Лекции

Добавил:

ukusezha Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

Прикладные задачи математической статистики

Файл:

Рассмотрим статистику Z

Рассмотрим статистику Z

P z , то по свойству U1 . Таким образом,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2025

Размер:

6.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

относительная частота			(высоты прямоугольников гистограммы будут равны
		i
		i


i	, а площадь всей гистограммы относительных частот равна единице).
h
h

Пример 3. Построить полигон и гистограмму частот и относительных частот по группированной выборке примера 2.

Решение. По результатам группировки (см. таблицу примера 2) строим на рисунках 1,2,3,4, расположенных далее, соответственно полигон частот, гистограмму частот, полигон относительных частот и гистограмму относительных частот.


n		ni
	i


		i
		i

	n
		i

	9

	x
	x	i
		i

	14

		i
		i
	9

	x
	x	i
		i

32 41

14 23 32

59 68

x	i

68	77

Если известно распределение частот какого-нибудь количественного при-

знака X, нетрудно заметить, что и частота ni

и относительная частота

	n	i


i	n
	n

за-

висят от xi . Из этих соображений вводится так называемая эмпирическая функция

распределения F (x) , которая каждому значению

сумму относительных частот вариант выборки, меньших

ставит в соответствие

F (x) ni .

xi x n

Иногда функция

F		(x)

записывается как

F	(x)	n	x

		n

, где под

n	x

понима-

ется суммарная частота всех вариант выборки, меньших x . Эмпирическая функция

распределения	F		(x)	позволяет составить представление об интегральной функ-


ции распределения	F(x)	всей генеральной совокупности признака X (				F(x)	- в
ции распределения		всей генеральной совокупности признака X (					- в
этом случае называется обычно теоретической функцией распределения).
Эмпирическая функция распределения			F	(x)	обладает всеми свойствами
			F	(x)

интегральной функции распределения:

1. значения эмпирической функции распределения принадлежат отрезку [0;1], т.е.

для любого	x X , 0 F		(x) 1	;


2.	F		(x)	- неубывающая функция; если	x	- наименьшая варианта, то для

					1
F		(x) 0 , а если xk - наибольшая варианта, то для					x xk , F	(x) 1

Пример 4. Построить графики эмпирических функций распределения по исходной и группированной выборке примера 2.

Решение. Запишем исходные данные в виде статистического распределения:

x	i	14	21	28	30	32	33	35	38	39	40	41	42	43	44	45
	i

n	i	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1	2	3	1	1	2
	i	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1	2	3	1	1	2

x	i	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	57	58	59	60	61
	i	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	57	58	59	60	61

ni		1	2	2	2	1	1	1	1	2	1	2	2	2	3	2

x	i	65	67	68	72	77
	i	65	67	68	72	77

n	i	1	1	1	1	1
	i	1	1	1	1	1

Так как x1 =14, а x50 =77, то

F		(x)

=0 при

x 14

F		(x)

=1 при

На полуинтервале (14;77] эмпирическую функцию распределения строим с использованием статистического распределения:

При 14 x 21,

при 21 x 28, при 44 x 45 ,

F (x) 1 50 0,02 ;

F	(x) 2 50		0,04		; …;


F		(x) 20 50		0,4		и т.д.

Аналогично строится график лицу примера 2 ). В этом случае F

F

(x)

(x)	по сгруппированным данным (см. таб-

имеет скачки в серединах интервалов, а их

величина определяется значениями накопительных относительных частот из последней графы таблицы.

Рис.1

Рис.2

3. Точечные оценки параметров распределения.

Пусть изучаемая нами случайная величина X определяется множеством параметров 1, 2... .

Например, параметрами нормального распределения с плотностью вероят-

			1	e	x a 2
ности	f	x	1		2 2	являются
	f	x			2 2
			2				1
			2

распределения с плотностью вероятности

a,	2

f x





, параметром показательного

e	x	является		.

			1

Пусть параметры распределения нам неизвестны. Используя выборку наблюдений можно вычислить приближенные значения параметров, то есть их оценки. Эти оценки меняются при переходе от одной выборке к другой, то есть оценки параметров есть некоторые случайные величины, зависящие от выборки, и, следовательно, они имеют свои собственные распределения.

Оценки параметров распределения получают с помощью специально построенных статистик.

Статистикой называется всякая функция, зависящая от выборки. Оценка параметра , даваемая одним числом , называется точечной. Как правило, для получения оценки параметра можно использовать не-

сколько различных статистик. При этом получаются различные значения оценок параметра. Качество оценок будем характеризовать следующими основными свойствами: несмещенность, состоятельность, эффективность.

Пусть X1, X2 ,..., Xn - выборка из параметрического семейства распределе-

ний.

	называется несмещенной оценкой параметра , если математи-
Оценка n

ческое ожидание оценки совпадает с оцениваемым параметром, т.е. при любом

объеме выборки выполняется условие		.
	M n
Оценка называется состоятельной,		если при увеличении объема выборки
n

бого



	сходится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. для лю-
оценка n
0, lim p n		1		p
0, lim p n		1	(или коротко n	).

n

Пусть n1

и n 2 две различные несмещенные оценки параметра . Оценка

называется более эффективной, чем

n 2

, если

n2 .

Несмещенная состоятельная оценка

параметра

называется эффектив-

ной, если она имеет наименьшую возможную дисперсию при заданном объеме вы-

, где

борки, то есть

min D

- множество всех оценок параметра при

фиксированном объеме выборки

n .

Пусть изучаемая случайная величина

имеет неизвестные нам математиче-

ское ожидание

и дисперсию

D X

Найдем точечные оценки для

M X и

D X .

Теорема 1. Пусть

X1, X

2 ,..., Xn

- выборка объема

n , тогда случайная вели-

чина

является несмещенной,

состоятельной и эффективной

i 1

оценкой для

X m

Случайная величина X в

называется средним выборочным.

Теорема 2. Случайная величина

является смещен-

i 1

ной оценкой дисперсии

D X .

Случайная величина

называется выборочной дисперсией и обозначается

Dв . Из теоремы 2 следует, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой

для дисперсии

D x

x .

Теорема 3. Случайная величина

является несмещенной

n 1

i 1

оценкой дисперсии D X .

Таким образом,

M s

- несмещенная оценка для

Случайная величина S 2

называется исправленной выбороч-

n 1

i 1

ной дисперсией. Выборочная дисперсия и исправленная выборочная дисперсия

связаны соотношением s2	n	2 .
	n 1

персии

Замечание. Можно доказать, что

D X .

s	2

является состоятельной оценкой дис-

Пример. Имеются следующие данные об урожайности пшеницы на 7 опытных участках одинакового размера (ц/га): 26,5;26,2;30,1;32,3;29,1;25.

Найти несмещенные состоятельные оценки для Решение.

D x

						1		n	1	26,5
		m	*	X в		1		xi	1
			*
						n			7
						n		i 1	7
								i 1
		1		n			2
	2	1			i		2
S	2				x m
S		n 1			x m
		n 1	i	1
			i	1

1 26,5 27,93 2 26, 2 27,93 2 6

25,2 30,1 32,3 29,1 25 27,93	(ц/га).

30,1 27,93	2	32,3 27,93	2	29,1 27,93	2	25 27,93	2	7,11.
30,1 27,93		32,3 27,93		29,1 27,93		25 27,93		7,11.

4. Интервальные оценки параметров статистического распределения

При малом числе наблюдений замена неизвестного параметра его точеч-

ной оценкой		может привести к значительным ошибкам. Кроме того, в ряде за-

дач требуется не только найти для параметра приближенные значения, но и оценить его точность и надежность. В этих случаях возникает задача о приближении

		,	2 .
параметра не одним числом, а целым интервалом 1			2 .
Интервальной оценкой параметра называется интервал l1,l2				, который с
вероятностью содержит оцениваемый параметр, то есть P l1 l2				.
l	,l
Интервал 1	2 называется доверительным интервалом, вероятность
называется доверительной вероятностью или надежностью, число					l	l
					2	1	назы-
					2		назы-
					2
вается точностью интервальной оценки.
Доверительная вероятность обычно задается заранее. Чаще всего значение
равно 0,9;0,95;0,99. Отметим, что концы доверительного интервала					l1	,l2 явля-

ются случайными величинами, меняющимися при переходе от выборки к выборке.

Общая схема построения доверительного интервала состоит из следующих этапов.

1. На базе исследуемой случайной величины X с распределением, зависящим от параметра , строится с помощью выборки новая случайная величина –

статистика	Z	, распределение которой полностью известно и не зависит от пара-
	Z

метра .

2. Находится интервал 1 2 такой, что P 1 Z , где - доверитель-

ная вероятность.

3. Разрешая неравенство 1 Z 2 относительно параметра , получаем эквивалентное неравенство l1 l2 . Так как P l1 l2 , то следовательно, интервал l1,l2 - искомый доверительный интервал.

Построим доверительные интервалы параметров нормального распределе-

ния.	N m,
Пусть X

независимая выборка

, доверительная вероятность задана и равна

, x2 ,..., xn .

, получена

Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины, дисперсия которой из-

	U1
P	U1	Z U1	.
	2	2

3. разрешаем неравенство относительно неизвестного параметра

U	1
	1
	2
		в
P X		в

X	â	m		n



		U
	n		1 y

			2

U1 , отсюда				X в
2
m X в		U
m X в		U
	n		1 y
	n			2



	U		m X в		U		, причем
n		1 y		n		1 y
		2				2

, то есть получен доверительный ин-

тервал для параметра

m .

		m	- точечная оценка для параметра m , то формула для дове-
Так как X	â

рительного интервала параметра

m при известном окончательно может быть за-

U1 m m

писана следующим образом

U1 , причем

P m

m m

U1 .

Пример. Пусть дисперсия нормально распределенной случайной величины

X равна 0, 25

. По выборке объема n 25 найдена точечная оценка математиче-

ского ожидания

m 52 . Найти доверительный интервал для неизвестного мате-

матического ожидания

m , если доверительная вероятность 0,95 .

Решение.

1 0, 95

0, 975 . По таблице квантилей нормального рас-

пределения находим

U	1
	1
	2

U	0,975

1,96

. Следовательно, доверительный интервал

		0, 25	1, 96	m 52	0, 25	1, 96
имеет вид	52

		25			25

P 51,804 m 52,196 0,95 .

или

51,804

52,196

, причем

Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии.


1) Рассмотрим статистику Z		X в m		~ T n 1 (см. теорему 1 из 3.3)
	n	X в m
	n		S
			S

Найдем

такое, что

P z

. По свойству 2 квантилей из

n 1 , так что

P z t1 n 1

Разрешая

неравенство

относительного

параметра

m ,

X в

1 y n 1 . Отсюда

X в t1 y n 1

m X в

t1 y

n 1

3.4 имеем

получим.

	s	. При-
	n	. При-
	n

чем

		n 1	s
P X в t	1 y	n 1
	1 y		n
	2		n

m X в t		n 1	s
m X в t	1 y	n 1
	1 y
	2		n

. Полученный интервал яв-

ляется искомым доверительным интервалом.
Пример. По выборке объема n 20	из нормальной генеральной совокупно-
	s	2	13,34	. Найти доверительный интер-
сти получены точечные оценки m 621 и

вал для параметра m при 0,95 .

		Решение.	1		1 0, 95		0, 975 .
			2			2
t0,975 19 2, 093.
				Доверительный
	621	2, 09313, 34	m 621			2, 09313, 34
		20					20


P 614, 75 m 627, 25 0,95 .

По	таблице	квантилей Стьюдента
	интервал	имеет	вид
или	614, 75 m 627, 25 ,		причем

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете Прикладные задачи математической статистики

#
15.03.20251.13 Mб1PZMS.pdf
#
15.03.20256.63 Mб1Лекции.pdf
#
15.03.2025628.43 Кб2Практика 4 (2).pdf
#
15.03.20252.56 Mб1Практика 4.pptx
#
15.03.2025510.69 Кб1Практическая работа № 1. Первичная обработка данных.pdf
#
15.03.2025232.82 Кб1Практическая работа №2 Интервальные оценки параметров.pdf
#
15.03.2025500.35 Кб1Практическая работа №3 Идентификация распределений (2).pdf

x	i	14	21	28	30	32	33	35	38	39	40	41	42	43	44	45
	i

n	i	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1	2	3	1	1	2
	i	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1	2	3	1	1	2

x	i	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	57	58	59	60	61
	i	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	57	58	59	60	61

ni		1	2	2	2	1	1	1	1	2	1	2	2	2	3	2

x	i	65	67	68	72	77
	i	65	67	68	72	77

n	i	1	1	1	1	1
	i	1	1	1	1	1

x	i	14	21	28	30	32	33	35	38	39	40	41	42	43	44	45
	i

n	i	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1	2	3	1	1	2
	i	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1	2	3	1	1	2

x	i	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	57	58	59	60	61
	i	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	57	58	59	60	61

ni		1	2	2	2	1	1	1	1	2	1	2	2	2	3	2

x	i	65	67	68	72	77
	i	65	67	68	72	77

n	i	1	1	1	1	1
	i	1	1	1	1	1

x	i	14	21	28	30	32	33	35	38	39	40	41	42	43	44	45
	i

n	i	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1	2	3	1	1	2
	i	1	1	1	2	1	1	1	1	1	1	2	3	1	1	2

x	i	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	57	58	59	60	61
	i	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	57	58	59	60	61

ni		1	2	2	2	1	1	1	1	2	1	2	2	2	3	2

x	i	65	67	68	72	77
	i	65	67	68	72	77

n	i	1	1	1	1	1
	i	1	1	1	1	1