Лекции

б) Вероятность того, что извлечен синий или красный шар:

20 25 2 5 9

Р(С+К) = Р(С)+Р(К) = 70 70 7 14 14 .

в) Вероятность того, что извлечен белый, зеленый или синий шар:

Пример 2. Студент сдает экзамен по теории вероятностей. Вероятность получить на экзамене «2» равна 0,1; «3» - 0,6; 4 - 0,2; «5» - 0,1. Какова вероятность того, что студент получит на экзамене положительную оценку?

Решение: Пусть событие А – студент получит на экзамене положительную оценку. Дадим два способа решения задачи.

Первый способ. Р (А)=Р (3)+ Р(4)+ Р (5), где Р(3) – вероятность получить на экзамене оценку «3» и т.д.

Р (А)=0,6+0,2+0,1=0,9.

Второй способ. Р (А)=1- Р(2), т.к. событие А и событие 2 - получить на экзамене оценку «2» - являются противоположными.

Р (А)=1-0,1=0,9

определяется равенством P( A B) P( A B) .

P(B)

Замечание. Введение именно такого определения условной вероятности объясняется следующими соображениями. В условиях классического определения вероятности имеем:

ство P(A B) P(A) P(B).

Замечание. Если событие А не зависит от события B , то справедливо соотношение

P(A B) P(A) , равносильное условиям P( A B) P( A) ; P(A B) P(A) P(B) .

P(B)

Аналогичное равенство получается, если предположить что B не зависит от A . Данное нами определение предпочтительнее, во-первых, из соображений симметрии

Определение. События A1 ,....,Ai ,....,An называются независимыми в совокупности, если для любой системы индексов j1 ,...., jk ,...., je 1,....,i,....,n выполняется ра-

Вероятность наступления события А, вычисленная при условии наступления другого события В, называется условной вероятностью события А по отношению к

3. Теоремы умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

P( AB) P( A) PA (B) .

В случае трех и более событий можно записать:

Р(АВC ) Р (А )Р А (В )Р АВ (С ),

Р(АВCD ) Р (А )Р А (В )Р АВ (С )PABC (D ),

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Если события А и В независимы (появление одного из них не меняет вероятности появления другого), то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей:

Р(АB) Р(А) Р(B) .

Пример 3. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым - 0,8; третьим – 0,9. Найти вероятность того, что: 1) все три стрелка попадут в цель; 2) только один стрелок попадет в цель; 3) хотя бы один стрелок попадет в мишень.

Решение: Событие А1={ первый стрелок попадет в цель},

1) Пусть событие А = {все три стрелка попадут в цель}.

Вероятность того, что первый стрелок попадет в цель Р(А1)=0,7; второй – Р(А2)=0,8; третий – Р(А3)=0,9. Тогда:

2) Событие В = {только один стрелок попадет в цель} осуществится, если произойдет либо событие А1, либо событие А2, либо событие А3.

Переходя к вероятностям, получим:

Р(В) Р(А1 ) Р(А2 ) Р(А3 ) Р(А1 ) Р(А2 ) Р(А3 )

Р(А1 ) Р(А2 ) Р(А3 ) 0,7 0,2 0,1 0,3 0,8 0,1 0,3 0,2 0,9

0,014 0,024 0,054 0,092.

3)Рассмотрим два события:

С ={хотя бы один стрелок попадет в мишень};

С = {все трое промахнутся.} Эти события являются противоположными, следовательно

Р(С) 1 Р(С) 1 0,006 0,994.

4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Если событие А может наступить только при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н1, Н2,…, Нn, образующих полную группу, то вероятность собы-

тия А вычисляется по формуле полной вероятности:

С формулой полной вероятности тесно связана формула Бейеса. Если до опыта вероятности гипотез (априорные вероятности) были Р(Н1), Р(Н2),…, Р(Нn), а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события «новые», то есть условные вероятности гипотез (апостериорные вероятности) вычисляются по формуле

Бейеса:

n

где P( A) P(Hi ) PHi ( A) .

i 1

Формулы Бейеса дают возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта.

Пример. В цехе работает 20 станков. Из них 10 - марки А, 6 - марки В и 4 - марки С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?

Решение: Событие А= {цех выпускает отличные детали}

Условные вероятности наступления события А при осуществлении каждой из гипотез:

Следовательно, Р (А)=0,83=83% Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их

на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру равна 0,6, ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым –0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение: Обозначим событие А={годная деталь признана стандартной} Можно сделать два предположения:

Н1={деталь проверил первый контролер} Н2={деталь проверил второй контролер}

Р(Н1)=0,6 (вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру); Р(Н2)=0,4 (вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру).

Найдем условные вероятности наступления события А при осуществлении каждой из гипотез:

Искомую верность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Байеса:

Следует обратить внимание на необходимость правильного выбора событий в качестве гипотез. Гипотезы должны составлять полную группу событий и относиться к одному и тому же испытанию. Все события должны быть конкретны.

Лекция 3.

Тема: Повторные испытания.

1. Формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Будем рассматривать независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях успех наступит ровно k раз,

выражается формулой Я. Бернулли:

где р ( p ) - вероятность появления успеха в каждом испытании; q = 1- p – вероятность неудачи.

Формула Бернулли выражает так называемое биномиальное распределение вероятностей.

Пример. Каждый пятый клиент банка приходит в банк снять проценты с вклада. Сейчас в банке ожидают своей очереди обслуживания 6 человек. Найти вероятность того, что из них будут снимать проценты: а) только два человека; б) хотя бы один человек.

Решение: Событие А={человек из очереди будет снимать проценты}.

Тогда вероятность того, что из шести будут снимать проценты только два че-

Вероятность того, что из шести будет снимать проценты хотя бы один человек, вычислим переходом к противоположному событию.

Пусть событие В={хотя бы один человек будет снимать проценты}.

Пример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

Решение: Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша

р 12 ; следовательно, вероятность проигрыша q 12 .

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:

Пример. Игральный кубик бросается 3 раза. Найти вероятность того, что шестерка выпадет: а) 3 раза; б) не более 2-х раз; в) хотя бы один раз.

а) Найдем вероятность того, что шестерка выпадет 3 раза

б) Найдем вероятность того, что шестерка выпадет не более 2 раз, то есть она либо не выпадет ни разу, либо выпадет один раз, либо появится 2 раза. Эти события являются независимыми, следовательно

в) Найдем вероятность того, что шестерка выпадет хотя бы один раз. Пусть событие А= {шестерка появится хотя бы один раз}, тогда А = {шестерка не появится ни разу}.

Эти события противоположны, следовательно,

2. Формула Пуассона

Теорема. Пусть произведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью p, причем

а) число испытаний достаточно велико ( n 100) ;

б) np 10.

Тогда вероятность Р m ,n того, что в этих n испытаниях событие А наступит m раз,

вычисляется по следующей приближенной формуле

Эта формула и называется формулой Пуассона (редких событий).

Пример. По каналу связи передано 1000 сигналов. Вероятность ошибки при передаче каждого из сигналов равна 0,005. Найти вероятность того, что неверно передано:

а) 7 сигналов; б) не менее 4-х сигналов.

Решение. а) Воспользуемся формулой Пуассона, т.к. условия ее применимости в данном случае выполнены: число испытаний достаточно велико

Искать каждое из слагаемых этой суммы и затем выполнять суммирование – такое решение не представляется рациональным из-за большого числа слагаемых. Воспользуемся переходом к противоположному событию:

Находя вероятности из правой части последнего равенства по формуле Пуассона, окончательно получаем

P (m 4) 1 (0,0067 0,0337 0,0842 0,1404) 0,735.

3. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

Теорема. Пусть произведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью p, причем число испытаний достаточно велико ( n 100) .

Тогда вероятность Р m ,n того, что в этих n испытаниях событие А наступит m раз, вычисляется по следующей приближенной формуле:

Пример. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,3. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит ровно 95 раз?

Решение:

Согласно условию задачи, p=0,3, q=1-p=0,7, m=95, n=300

4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Пусть произведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью p, причем число испытаний достаточно велико.

Пример. Каждая из 1000 деталей партии стандартна с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что число стандартных деталей этой партии будет не меньше 880.

Решение. Число n повторных независимых испытаний в данном случае равно числу деталей в партии (каждая из деталей партии будет проверяться на предмет

Тогда получаем:

P(880 m 1000) 1 (2,11) 0,9826.

0,5 y

x

-0,5

Рис. 2

График функции Лапласа схематично изображен на рис. 2.

Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа

Пусть выполнены условия применимости интегральной теоремы МуавраЛапласа.

Следствие 1. Вероятность того, что число m наступлений события А в n повторных независимых испытаниях будет отличаться от величины np не более чем на(по абсолютной величине), вычисляется по формуле:

Пример. Подлежат исследованию 1000 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна 0,15. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 будет заключено число проб руды с промышленным содержанием металла.

Решение. Искомые границы для числа m проб руды с промышленным содержанием металла (из данных 1000 проб) определяются величинами m 1 и m 2 (см. интегральную теорему Муавра-Лапласа).

Из следствия 1 и условия задачи следует, что:

Окончательно получаем искомые границы: np 1000 0,15 34 150 34 116,

np 150 34 184,

т.е. с вероятностью 0,9973 число проб руды с промышленным содержанием металла (из данных 1000 проб) попадет в интервал (116; 184).

Пример. В лесхозе приживается в среднем 80 саженцев. Сколько саженцев надо посадить, чтобы с вероятностью 0,9981 можно было утверждать, что доля прижившихся саженцев будет находиться в границах от 0,75 до 0,85.

Решение. p 80100 0,8 – вероятность прижиться для каждого из саженцев,

q 1 p 1 0,8 0,2

.

Пусть n– необходимое число саженцев (искомая величина данной задачи) и m– число прижившихся из них, тогда m n – доля прижившихся саженцев.