , т.к. ,значит:

x+12+6y-3z+9=0

Выполним проверку:

Для точки А(1;-2;1):

Для точки C(4;1;1):

Грань DAC:

_.

Значит, имеет координаты (-9;9;9), пусть , тогда , т.к. ,значит:

x+9+9y+18+9z-9=0

x+9y+9z+18=0

Выполним проверку:

Для точки D(-2;-8;4):

Для точки C(4;1;1):

Грань DBA:

_.

Значит, имеет координаты (18;-9;0), пусть , тогда , т.к. ,значит:

x+36-9y-72+0z-0=0

Выполним проверку:

Для точки А(1;-2;1):

Для точки B(2;0;3):

Грань CBD:

_.

Значит, имеет координаты (-15;6;-12), пусть , тогда , т.к. ,значит:

x+60+6y-6-12z+12=0

Выполним проверку:

Для точки B(2;0;3):

Для точки D(-2;-8;4):

7. найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований:

Варианты ответов:

1) 2) 3)